【正文】 首先需記住付立葉展開式和收斂定理，在具體展開時(shí)有以下兩種情況： 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮小； ，對于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸 伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 1. 題 目 給 出 的 函 數(shù) 至 少 有 一 個(gè) 完 整 的 周 期 ， 如 圖則直接套用公式即可，不存在奇開拓和偶開拓的問題。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與 題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： ； ，對于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 本章最后的知識(shí)點(diǎn)是付立葉級數(shù)，很少考到，屬于比較偏的知識(shí)點(diǎn)，但其思想并不復(fù)雜，花時(shí)間掌握還是比較劃算的。其中的關(guān)鍵步驟是選擇適當(dāng)?shù)?nx ，一般情況下如果 n 、 )12( ?n 這樣的項(xiàng)在分子中，則應(yīng)該先用逐項(xiàng)積分再用逐項(xiàng)求導(dǎo)，此時(shí)的 nx 應(yīng)為 1)( ???x 的形式，如 1)( ?nx 、1)12( ??nx ，以方便先積分；若題目有 )12( 1?n 、 )13( 1?n 這樣的項(xiàng)，則 nx 應(yīng)為 )(???x 的形式，如 )12( ?nx 、 )13( ?nx ，便于先求導(dǎo)。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數(shù)的冪級數(shù)展開）、四則運(yùn)算（用于 展開、求和）、逐項(xiàng)微積分（用于展開、求和）。由題目給出的冪級數(shù)的形式就可以看個(gè)八九不離十了，比如給出的冪級數(shù)帶階乘而不是交錯(cuò)級數(shù)，則應(yīng)該用公式 4，因?yàn)閮缂墧?shù)的變形變不掉階乘和 n)1(? ；若題目給出的冪級數(shù)不帶階乘而且是交錯(cuò)級數(shù)，則必從 3 兩式中選擇公式，其它情況也類似。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高 數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮小； ，對于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 記好 6 個(gè)關(guān)鍵式是解決冪級數(shù)求和與函數(shù)的冪級數(shù)展開問題的基礎(chǔ)，不僅在記憶上具有規(guī)律性，在解題時(shí)也大有規(guī)律可循。一個(gè)可看成是將 ue 展開式中的奇數(shù)項(xiàng)變成交錯(cuò)級數(shù)得到的，一個(gè)可看成是將 ue 展開式中的偶數(shù) 項(xiàng)變成交錯(cuò)級數(shù)而得到。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮??； ，對于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 后 3 個(gè)式子的 ?u ),( ???? ，相互之間的聯(lián)系主要在于公式右端展開式形式上的相似性。所以這個(gè)式子最好記，以此為出發(fā)點(diǎn)看式子 2： 1 式左端是 u?11 ， 2 式左端是 u?11 ； 1 式右端是 ???0nnu ， 2 式右端也僅僅是變成了交錯(cuò)級數(shù) ????0)1(nnnu ,故可以通過這種比較來記憶式子 2；對于 3 式來說，公式左端的)1ln( u? 與 2 式左端的 u?11 存在著關(guān)系“ uu ???? 1 1])1[ln( ”，故由 u?11 的展開式可以推導(dǎo)出 )1ln( u? 的展開式為 ??? ???0 11)1(n nun n 。 1 式是第一部分式子的基礎(chǔ)。對此 6 個(gè)展開式的 掌握必須像掌握重要定理一樣，對條件、等式的左端和右端都要牢牢記住，不但要一見到三者中的任意一個(gè)就能立刻寫出其他兩部分，而且要能夠區(qū)別相似公式，將出錯(cuò)概率降到最小。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超 經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮小； ，對于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 另外，“求和與展開”的簡單之處還在于：達(dá)到熟練做題程度以后會(huì)發(fā)現(xiàn)其大有規(guī)律可循。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮?。?2. 利用洛必達(dá)法則，對于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒 操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 所以我們在復(fù)習(xí)過程中對于具有“淺看復(fù)雜、深究簡單、思路巧妙、出法靈活”的知識(shí)點(diǎn)要倍加注意，對于無窮級數(shù)這樣必出大題的章節(jié)中間的“求和、展開”這樣必出大題的知識(shí)點(diǎn)，更是要緊抓不放。通過做歷年真題，我發(fā)現(xiàn)像一元函數(shù)微積分應(yīng)用中的微元法、無窮級數(shù)中的求和與展開這樣倍受出題人青睞的知識(shí)點(diǎn)都有一個(gè)相似之處，就是這些知識(shí)點(diǎn)從表面上看比較復(fù)雜、難于把握，實(shí)際上也必須通過認(rèn)真思考和足量練習(xí)才能達(dá)到應(yīng)有的深度，但在領(lǐng)會(huì)到解決方法的精髓思想以后這些知識(shí)點(diǎn)又會(huì)“突然”變的十分簡單。對于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會(huì)超出“知一判一”和“知性質(zhì)判斂”這兩種形式。舉例如下：已知單調(diào)遞減數(shù)列 na 滿足 ,lim0 aanx ??0?a ，判斷級數(shù) nan )( 11? ?的斂散性。所以考研真題中一般只會(huì)出成選擇題“已知某級數(shù)收斂，則下列級數(shù)中收斂的是（）”。其判斂過程的核心是找到不等式)( 22 1221|| ?? ?? ?? nnna an ，再應(yīng)用比較法的一般形式即可判明。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮小； ，對于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌 寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 對于級數(shù)判斂部分，主要用的方法是比較法、級數(shù)斂散性的定義和四則運(yùn)算性質(zhì)。這一章與前面的常微分方程、后面的曲線曲面積分等章都是比較獨(dú)立的章節(jié)，在考試時(shí)會(huì)出大題，而且章內(nèi)包含的內(nèi)容多、比較復(fù)雜。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1201考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮??； 2. 利用洛必達(dá)法則，對于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街 障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 關(guān)于定積分的應(yīng)用，以下補(bǔ)充列出了定積分各種應(yīng)用的公式表格： 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮??； 2. 利用洛必達(dá)法則，對于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛 眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 求平面圖形面積 dxxfs ba )(?? 求旋轉(zhuǎn)體體積（可用微元法也可用公式） 左圖中圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)體的體積dxxfVx ba )(2?? ? ，繞 y 軸 旋 轉(zhuǎn) 體 得 體 積dxxxfVy ba )(2 ?? ? 左圖中圖 形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)體 的體積dxxfxfVx ba )]()([ 2122 ?? ?? ，繞 y 軸旋轉(zhuǎn)體 得體積dxxfxfxVy ba )]()([2 12 ?? ?? 已知平行截面面積求立體體積 dxxsV ba )(?? 求平面曲線的弧長 dxyl ba 2)(1 ??? ? 高數(shù)第八章《無窮級數(shù)》 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1201考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮小； 2. 利用洛必達(dá)法則， 對于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 本章在考研真題中最頻繁出現(xiàn)的題型包括“判斷級數(shù)斂散性”、“級數(shù)求和函數(shù)”和“函數(shù)的冪級數(shù)展開”。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮?。?，對于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 通過以上三個(gè)例子談了一下了我對微元法特點(diǎn)的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)。由于 dr 很小，故可認(rèn)為薄球內(nèi)質(zhì)量均勻，為2r?? ，則薄球質(zhì)量 drrdrrrdm 422 44 ?? ??? ，積分可得結(jié)果。方法是取球體中的一個(gè)薄球形形體，其內(nèi)徑為 r 厚度為 dr ，對于這個(gè)薄球的體積有 drrrdv 24?? ，其中24r? 是薄球表面積， dr 是厚度。這個(gè)例子中的薄餅其實(shí)并不是上下 一般粗的圓柱，而是上大下小的圓臺(tái)，但將其視為上下等粗來求解，這一點(diǎn)也體現(xiàn)了微元法的特色。其中 )( 4yy?? 是薄餅的底面積，薄餅與 2xy? 旋轉(zhuǎn) 面相交的圓圈成的面積是 2r? ,∵ xr? ，∴2r? 2x?? y?? ；同理薄餅與 24xy? 旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是 4y? ， 二者相減即得薄餅底面積。在這個(gè)例子中，體現(xiàn)微元法特色的地方在于： ，但卻用 )(xf 來表示； dx表示薄桶的厚度； dxxxfdv )(2?? 。方法是在旋轉(zhuǎn)體上取一薄桶型形體（如上圖陰影部分所示），則根據(jù)微元法思想可得薄桶體積 dxxxfdv )(2?? ,其中 )(xf 是薄桶的高， )(2 xxf? 是薄桶展開變成薄板后的底面積， dx 就是薄板的厚度；二者相乘即得體積。在歷年考研真題中，有大量的題是利用微元法來獲得方程式的，微元法的熟練應(yīng)用是倍受出題老師青睞的知識(shí)點(diǎn)之一；但是由于微元法這種方法本身有思維上的跳躍，對于這種靈活有效的方法必須通過足量的練習(xí)才能真正體會(huì)其思想。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研 數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮?。?2. 利用洛必達(dá)法則，對于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 相比之下，判斷函數(shù)極大極小值的充分條件比判斷函數(shù)凸凹性的充要條件多了“ 0)( ??xf 且 0)( 0 ??? xf ”，這從圖像上也很容易理解：滿足 0)( ??? xf 的圖像必是凸的，即 或 ，當(dāng) 0)( ??xf 且 0)( 0 ??? xf 時(shí)不就一定是的情況嗎。 0)( ??xf 可以說明函數(shù)是增函數(shù)，典型圖像是； 0)( ??? xf 可以說明函數(shù) )(xf 的變化率在區(qū)間 I 上是遞減的，包括以下兩種可能： 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮??； ，對于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選 溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 a. 此時(shí) )(xf? 為正，且隨 x 變大而變?。ù笮￡P(guān)系可參考圖 3）； 2020考研必備