【正文】 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 空間曲面的表面積的題型與解法 智 軒 一、計算曲面面積的系統(tǒng)解題方法 1． 如果曲面由顯示函數(shù) ? ?, z f x y? 給出 221xyDzzS d x d yxy??????? ? ? ?????? ???? 2． 如果曲面有參數(shù)函數(shù) ? ? ? ? ? ?, 。 , 。 , x x u v y y u v z z u v? ? ?給出 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 2 2 2 2 2 2 2 2。Du u u u u u v v v v v v u v u v u vS E G F d u d vE x y z G x y z F x y z??? ? ? ? ? ? ? ? ???考研數(shù)學(xué) 2020 高分必看：各種題型經(jīng)典歸類總結(jié) (考試點 ) 特別地： ●對于 球面坐標(biāo)系 22s i n c o ss i n s i n s i nc o sxRy R E G F d u d v R d dzR??? ? ? ? ?????? ? ? ??? ?? ● 若所求曲面 S 由極坐標(biāo)方程 ? ?,rr??? 決定，則引入 球體坐標(biāo)系? ?? ?? ?, sin c o s, sin sin, c o sxryrzr? ? ? ?? ? ? ?? ? ??????? ?? ? ?2 2 2 2 2s i nE G F d u d v r r r r d d?? ? ? ???? ? ? ? ? ? 3．對于柱面上的曲面面積一般不使用公式 221xyDzzS d x d yxy??????? ? ? ?????? ????而使用第一類曲線積分。 設(shè) S 為柱面 ? ?,0f x y ? 上介于曲線弧 1l 和 2l 之間的曲面片，且 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?121 2 2 1,: 。 : 。 , , 0 , 0z z x y z z x yl l z x y z x yf x y f x y?????? ??????? 又設(shè)柱面 ? ?,0f x y ? 在 xoy 平面的準(zhǔn)線 l 的方程可寫成如下參數(shù)式 ? ? ? ?: , , l x x t y y t t??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?222 1 2 1, , , ,llS z x y d l z x y d l z x t y t z x t y t x t y t d t?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? 二、曲面面積的題型與解法 【例 1】求包括在圓柱面 ? ?22 2 22x y a xy??之內(nèi)的曲面 222x y az?? 的側(cè)面面積。 解：對于曲面 222x y az?? ， 2 2 2 211y y x yx z a a??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 圓柱面 ? ? 22 2 2 2 22 s i n 2x y a x y r a ?? ? ? ? ? ?? ?2 2 2 22 2 2sin 222400333420223402 2 2111 4 4 1 s i n 234 c os s i n3342 203 5 3 9x z x yxyDDDay y x yS dx dz dx dyx z a aa x y dx dyad a r r draa a daaada a a????????? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ?????? ? ?? ? ? ??? ????????? ?3 ?? 【例 2】柱面 222x y x??被錐面 22z x y??割下部分的曲面面積。 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 解： 由于對稱性，本題所求 錐面所圍的柱面面積 為第一象限的 4 倍， 對于右半平面，柱面方程為 ? ?2 21 1 2y x x x? ? ? ? ?，故有（在 xoz 平面投影，不能在 xoy 平面投影） 22221 1 11 1 02y y xx z y yxx??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ??? 所以所求的曲面面積為 ? ? ? ?222221 2 1220 0 011 20214 1 421244224 4 2 8 2 2 12xzD zxxtxyyS dx dz dx dzxz xxxdx dz dxx x x xdx t dttx?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?????? ???? ? ? ? ? ???? ??? ? ??? 另外，還可 以求出柱面圍的錐面面積如下： 由于對稱性，所求錐面面積為上半平面的 2 倍， 對于上半平面，錐面方程為 22z x y??，故有（在 xoy 平面投影） 22222 2 2 21 1 2z z x yxy x y x y? ? ? ??????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ??? ???? ? ? ? ? 所以所求的曲面面積為 ? ? ? ?22221 1 1 12 1 2 2 2 2x y x yzzS d x d y d x d yxy ?? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ??????? ???? ?? 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 【例 3】求曲面 2 2 2x y a??被平面 ? ?0 , 0 0 , 0x z x z x y? ? ? ? ? ?切除的那部分的面 積。 解：對于準(zhǔn)線平行于 xoy 平面的柱面，不能在 xoy 平面上投影，因為投影面積為零，故需要轉(zhuǎn)化到其他坐標(biāo)平面上如 xoz 的投影。 22222 2 2 2001 1 02 2x z x zDDa x axy y xS d x d z d x d zx z ya a xd x d z d x aa x a x?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ????? ??? ? ? 【例 4】求螺旋面 ? ?c o ss in 0 , 0 2xry r r azh?? ? ?????? ? ? ? ?????的側(cè)面面積。 解：因為 ? ?? ?2 2 2222222 2 2222 2 2 2 2 20010 2 l n22rDDax y zEr r rx y zG r hx x y y z zFr r rS EG F du dv r h dr d r dr drhd r h dr r h r r h?????? ? ?????? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ????切 忌 寫 成 0222 2 2lnaa a ha a h hh?????????? ? ? 【例 5】計算空間曲線 ? ? ? ?22 2 2 22 0x y z a x y a? ? ? ?所包圍的面積。 解： 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 引入球體坐標(biāo)系? ?? ?? ?, sin c o s, sin sin, c o sxryrzr? ? ? ?? ? ? ?? ? ??????? ?? ? ? ? ?? ?22 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2 22 2 2 2 222222002 0 si n si n 2c os 2c os si n 2 , si nsi n 2si n4 si n4DDx y z a x y a r ar a r aS EG F dudv r r r rd daa d d?????????? ? ??? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ? ????? ???? 【例 6】求柱面 22331xy??被球面 2 2 2 1x y z? ? ? 割下部分的曲面面積 。 解： 按照 第一類曲線積分 解法如下 ? ? ? ?23222233331333 2 6 6 222 2 220c os1 3 si n c os , 0 2si nc os0 , : si nc os3 : si n 1 c os si n si n 24138 si n 2 3 si n c os263xx y dl x t y t dt dyxzlyxz y zx y zSd??? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ????? ??? ????? ??? ? ? ? ? ???? ? ??????222001 c os 4si n 2 3 32332dd???? ? ????????????? 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 【例 7】 求以極坐標(biāo)曲線 ? ?1 c os:0raLz?????????為準(zhǔn)線，母線平行于 z 軸的柱面被平面 20x y z a? ? ? ?及 0z? 截下的有限部分的面積。 解：對于本題，就可以按照 第一類曲線積分 解法如下 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?221222021 c os 2 c os , 0 220 , : 1 c os 1 c os : 1 c os c os 1 c os si n 2c os si n 21 c os c os 1 c os si n 2 2 c os 22 c os c os2r a dl r r dt a dz l r araz z a a az r r aS a a a a da??? ? ? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ????????220222022022c os c os + si n c os c os si n c os 2 c os 2 2 2 24 c os 2 c os c os 2 c os + si n 2 c os c os 2 si n 2 c os 2 c os 4 c os 2 c os c os 2 c os + si n 2 c os c os 2 si n 2 c os