考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié)-數(shù)二(參考版)
2025-06-03 22:47本頁面
【正文】 27。本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章《特征值和特征向量》的一個延伸，因為化二次型為標準型的核心知識為“對于實對稱矩陣存在正交矩陣使得可以相似對角化”，其過程就是上一章相似對角化在為實對稱矩陣時的應(yīng)用。 線代第六章《二次型》本章內(nèi)容較少，大綱要求包括掌握二次型及其矩陣表示和掌握用正交變換化二次型為標準型的方法，對于其它知識點僅要求了解。而考察線性相關(guān)和線性方程組的題目卻頻繁用到前面提到的各種內(nèi)在聯(lián)系，甚至一些題目的題眼就是小結(jié)中的某一句話。因為，不但判斷矩陣的相似對角化時要用到特征值和特征向量，而且中的、也分別是由的特征向量和特征值決定的。而矩陣相似對角化的定義式正是。階實對稱矩陣必可正交、相似于對角陣，即有正交陣使得而且正交陣由對應(yīng)的幾個正交的特征向量組成。包括兩個充要條件和兩個充分條件，充要條件1是階矩陣有個線性無關(guān)的特征向量；充要條件2是的任意重特征根對應(yīng)有個線性無關(guān)的特征向量；充分條件1是有個互不相同的特征值；充分條件2是為實對稱矩陣。由以上定義可看出等價、合同、相似三者之間的關(guān)系：若與合同或相似則與必等價，反之不成立；合同與等價之間沒有必然聯(lián)系。定義式為，需要區(qū)分矩陣的相似、等價與合同：矩陣與矩陣等價（）的定義式是，其中、為可逆矩陣，此時矩陣可通過初等變換化為矩陣，并有；當中的、互逆時就變成了矩陣相似（）的定義式，即有，此時滿足、并且、有相同的特征值。在歷年真題中常用到下列性質(zhì)：若階矩陣有個特征值 ，則有；若矩陣有特征值，則、分別有特征值、且對應(yīng)特征向量等于所對應(yīng)的特征向量，而若、分別為矩陣、的特征值，則不一定為的特征值。本章知識要點如下：1. 特征值和特征向量的定義及計算方法。特征值和特征向量之所以會得到如此青睞，大概是因為解決相關(guān)題目要用到線代中的大量內(nèi)容——即有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，“牽一發(fā)而動全身”；著重考察這樣的知識點，在保證了考察面廣的同時又有較大的出題靈活性。非齊次線性方程組有唯一解則對應(yīng)齊次方程組僅有零解，若有無窮多解則有非零解；若有兩個不同的解則有非零解；若是矩陣而則一定有解，而且當時是唯一解，當時是無窮多解，而若則沒有解或有唯一解。2. 常見的線性無關(guān)組：齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系；、這樣的單位向量組；不同特征值對應(yīng)的特征向量。如果向量組可由向量組線性表示，則有。A的列向量組線性無關(guān)”秩 以上這些是大量擴展性定理性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，也是出題人考慮跨章節(jié)出題和考察大跨度知識點時的必經(jīng)之路——“兵家必爭之地”，怎么重視都不為過。以上兩條性質(zhì)可視為是將線性相關(guān)、行列式、秩、線性方程組幾部分知識聯(lián)系在一起的橋梁：性質(zhì)2性質(zhì)1中的“|A|≠0243。僅有零解，有唯一解。對于一般矩陣則有：243。243。243。2. 線性方程組的兩種形式：a. 矩陣形式：b. 向量形式：兩條性質(zhì)：：方陣可逆243。向量組中至少存在一個向量可由其余n1個向量線性表出；線性無關(guān)243。其含金量之高不僅在線代中是獨一無二的，在高數(shù)和概率兩門課的知識點中也很少見，希望你能重視：三個雙重定義：1. 秩的定義 ：矩陣中非零子式的最高階數(shù) ：向量組的極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù)\無關(guān)的定義：a. 對于一組向量，若存在不全為零的數(shù)使得成立，則相量組線性相關(guān)，否則向量組線性無關(guān)，即上述等式當且僅當全為0時才成立。每們科目都有其自身的特點，出題老師和我們考生都可以加以利用——出題專家們利用線性代數(shù)“知識點間聯(lián)系復(fù)雜”的特點可以編制出靈活的試題，我們則可以根據(jù)各知識點之間的聯(lián)系來進行歸納、對比和總結(jié)，從而深化對知識點的掌握程度。線代部分的題目難就難在考點的跨度大，出題老師可以借助各知識點之間天然的內(nèi)在聯(lián)系來編制出非常靈活的題目，而我們?nèi)绻麅H僅掌握零散知識點，那怕對這些孤立的點掌握的再透徹，在作題時也會被題目給弄的暈頭轉(zhuǎn)向。以上討論了線性相關(guān)、線性表示的概念與齊次、非齊次線性方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣做不僅僅是為了透徹理解知識點，更是為了有效應(yīng)對考試題。當非齊次線性方程組與對應(yīng)齊次線性方程組滿足時，根據(jù)線性方程組解的判定法則，齊次方程組有零解，非齊次方程組有唯一解。線性表示的定義為：對于向量組若存在一組數(shù)使等式成立，則稱向量可由向量組線性表示。若方程組的系數(shù)矩陣是m行n列的，則方程個數(shù)小于未知量個數(shù)時有mn；因為矩陣的秩等于行秩也等于列秩，所以必有，根據(jù)齊次方程組解的判定定理有非零解。當時，按照齊次線性方程組解的判定法則，此時有非零解，且有nr個線性無關(guān)的解向量。秩的定義是“極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù)”，向量組組成的矩陣有說明向量組的極大線性無關(guān)組中有n個向量，即線性無關(guān)，也即等式只有0解。即使不能做到編制教材，也可以在教材中做一些介紹）。（這些聯(lián)系肯定不是簡單的巧合，很有可能正是數(shù)學(xué)史上前后相承的發(fā)展，說不定線性相關(guān)\無關(guān)的概念正是數(shù)學(xué)家在研究線性方程組問題的過程中發(fā)現(xiàn)的。線性相關(guān)的定義為：設(shè)為一組向量，如果存在一組不為零的數(shù)使得等式成立，則稱向量組線性相關(guān)；如果等式當且僅當時成立，則稱向量組線性無關(guān)。齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：；。先討論其次線性方程組與線性相關(guān)、無關(guān)的聯(lián)系。線性方程組的系數(shù)矩陣是m行n列的，其有兩種形式，一種是矩陣形式；其中是系數(shù)矩陣,；另一種是向量形式，其中 。復(fù)習這兩章最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。所以復(fù)習本章的難度主要在于如何保證復(fù)習的全面細致，一些做題時用到的性質(zhì)和方法結(jié)合具體的題目就題論題才有最佳的效果，故在后面的評題中會有更充分的討論；下面的表格分類列出了逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)以供區(qū)別記憶：行列式性質(zhì)特征值性質(zhì)（為矩陣的特征值）運算性質(zhì)秩的性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣逆矩陣有特征值伴隨矩陣A=|A||A|=|A|有特征值特征值A(chǔ)x=λx、三者之間有一個即好記又好用的性質(zhì)數(shù)乘矩陣、矩陣之積及矩陣之和有特征值，有特征值則有：若
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