考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類(lèi)分析總結(jié)-數(shù)二(存儲(chǔ)版)
【正文】 解。定義式為，需要區(qū)分矩陣的相似、等價(jià)與合同：矩陣與矩陣等價(jià)（）的定義式是，其中、為可逆矩陣，此時(shí)矩陣可通過(guò)初等變換化為矩陣，并有；當(dāng)中的、互逆時(shí)就變成了矩陣相似（）的定義式，即有，此時(shí)滿(mǎn)足、并且、有相同的特征值。而矩陣相似對(duì)角化的定義式正是。本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章《特征值和特征向量》的一個(gè)延伸，因?yàn)榛涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)型的核心知識(shí)為“對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣存在正交矩陣使得可以相似對(duì)角化”，其過(guò)程就是上一章相似對(duì)角化在為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)的應(yīng)用。 線(xiàn)代第六章《二次型》本章內(nèi)容較少，大綱要求包括掌握二次型及其矩陣表示和掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法，對(duì)于其它知識(shí)點(diǎn)僅要求了解。階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必可正交、相似于對(duì)角陣，即有正交陣使得而且正交陣由對(duì)應(yīng)的幾個(gè)正交的特征向量組成。在歷年真題中常用到下列性質(zhì)：若階矩陣有個(gè)特征值 ，則有；若矩陣有特征值，則、分別有特征值、且對(duì)應(yīng)特征向量等于所對(duì)應(yīng)的特征向量，而若、分別為矩陣、的特征值，則不一定為的特征值。2. 常見(jiàn)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)組：齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；、這樣的單位向量組；不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。僅有零解，有唯一解。2. 線(xiàn)性方程組的兩種形式：a. 矩陣形式：b. 向量形式：兩條性質(zhì)：：方陣可逆243。線(xiàn)代部分的題目難就難在考點(diǎn)的跨度大，出題老師可以借助各知識(shí)點(diǎn)之間天然的內(nèi)在聯(lián)系來(lái)編制出非常靈活的題目，而我們?nèi)绻麅H僅掌握零散知識(shí)點(diǎn)，那怕對(duì)這些孤立的點(diǎn)掌握的再透徹，在作題時(shí)也會(huì)被題目給弄的暈頭轉(zhuǎn)向。若方程組的系數(shù)矩陣是m行n列的，則方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)時(shí)有mn；因?yàn)榫仃嚨闹鹊扔谛兄纫驳扔诹兄?，所以必有，根?jù)齊次方程組解的判定定理有非零解。（這些聯(lián)系肯定不是簡(jiǎn)單的巧合，很有可能正是數(shù)學(xué)史上前后相承的發(fā)展，說(shuō)不定線(xiàn)性相關(guān)\無(wú)關(guān)的概念正是數(shù)學(xué)家在研究線(xiàn)性方程組問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的。線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣是m行n列的，其有兩種形式，一種是矩陣形式；其中是系數(shù)矩陣,；另一種是向量形式，其中 。第一章行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體（數(shù)字型）行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算，其中具體行列式的計(jì)算又有低階和n階兩種類(lèi)型；主要方法是應(yīng)用行列式按行\(zhòng)列展開(kāi)定理和化為上下三角行列式求解，還可能用到的方法包括：行列式的定義（n階行列式的值為取自不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和）、性質(zhì)（其中為矩陣A的特征值）、行列式的性質(zhì)（如“數(shù)乘行列式等于用此數(shù)乘一行列式中的某一行或某一列”）。大綱對(duì)于多元函數(shù)條件極值的要求為“會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值”，是一種比較簡(jiǎn)單而且程式化的方法。與左邊的多元函數(shù)全導(dǎo)數(shù)公式比較就可以將二式統(tǒng)一起來(lái)。通過(guò)以上三個(gè)例子談了一下了我對(duì)微元法特點(diǎn)的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)。其中 是薄餅的底面積，薄餅與 旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是 ,∵，∴；同理薄餅與 旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是 ， 二者相減即得薄餅底面積。相比之下，判斷函數(shù)極大極小值的充分條件比判斷函數(shù)凸凹性的充要條件多了“且”，這從圖像上也很容易理解：滿(mǎn)足的圖像必是凸的，即或，當(dāng)且時(shí)不就一定是的情況嗎。其中判斷函數(shù)增減性可用定義法或求導(dǎo)判斷，判定極、最值時(shí)則須注意以下兩點(diǎn)： A. 極值的定義是：對(duì)于的鄰域內(nèi)異于的任一點(diǎn)都有＞或＜,注意是＞或＜ 而不是≥或≤； B. 極值點(diǎn)包括圖圖2兩種可能，所以只有在在處可導(dǎo)且在處取極值時(shí)才有。對(duì)于求解可降階的高階方程也有類(lèi)似的規(guī)律。歷年真題中對(duì)于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現(xiàn)的，也經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，一般是通過(guò)函數(shù)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)、法線(xiàn)、積分方程等問(wèn)題來(lái)引出；從歷年考察情況和大綱要求來(lái)看，高階部分不太可能考大題，而且考察到的類(lèi)型一般都不是很復(fù)雜。所以說(shuō)，“牢記定理的結(jié)論部分”對(duì)作證明題的好處在中值定理的證明問(wèn)題上體現(xiàn)的最為明顯。當(dāng)我們解證明題遇到困難時(shí)，最常見(jiàn)的情況是拿到題莫名其妙，感覺(jué)條件與欲證結(jié)論簡(jiǎn)直是風(fēng)馬牛不相及的東西，長(zhǎng)時(shí)間無(wú)法入手；好不容易找到一個(gè)大致方向，在做若干步以后卻再也無(wú)法與結(jié)論拉近距離了。用以下這組邏輯公式來(lái)作模型：假如有邏輯推導(dǎo)公式AE、(AB)C、(CDE)F,由這樣一組邏輯關(guān)系可以構(gòu)造出若干難易程度不等的證明題，其中一個(gè)可以是這樣的：條件給出A、B、D，求證F成立。對(duì)于第三章《不定積分》，陳文燈復(fù)習(xí)指南分類(lèi)討論的非常全面，范圍遠(yuǎn)大于考試可能涉及的范圍。第四章《定積分及廣義積分》可以看作是對(duì)第三章中解不定積分方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵除了運(yùn)用各種積分方法以外還要注意定積分與不定積分的差異——出題人在定積分題目中首先可能在積分上下限上做文章：對(duì)于型定積分，若f(x)是奇函數(shù)則有=0；若f(x)為偶函數(shù)則有=2；對(duì)于型積分，f(x)一般含三角函數(shù)，此時(shí)用的代換是常用方法。如對(duì)于證明F成立必備邏輯公式中的AE就可能有AH、A(IK)、(AB) M等等公式同時(shí)存在，有的邏輯公式看起來(lái)最有可能用到，如(AB) M，因?yàn)槠渲猩婕傲祟}目所給的3個(gè)條件中的2個(gè)，但這恰恰走不通； ，在該用到的時(shí)候想不起來(lái)或者弄錯(cuò)。如在上面提到的模型中，如果做題時(shí)一開(kāi)始就想到了公式(CDE) F再倒推想到 (AB) C、 AE就可以證明了。不過(guò)僅僅弄明白這些離實(shí)戰(zhàn)要求還差得很遠(yuǎn)，因?yàn)樵趯?shí)戰(zhàn)中證明題難就難在答案中用到的變形轉(zhuǎn)換技巧、性質(zhì)甚至定理我們當(dāng)時(shí)想不到；很多結(jié)論、性質(zhì)和定理自己感覺(jué)確實(shí)是弄懂了、也差不多記住了，但是在做題時(shí)那種沒(méi)有提示、或者提示很少的條件下還是無(wú)法做到靈活運(yùn)用；這也就是自身感覺(jué)與實(shí)戰(zhàn)要求之間的差別。這樣的知識(shí)點(diǎn)特點(diǎn)就決定了我們可以采取相對(duì)機(jī)械的“辨明類(lèi)型——〉套用對(duì)應(yīng)方法求解”的套路 ，而且各種類(lèi)型的求解方法正好也都是格式化的，便于以這樣的方式使用。大綱對(duì)于高階方程部分的要求不高，只需記住相應(yīng)的公式即可。這一部分常用定理有零值定理（結(jié)論部分為）、洛爾定理（結(jié)論部分為）；常用到構(gòu)造輔助函數(shù)法；在作題時(shí)，畫(huà)輔助圖會(huì)起到很好的作用，尤其是對(duì)于討論方程根個(gè)數(shù)的題目，結(jié)合函數(shù)圖象會(huì)比較容易判斷。在此結(jié)合函數(shù)圖像與對(duì)應(yīng)的微元法核心式來(lái)歸納微元法的三種常見(jiàn)類(lèi)型：1. 薄桶型. 本例求的是由平面圖型a≤x≤b,0≤y≤f(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。3. ，半徑為 ，密度 ， 其中 指球內(nèi)任意一點(diǎn)到球心的距離。本章主要內(nèi)容可以整理成一個(gè)大表格：二元函數(shù)的定義（略）相似一元
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