【正文】 雖然對(duì)于。 記牢公式性質(zhì)，同時(shí)保證足夠的習(xí)題量，考試時(shí)概率部分 20%的分值基本上就不難拿到了。 記得當(dāng)初看到陳文燈復(fù)習(xí)指南概率部分第二章《隨機(jī)變量及其分布》、第三章《隨機(jī)變量的數(shù)字特征》中在每章開始列出的那些大表格時(shí)，感覺其中必然會(huì)有很多內(nèi)容是超綱的、不用細(xì)看；但后來復(fù)習(xí)時(shí)才發(fā)現(xiàn)，可以省略不看的內(nèi)容少之又少，由大 量的內(nèi)容需要記憶。 概率這門課如果有難點(diǎn)就應(yīng)該是“記憶量大”。但與線代一樣，概率也常常被忽視，有時(shí)甚至被忽略。 將本章與上一章中相似對(duì)角化部分的內(nèi)容作比較會(huì)有助于理解記憶“化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型”的步驟及避免前后混淆，但因?yàn)榇缶V對(duì)本章要求不高，所以不必深究。 在理年真題中本章知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)次數(shù)不多，但也考過大題。所以前面的討論可以用來輔助理解，但對(duì)于做題時(shí)打開思路用處不大。 以上思路在本章 的地位并不重要，因?yàn)榕c第三、四章知識(shí)點(diǎn)的互聯(lián)關(guān)系不同，考試時(shí)這條思路一般不會(huì)被用到。所以可以認(rèn)為討論矩陣的相似對(duì)角化是為了方便求矩陣的冪，引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對(duì)角化。 其實(shí)本章的內(nèi)容從中也可以找到類似于第三章向量與第四章線性方程組之間的那種前后印證、相互推導(dǎo)的關(guān)系：以求方陣的冪 kA 作為 思路的起點(diǎn)，直接乘來求 kA 比較困難，但如果有矩陣 P 使得 A 滿足 ??? APP 1 （對(duì)角陣）的話就簡單多了，因?yàn)榇藭r(shí)1111 ???? ?????????? PPPPPPPPA kk ，而對(duì)角陣 ????????????cba的冪 k? 就等于 ??????????kkkcba代如上式即得 kA 。 實(shí)對(duì)稱矩陣極其相似對(duì)角化。 矩陣可相似對(duì)角化的條件。矩陣合同的定義是 BAPPT ? ，其中 P 為可逆矩陣。 相似矩陣及其性質(zhì)。就是記牢一系列公式如 xAx ?? )0( ?x 、0?? Axx? 、 0)( ?? xAE? 和 0|| ?? AE? 。 從我們的角度來看，《特征值特征向量》這一章的內(nèi)容即少且條理清晰，雖然涉及其它很多知識(shí)，但需要探究的深層次聯(lián)系很少，故學(xué)好這個(gè)“必考點(diǎn)”實(shí)際上要比學(xué)好高數(shù)中的那些必考點(diǎn)如曲線、曲面積分要容易的多，這一點(diǎn)也是前面說復(fù)習(xí)線代這門課很劃算的原因之一。 30 線代第五章《特征值和特征向量》 相對(duì)于前兩章來說，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)，歷年考研真 題都有相關(guān)題目，而且最有可能是綜合性的大題。 關(guān)于秩的一些結(jié)論： },m in {)( nmAr nm ?? ； 1)(1)( ????? nArAr ；)()()( AArArAr TT ?? ； )}(),(m in {)( BrArABr ? ；)()()( BrArBAr ??? ；若有 nmA? 、 snB? 滿足 0?AB ，則 nBrAr ?? )()( ；若 A 是可逆矩陣則有 )()( BrABr ? ；同樣若 B 可逆則有 )()( ArABr ? 。 等價(jià)的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個(gè)數(shù)的向量； 任何一個(gè)向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價(jià)。 另外，線性代數(shù)部分在考試時(shí)會(huì)經(jīng)常直接考一些“雖不要求掌握、但卻可以用要求掌握的一些定理推論推導(dǎo)出來”的性質(zhì)和結(jié)論，所以有必要擴(kuò)大一些知識(shí)面，說不定在考試時(shí)就會(huì)有意外收獲： 一個(gè)線性無關(guān)的向量組不可能由一個(gè)所含向量個(gè)數(shù)比它少的向量組線性表示。 齊次線性方程組 0?Ax 是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣 A 的列向量組是否線性相關(guān)，而非齊次線性方程組 bAx? 是否有解對(duì)應(yīng)于 b 是否可以由 A 的列向量組線性表出。 線性方程組的兩種形式： 矩陣形式： bAx? 向量形式： baxaxax nn ??????? 2211 兩條性質(zhì)： 1. 對(duì)于方陣 nA? 有：方陣 A 可逆 ? 存在方陣 B 使得EBAAB ?? ? 0|| ?A ? A 的行 \ 列 向 量 組 均 線 性 無 關(guān)? nAr ?)( ? bAx? 可由克萊姆法則判斷有唯一解，而 0?Ax 僅有零解。其含金量之高不僅在線代中是獨(dú)一無二的，在高數(shù)和概率兩門課的知識(shí)點(diǎn)中也很少見，希望你能重視： 三個(gè)雙重定義： 秩的定義 ：矩陣中非零子式的最高階數(shù) ：向量組的極大線性無關(guān) 組中的向量個(gè)數(shù) \無關(guān)的定義： 對(duì)于一組向量 naaa ???21, ，若存在不全為 零的數(shù) nkkk ???21, 使得02211 ??????? nnakakak 成立，則相量組線性相關(guān)，否則向量組線性無關(guān)，即上述等式當(dāng)且僅當(dāng) ik 全為 0 時(shí)才成立。每們科目都有其自身的 特點(diǎn)，出題老師和我們考生都可以加以利用 —— 出題專家們利用線性代數(shù) 28 “知識(shí)點(diǎn)間聯(lián)系復(fù)雜”的特點(diǎn)可以編制出靈活的試題，我們則可以根據(jù)各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系來進(jìn)行歸納、對(duì)比和總結(jié)，從而深化對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。 線代部分的題目難就難在考點(diǎn)的跨度大，出題老師可以借助各知識(shí)點(diǎn)之間天然的內(nèi)在聯(lián)系來編制出非常靈活的題目，而我們?nèi)绻麅H僅掌握零散知識(shí)點(diǎn)，那怕對(duì)這些孤立的點(diǎn)掌握的再透徹，在作題時(shí)也會(huì)被題目給弄的暈頭轉(zhuǎn)向。 以上討論了線性相關(guān)、線性表示的概念與齊次、非齊次線性方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣做不僅僅是為了透徹理解知識(shí)點(diǎn)，更是為了有效應(yīng)對(duì)考試題。當(dāng)非齊次線性方程組 bAx? 與對(duì)應(yīng)齊次線性方程組 0?Ax 滿足 nArAr ?? )()( 時(shí)，根據(jù)線性方程組解的判定法則， 齊次方程組有零解，非齊次方程組有唯一解。線性表示的定義為：對(duì)于向量組 naaa ???21, 若存在一組數(shù) nkkk ???21, 使等式bakakak nn ??????? 2211 成立，則稱向量 b 可由向量組 naaa ???21, 線性表示。若方程組 0?Ax 的系數(shù)矩陣是 m 行 n 列的，則方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)時(shí)有 mn；因?yàn)榫仃嚨闹鹊扔谛兄纫驳扔诹兄龋员赜?nmAr ??)( ，根據(jù)齊次方程組解的判定定理有非零解。當(dāng) nAr ?)( 時(shí)，按照齊次線性方程組解的判定法則，此時(shí)有非零解，且有 nr 個(gè)線性無關(guān)的解向量。秩的定義是“極大線性無關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)”，向量組 naaa ???21, 組成的矩陣 A 有 nAr ?)( 說明向量組的極大線性無關(guān)組中有 n 個(gè) 向 量 ， 即 naaa ???21, 線 性 無 關(guān) ， 也 即 等 式 27 02211 ??????? nn akakak 只有 0 解。即使不能做到編制教材，也可以在教材中做一些介紹）。（這些聯(lián)系肯定不是簡單的巧合，很有可能正是數(shù)學(xué)史上前后相承的發(fā)展，說不定線性相關(guān) \無關(guān)的概念正是數(shù)學(xué)家在研究線性方程組問題的過程中發(fā)現(xiàn)的。線性相關(guān)的定義為：設(shè) naaa ???21, 為一組向量，如果存在一組不為零的數(shù) nkkk ???21, 使得等式 02211 ??????? nn akakak 成立，則稱向量組 naaa ???21, 線性相關(guān)；如果等式當(dāng)且僅當(dāng) 021 ??????? nkkk 時(shí)成立，則稱向量組 naaa ???21, 線性無關(guān)。 齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況： ； 。 先討論其次 線性方 程組與線 性相關(guān) 、無關(guān)的 聯(lián)系。線性 方程組???????????????????????nnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111的系數(shù)矩陣是 m行 n 列的，其有兩種形式，一種是矩陣形式 bAx? ；其中 A 是 系 數(shù) 矩 陣?????????????????????mnmmnnaaaaaaaaa212222111211,????????????????nxxxx 21,????????????????nbbbb 21；另一種是向量形式 26 baxaxax nn ??????? 2211 ，其中????????????????niiiiaaaa 21 ni ???? 2,1 。復(fù)習(xí)這兩章最有效的方法就是徹底理順諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。 所以復(fù)習(xí)本章的難度主要在于如何保證復(fù)習(xí)的全面細(xì)致，一些做題時(shí)用到的性質(zhì)和方法結(jié)合具體的題目就題論題才有最佳的效果，故在后面的評(píng)題中會(huì)有更充分的討論；下面的表格分類列出了逆矩陣 1?A 、伴隨矩陣 ?A 、矩陣轉(zhuǎn)置 TA 的性質(zhì)以供區(qū)別記憶： 行列式性質(zhì) 特征值性質(zhì)（ ? 為矩陣 A 的特征值） 運(yùn)算性質(zhì) 秩的性質(zhì) 轉(zhuǎn)置矩陣TA ?|| TA ||A AA TT ?)( TT kAkA ?)( TTT ABAB ?)( TTT ABBA ??? )( )()( ArAr T ? )()( AArAr TT ? )()( ArAAr T ? 逆矩陣 1?A || 1|| 1 AA ?? 有特征值?1 伴隨矩陣?A 1|||| ?? ? nAA 有特征值?||A ?A 、 TA 、 1?A 三者之間有一個(gè)即好記又好用的性質(zhì) TT AA )()( 11 ?? ? ???? ? )()( 11 AA ????????????1)(.01)(.1)(.)(nArnArnArnAr 25 TT AA )()( ?? ? 數(shù)乘矩陣kA 、矩陣之積 AB及矩陣之和BA? AkkA n?|| |||||| BAAB ? kA 有特征值 ?k ，bEaA?有特征值ba ?? )()()( BrArBAr ??? )}(),(m in {)( BrArABr ? 0?AB 則有：nBrAr ?? )()( 若 A 是可逆 矩陣則有)()( BrABr ? ；同樣，若B 可逆則有)()( ArABr ? 線代第三章《向量》、第四章《線性方程組》 線代第三章《向量》、第四章《線性方程組》是整個(gè)線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容，相比之下，前兩章行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)，后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對(duì)獨(dú)立， 可以看作是對(duì)第三、四章核心內(nèi)容的擴(kuò)展。 第二章矩陣中的知識(shí)點(diǎn)很細(xì)碎，但好在每個(gè)小知識(shí)點(diǎn)包括的內(nèi)容都不多，沒有什么深度。第一章行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體 （數(shù)字型） 行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算，其中 24 具體行列式的計(jì)算又有低 階和 n 階兩種類型；主要方法是應(yīng)用行列式按行 \列展開定理和化為上下三角行列式求解，還可能用到的方法包括：行列式的定義（ n 階行列式的值為取自不同行、不同列的 n 個(gè)元素的乘積的代數(shù)和）、性質(zhì) ?||A 1? ???2? n? （其中 i? 為矩陣 A的特征值）、行列式的性質(zhì)（如“數(shù)乘行列式等于用此數(shù)乘一行列式中的某一行或某一列”）。 正是因?yàn)榫哂羞@樣的特點(diǎn)，線代與高數(shù)、概率相比，從難易程度上講正是一門“學(xué)得不好就顯得特別的難，一旦學(xué)好以后就會(huì)變得特別容易”的科目，所以實(shí)際上把時(shí)間花在線代復(fù)習(xí)上很劃算；即使你現(xiàn)在認(rèn)為自己的線代水平還不好，那么也不 應(yīng)該有放棄線代的打算，因?yàn)?，在一門“已經(jīng)學(xué)得差不多”的課上繼續(xù)投入時(shí)間的效果肯定要比投入等量時(shí)間在一門“學(xué)得不好但有更大提分空間”的課上的效果好，也就是說，試圖把一門滿分是 100 分、現(xiàn)在水平是 80 分的課提高到 85 分，一般要比把一門滿分 100 現(xiàn)在只能拿 40 分的課提高 10 分、 20分還要難得多。 再如一個(gè)貌似考察向量組線性無關(guān)的題目，做起來以后才發(fā)現(xiàn)實(shí)際考的是矩陣秩或行列式的內(nèi)容，題 眼就在于性質(zhì)“方陣 A可逆 ?|A|=0?A的列向量組線性無關(guān) ?r(A)=n”，依靠這一性質(zhì)建立起了線性無關(guān)和矩陣秩兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系。 這樣的復(fù)習(xí)策略 雖然也能夠用于高數(shù)和概率，但在線代復(fù)習(xí)中的作用體現(xiàn)的最為明顯?！叭跁?huì)”可以理解為設(shè)法找到不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在相通之處；“貫通”可以理解為掌握前后知識(shí)點(diǎn)之間的順承關(guān)系。出現(xiàn)這種情況當(dāng)然與出題專家水平高有關(guān)，但內(nèi)在原因還是在于線性代數(shù)這門課“知識(shí)點(diǎn)間聯(lián)系性強(qiáng)”的特點(diǎn)。這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識(shí)，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。 23 線性代數(shù)部分 線代這門課的特點(diǎn) 線性代數(shù)與高數(shù)和概率相比，特點(diǎn)之一是知識(shí)點(diǎn)比較細(xì)碎。 關(guān)于二重積分的性質(zhì)，可以結(jié)合二重積分的幾何意義和定積分的對(duì)應(yīng)性質(zhì)來理解，因?yàn)槔斫鈳缀我饬x有利于解應(yīng)用