【導(dǎo)讀】1．如果曲面由顯示函數(shù)??決定，則引入球體坐標(biāo)系。而使用第一類(lèi)曲線(xiàn)積分。上介于曲線(xiàn)弧1l和2l之間的曲面片，且。在xoy平面的準(zhǔn)線(xiàn)l的方程可寫(xiě)成如下參數(shù)式。求包括在圓柱面??割下部分的曲面面積。由于對(duì)稱(chēng)性，本題所求錐面所圍的柱面面積為第一象限的4倍，影面積為零，故需要轉(zhuǎn)化到其他坐標(biāo)平面上如xoz的投影。

　　

【正文】 ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ■題型五 關(guān)于隱含邊界題法 【例 25】計(jì)算 11220 1y yI dy dxxy? ???? 解： 用隱含邊界圓弧 1r? 將區(qū)間分為 1D 和 2D 兩部分，使用原點(diǎn)極坐標(biāo)，得 考試點(diǎn)考研網(wǎng) _微支付高清 考試點(diǎn)考研網(wǎng) _微支付高清 ? ?2212441220 0 1 a r c c os221 2 22 2 20 1 1221 2 22 2 20 0 121 2 22 2 20 0 1si n si n1122 12 1 2 1 12 1 2 1 111 2 1 1 1 11 2 1 2 1 rrrI dr d dr drrr r rdr dr drr r rr r rdr dr drr r rdrdr drr r r????????????? ? ? ???? ? ???? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?2 1 3a r c t a n 2 l n2 4 2 2?? ? ? 【例 26】 20I y x dxdy???? 102xD y???? ???? 解：題中 2yx? 為隱含邊界 1222DDI y x d x d y x y d x d y? ? ? ??? ?? 221 2 1221 1 0 532xxdx y x dy dx x y dy ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? 【例 27】 sin ( )DI x y dxdy???? : 0 , 0D x y??? ? ? ? 解：12sin ( ) sin ( )DDI x y d x d y x y d x d y? ? ? ??? ?? 評(píng) 注 如果本題改為 : 0 , 0 2D x y??? ? ? ?，則 ? ? ? ?220 0 0 0 20 0 0s in ( ) s in ( ) s in ( ) s in ( ) 1 c o s 2 1 c o s 4xxxxDI x y d x d y d x x y d y d x x y d y d x x y d yx d x x d x x d x? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ( , )?? xy??? 00 s in ( )xdx x y dy???????0 s in ( )2 xdx x y dy???? ?????? 考試點(diǎn)考研網(wǎng) _微支付高清 考試點(diǎn)考研網(wǎng) _微支付高清 【例 28】 22s g n ( ) xyDI x y e dxdy????? :1D x y x? ? ? 【例 29】 34DI x y dxdy???? 22:1D x y?? 解： 2 1 2 1 20 0 0 03 c o s 4 s i n 5 s i n ( )I d r r r d r d r d r??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 3arctan4?? 220 0 05 5 1 0 2 0sin ( ) sin sin3 3 3 3d d d? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? （利用00( ) ( ) ( ) )T a T Taf x a d x f x d x f x d x?? ? ?? ? ?） 同步練習(xí)： 222D xy x y dxdy? ???? 22:1D x y?? 答案： 916? 。 【例 30】計(jì)算22 1xyI x y dxdy?????? 解：隱含邊界為 0xy??，令 ? ?? ?? ?1233, | , 0 14437, | , 0 144, | , 0 144DDD??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? x y 解： 2 2 2 2 2 21 2 3x y x y x yD D DI e d x d y e d x d y e d x d y???? ? ? ??? ?? ?? 13,DD關(guān)于 Y 軸對(duì)稱(chēng)（二個(gè)區(qū)域），而被積函數(shù)相等 ， 故13DD??? ?? 2 2 2 2 22 21400122 2 ( 1 )4x y x y rD DI e d x d y e d x d y d r e d r e? ????? ? ? ? ??? ?? ? ? 考試點(diǎn)考研網(wǎng) _微支付高清 考試點(diǎn)考研網(wǎng) _微支付高清 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?22121 1 21 1 2314422 0 , =0 =4 , 4 c osD D DxyD D D DD D D DDI x y dx dy x y dx dy x y dx dy x y dx dyx y dx dy x y dx dyx y dx dy D x y x y dx dyx dx dy D x yd???????????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???????? ?? ?? ???? ???? ???? 因 為 關(guān) 于 都 對(duì) 稱(chēng) ， 所 以 因 為 關(guān) 于 具 有 輪 換 對(duì) 稱(chēng) 性 120423d?? ??? 【例 31】 計(jì)算02222x xI x y dxdy??? ? ?? ? ??? 。 解：使用 0x y y x? ? ? ? ?和 22x y x y? ? ? ? ?或 2xy? ?? 共 3條隱含邊界把積分區(qū)間從上到下劃分為 1 2 3。 D D D ，故 ? ?? ?? ?1232 。 22 2 。 22 。 2 x y D y xx y x y D x y xx y D x y x? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?1 2 31 2 2 1 2 322202222 2 2 22 2 2 2222111x D D DxD D D D D D DD D DDDI x y dxdy x y dxdy x y dxdy x y dxdyx y dxdy x y dxdy dxdy dxdy dxdyx y dxdy x y dxdy dxdyx dxdy x y dxdyxd??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ??????? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ???? ?? ???? ??? ?22 1 0 8 0 8DDx dy x y dxdy? ? ? ? ? ? ??????? ?? 【例 32】 ? ?co sDI x y d?????， :D 由 , 0, 2y x y x ?? ? ?所圍。 解：隱含放邊界 ? ?c os 0 2x y x y ?? ? ? ? ? 在圖上畫(huà)出此輔助線(xiàn)。用12D表示積分區(qū)域的下半部分，則： 考試點(diǎn)考研網(wǎng) _微支付高清 考試點(diǎn)考研網(wǎng) _微支付高清 ? ? ? ?? ? ? ?12420442002 c o s 2 c o s2 c o s 2 1 s in 2 12yyDyyI x y d d y x y d xx y d y y d y?????????? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? ? ??? 【例 33】計(jì)算 ? ?22 1 : , 1DI x y d x d y D M a x x y? ? ? ???。 解：隱含邊界 2 2 2 21 0 1x y x y? ? ? ? ? ?把區(qū)域 D 的第一象限部分分為左右兩子域 12 DD和 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?121 2 121222 2 2 22 2 2 2122200112001 =4 1 4 18 1 4 18 1 4 1 21 1 38 4 1 22 2 4 4DDDD D DDDI x y dxdyx y dxdy x y dxdyx y dxdy x y dxdyd d x dxdydy x dx?? ? ? ?????? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ????????? ???? ??? ? ???? 【例 34】計(jì)算積分 ? ?22224 s g n 2xyI x y d xd y??? ? ???。 解：將區(qū)間分為 5 個(gè)部分? ?? ?2 2 2 212 2 2 222 2 2 232 2 2 242 2 2 25: 4 2: 4 2 1: 4 1 2: 4 1 2: 4 2的 左 部的 右 部D x y y xD x y y x xD x y x y xD x y x y xD x y y x? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? 考試點(diǎn)考研網(wǎng) _微支付高清 考試點(diǎn)考研網(wǎng) _微支付高清 ? ?? ?221 5 2 3 42 2 222241 4 1 2 2 40 2 0 0 1 01 2 12 2 20 1 0s gn 24 4 48 2 4 4 44 1 38 l n3 2 xyD D D D Dx x xxI x y dx dydx dy dx dy dx dy dx dy dx dydx dy dx dy dx dyx dx x dx x dx???? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???????? ?? ?? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? 【例 35】計(jì)算積分 ? ?02xyI x y dxdy???????? 。 解：將區(qū)域分為由下到上的 4 個(gè)積分區(qū)間 1 2 3 4。 。 。 D D D D。 ? ?? ?? ?? ?? ?11110 。 1 0 01 。 1 2 0 02 。 2 3 2 23 。 3 2 2 D x y x yD x y x yxyD x y x yD x y x y? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ?1 2 31 3 2 302022321 1 3 32 4 62 2 2 2 x D D DyD D D DI x y dx dy dx dy dx dy dx dydx dy dx dy dx dy dx dyD D D????? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ?? ???? ?? ?? ?? 【例 36】 求 ? ?22m in , xyDI x y e d???? ?? ? ?? ?,xD y? ?? ????? ? ?? ????