【導讀】為微積分的基礎，地位有所加強。學二、三一般以大題的形式出現(xiàn)。用等價無窮小量代換求極限，子是解題的重要技巧。x表明1與x無限接。型且分子分母都以多項。是通過有理化化去無理式。通過等價無窮小來實現(xiàn)。，最后湊指數(shù)部分。換極限式中的因式．．；中應作為首選．．．．．。

　　

【正文】 ]a c c b 上兩次利用羅爾定理有一階導函數(shù)相等的兩點，再對 ()Fx? 用羅爾定理即可。 【 證明 】構造輔助函數(shù) ( ) ( ) ( )F x f x g x??，由題設有 F(a)=F(b)=0. 又 f(x), g(x)在 (a, b)內具有相等的最大值 , 不妨設存在 21 xx ? , ),(, 21 baxx ? 使得 12[ , ] [ , ]( ) m a x ( ) , ( ) m a x ( )a b a bf x M f x g x M g x? ? ? ?， 若 21 xx ? ，令 1xc? , 則 ( ) ? 若 21 xx ? ，因 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) 0F x f x g x F x f x g x? ? ? ? ? ?，從而存在 12[ , ] ( , )c x x a b??，使 ( ) ? 在區(qū)間 [ , ],[ , ]a c c b 上 分 別 利 用 羅 爾 定 理 知 ， 存 在 12( , ), ( , )a c c b????，使得12( ) ( ) 0FF??????. 再對 ()Fx? 在區(qū)間 12[ , ]?? 上應用羅爾定理，知存在 12( , ) ( , )ab? ? ???，有 ( ) 0F ??? ? ， 即 ( ) ( ).fg???? ??? 25 第五講 微積分中不等式 的證明方法討論 教學 目的 通過教學使學生掌握利用函數(shù)的單調性證明不等式 ； 利用拉格朗日中值定理證明不等式；利用函數(shù)的最值證明不等式；利用泰勒公式證明不等式；積分表示的不等式的證明 重 點 難 點 1．利用函數(shù)的單調性證明不等式 2．利用泰勒公式證明不等式 3．積分表示的不等式的證明 教 學 提 綱 若在 ),( ba 上總有 0)( ?? xf ，則 )(xf 在 ),( ba 單調增加；若在 ),( ba 上總有0)( ?? xf ，則 )(xf 在 ),( ba 單調減少。 對于不等式中含有 可考慮用的因子 ,)()( afbf ? 拉格朗日中值定理先處理以下。 令 ],[)( abxf 在區(qū)間 上連續(xù)，則 ],[)( abxf 在區(qū)間 存在最大值 M 和最小值 m ，那么： Mxfm ?? )( 如果要證明的不等式中，含有函數(shù)的二階或二階以上的導數(shù)，一般通過泰勒公式證明不等式。 26 第五講 微積分中不等式的證明方法討論 不等式的證明題作為微分的應用經(jīng)常出現(xiàn)在考研題中。 利用函數(shù)的單調性證明不等式是不等式證明的基本方法，有時需要兩次甚至三次連續(xù)使用該方法。其他方法可作為該方法的補 充，輔助函數(shù)的構造仍是解決問題的關鍵。 若在 ),( ba 上總有 0)( ?? xf ，則 )(xf 在 ),( ba 單調增加；若在 ),( ba 上總有 0)( ?? xf ，則 )(xf在 ),( ba 單調減少。 【評注 】 構造恰 當?shù)妮o助函數(shù)是解決問題的基礎，有時需要兩次利用函數(shù)的單調性證明不等式，有時需要對 ),( ba 進行分割，分別在小區(qū)間上討論。 例１： 證明：當 0 ab?? ? ? 時， s i n 2 c o s s i n 2 c o sb b b b a a a a??? ? ? ? ?. 【 分析 】 利用“參數(shù)變易法”構造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調性證明 . 【 解 】 令 ( ) s in 2 c o s s in 2 c o s , 0f x x x x x a a a a a x b? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 則 ( ) s in c o s 2 s in c o s s inf x x x x x x x x??? ? ? ? ? ? ? ?，且 ( ) 0f ?? ? . 又 ( ) c o s sin c o s sin 0f x x x x x x x?? ? ? ? ? ? ?，（ 0 , sin 0x x x?? ? ?時 ）， 故當 0 a x b ?? ? ? ?時， ()fx? 單調減少，即 ( ) ( ) 0f x f ?????，則 ()fx 單調增加，于是( ) ( ) 0f b f a??，即 s i n 2 c o s s i n 2 c o sb b b b a a a a??? ? ? ? ?. 【 評注 】 證明數(shù)值不等式一般需構造輔助函數(shù)，輔助函數(shù)一般通過移項，使不等式一端為“ 0”，另一端即為所作輔助函數(shù) ()fx，然后求導驗證 ()fx的增減性，并求出區(qū)間端點的函數(shù)值（或極限值）。 例 2： 設 2ebae ??? , 證明 )(4lnln222 abeab ???. 【 分析 】即證 aeabeb2222 4ln4ln ??? 【 證明】 設 xexx22 4ln)( ???， 則 24ln2)( exxx ????， 2ln12)( x xx ?????, 所以當 xe 時， ,0)( ??? x? 故 )(x?? 單調減少，從而當 2exe ?? 時， 044)()(222 ?????? eeex ??， 27 即當 2exe ?? 時， )(x? 單調增加 . 因此當 2ebae ??? 時， )()( ab ?? ? ， 即 aeabeb 2222 4ln4ln ???， 故 )(4lnln222 abeab ???. 【 評注 】 本題也可設輔助函數(shù)為 2222 ),(4lnln)( exaeaxeaxx ????????，請自己證明。 例 3： 證明不等式： 0)( )1(ln)1( 22 ???? xxxx 【 分析 】當 1?x 時，兩端都等于 0，等號成立；應分 ????? xx 110 及 兩種情況 討論。 即證：（ 1） 1ln)1(,1 ???? xxxx （ 2） 22 )1(ln)1(,1 ???? xxxx （ 3） 1ln)1(,1 ???? xxxx 下面的證明就簡單了。 例 4： 設 eab ?? ，證明： ba abab ??? )(2ln 【 分析 】該題的關鍵是設輔助函數(shù)，由多種設法 （ 1） ,)(2ln)( xa axaxxf ???? eab ?? （ 2） )(2)ln) ( ln()( axaxbaxf ????? ， eab ?? 當然，第二種設法更簡單 例 5： 設 eax ?? ,0 ，證明 axa xaa )( ??? 【 分析 】輔助函數(shù)也有多種設法 （ 1） axa xaaxf )()( ??? ? ， eax ?? ,0 （ 2） )ln (ln)()( xaaaxaxf ???? ， eax ?? ,0 （ 3） yaayyf lnln)( ?? ， eay ?? 當然，第三種設法更簡單 。 【練習】 設 0??ab ，證明不等式abab abba a 1lnln2 22 ????? 28 對于不等式中含有 可考慮用的因子 ,)()( afbf ? 拉格朗日中值定理先 處理以下 。 例 6： 證明：當 0ba 時，b babaa ba ???? ln 【 分析 】即證：bba baa 1lnln1 ???? 【證明】 令 ],[,ln)( abxxxf ?? ，在 ],[ ab 上使 用拉格朗日中值定理，知存在 ，使),( ab?? ?? 1)(lnln ????? fba ba ,ab ??? 所以 ba 111 ??? ，即 bba baa 1lnln1 ???? ，變形得證。 例 7： 設 2ebae ??? , 證明 )(4lnln222 abeab ??? 【 證明】 對函數(shù) xxf 2ln)( ? 在 [a,b]上應用拉格朗日中值定理，得 .),(ln2lnln 22 baabab ????? ?? ? 下面證明 .,4ln22 bae ??? ?? ? 設 ttt ln)( ?? ，則2ln1)( t tt ????， 當 te 時， ,0)( ??t? 所以 )(t? 單調減少，從而 )()( 2e??? ? ，即 222 2lnlneee ????， 故 )(4lnln222 abeab ???. 例 8： 設 ba??0 ，則abab abba a 1lnln2 22 ????? 【提示】證明abab ab 1lnln ???，可構造 )ln( ln)( axaxaxxf ???? 令 ],[)( abxf 在區(qū)間 上連續(xù)，則 ],[)( abxf 在區(qū)間 存在最大值 M 和最小值 m ，那么： Mxfm ?? )( 29 例 9： 設 11 ??x , 證明 )1(,1)1(2 1 1 ?????? pxx ppp 證明 ：令 ]1,0[,)1()( ???? xpxxf pp ， 由 0)1()( 11 ????? ?? pp xppxxf 得 11 )1( ?? ?? pp xx ，球的惟一的駐點21?x， 121 2 1)(,1)1()0( ???? pfff，121?p和 1 是 )(xf 在 [0， 1]上的最小值和最大值。 所以： ,1)1(2 1 1 ????? ppp xx ４ ..利用函數(shù)的凹凸性證明不等式 （ 1）在 ）（ ba, 上，若 0)( ??? xf ，則 )(xfy? 的圖像是凹的，弦在圖像的上方； （２）在 ）（ ba, 上，若 0)( ＜xf ?? ，則 )(xfy? 的圖像是凸的，弦在圖像的下方； 例 10: 設 20 ???? yx , 證明 2ta n2ta nta n yxyx ??? 解： 20,ta n)( ???? xxxf 20,0t a ns e c)( 2 ??????? xxxxf 所以 )(xfy? 的圖像是凹的， )2()]()([21 yxfyfxf ??? 得證 ５ .利用泰勒公式證明不等式（見第七講） 30 第六講 中值定理的其它應用 教學 目的 （ 1） 正確理解函數(shù)在指定區(qū)間上單調性的判定法。 （ 2） 會球函數(shù)的極值與最值。 （ 3） 掌握用定義及二階導數(shù)判定函數(shù)圖形的凹凸性并求出拐點。 會求曲線的水平與垂直漸進線 重 點 難 點 重點：函數(shù)單調性的判定，曲線凹凸的判定及拐點的求法與判定 難點：函數(shù)單 調性的判定，曲線凹凸的判定及拐點的求法與判定 教 學 提 綱 （１）極值是函數(shù)的局部概念 （２）極值點在駐點及不可導點取得 （３）極值點的判別法 3..曲線的凹凸性與拐點 曲線的凹凸性與其二階導數(shù)的符號之間的關系。 設 ()fx在 ? ?,ab 上連續(xù)，在 ? ?,ab 內具有一階和二階導數(shù)，那么 (1) 若在 ? ?,ab 內 ( ) 0fx?? ? ，則 ()fx在 ? ?,ab 上的圖形是凹的； (2) 若在 ? ?,ab 內 ( ) 0fx?? ? ，則 ()fx在 ? ?,ab 上的圖形是凸的 。 (3) （拐點）曲線的凹，凸的分界點稱為拐點。 ４ .函數(shù)的 最值 假定 ()fx在 ? ?,ab 上連續(xù)，在開區(qū)間 ? ?,ab 內可導，且至多存在有限個點處的導數(shù)為零或不存在的情況下討論函數(shù) ()fx在 ? ?,ab 上最大值和最小值的求法 ５ .函數(shù)的漸近線 31 第六講 中值定理的其它應用 中值定理用于求函數(shù)的增減區(qū)間、判定函數(shù)的增減性、求函數(shù)的凹凸區(qū)間，求函數(shù)的拐點、求函 數(shù)的極值與最值、求函數(shù)的漸近線等。 函數(shù) ? ?y f x? 在 ? ?,ab 上連續(xù)，在 ? ?,ab 內可導。 (1)如果 ? ?,ab 內 ()fx? ＞ 0，那么函數(shù) ? ?y f x? 在 ? ?,ab 上單調增加； (2)如 果 ? ?,ab 內 ()fx? ＜ 0，那么函數(shù) ? ?y f x? 在 ? ?,ab 上單調減少。 （１）極值是函數(shù)的局部概念 （２）極值點在駐點及不可導點取得 （３）極值點的判別法 第一充分條件： 設函數(shù) ()fx在 0x 處連續(xù)， 若 ? ?00,x x x??? 時， ( ) 0fx? ? ，而 ? ?00,x x x ???時， ( ) 0fx? ? ，則 ()fx在 0x 處取得極大值； 若 ? ?00,x x x??? 時， ( ) 0fx? ? ，而 ? ?00,x x x ???時 ， ( ) 0fx? ? ，則 ()fx 0