【導(dǎo)讀】其實(shí)，所有的考試都是從課本。知識(shí)中發(fā)散來的，所以在復(fù)習(xí)時(shí)就必須看課本，反復(fù)的看，細(xì)節(jié)很重要，特別是基本概念和定理。復(fù)習(xí)小結(jié)了然于心，然后再?gòu)?fù)習(xí)。上學(xué)期微積分理論的基礎(chǔ)。學(xué)好極限，對(duì)于理解連續(xù)還有導(dǎo)數(shù)有著重要意義，很多同學(xué)覺得越學(xué)越。吃力的原因還是在于學(xué)期初沒有扎實(shí)的打好知識(shí)基礎(chǔ)。去發(fā)散、聯(lián)想基礎(chǔ)概念和基本定理和每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用計(jì)算題，對(duì)本章節(jié)的內(nèi)容有個(gè)清晰的思路，這樣就可以在整體上把握書本知識(shí)。以選取一個(gè)最簡(jiǎn)單而且效率最高的解法。對(duì)性的模擬試題。

　　

【正文】 可得到函數(shù)在0xx? 連續(xù)的局部有界性，局部保號(hào)性，不等式等，只要把 )()( 000 xUxU 改成 即可，讀者自己敘述出來。 利用極限 的四則運(yùn)算，我們有 性質(zhì) 1 （連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算）若 0)(),( xxxgxf ?在點(diǎn) 處連續(xù)，則處也連續(xù)在為常數(shù) 00 )0)(()( )())((),()(),()( xxxgxg xfcxcfxgxfxgxf ??? 。 性質(zhì) 2 若 )()(,)( 000 xuufyxxu ?? ??? 在處連續(xù)在 處連續(xù)，則 0))(( xxxfy ?? 在? 處 26 也連續(xù)且 ))(lim())(())((lim00 0 xfxfxf xxxx ??? ?? ?? 在滿足性質(zhì) 2 的條件下，極限符號(hào)與外函數(shù) f 可交換順序，如果僅要可交換順序，有 推論 若 則處連續(xù)在 ,)(,)(lim000 uuufyuxxx ???? ? ))(lim())((lim 00 xfxf xxxx ?? ?? ?。 證 設(shè)??? ??? , ,),()(000xxu xxxxg ? 則 0)( xxg ?在 處連續(xù)，又 )()( 0xguuufy o ??? 在 處連續(xù)，由性質(zhì) 2 知 ))(lim())((lim xgfxgfoo xxxx ?? ?。 由于 所以有要求 ),()(, 00 xxgxxxx ???? ))(lim())((lim xfxfoo xxxx ?? ?? ?。 在這里，我們巧妙地利用可去間斷點(diǎn)的性質(zhì)，構(gòu)造一個(gè)連續(xù)函數(shù)，以滿足所需的條件，上面的性質(zhì) 2 及推論也 是求函數(shù)極限的一個(gè)重要方法。 即極限符號(hào)與外函數(shù) f 交換順序，把復(fù)雜函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)極限。 定理 初等函數(shù)在其定義域上連續(xù)。 六、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理 （最大值與最小值定理）若 )(xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，則 )(xf 在 ? ?ba, 上一定能取到最大值與最小值，即存在 ? ? mxfMxfbaxx ??? )(,)(, 2121 ， 使得對(duì)一切 ? ?bax ,? ，都有Mxfm ?? )( 。 推論 1 若 ? ?baxf ,)( 在閉區(qū)間 上連續(xù)，則 ? ?baxf ,)( 在 上有界。 定理（根的存在定理或零值點(diǎn)定理）若函數(shù) ? ?baxf ,)( 在閉區(qū)間 上連續(xù)， 0)()( ?bfaf ，則至少存在一點(diǎn) 0)(),( ?? ?? fba 使 。 推論 1 若函數(shù) ? ?baxf ,)( 在閉區(qū)間 上連續(xù)，且 )(),(),()( bfafcbfaf 為介于? 之間的任何常數(shù)，則至少存在一點(diǎn) cfba ?? )(),( ?? 使 。 推論 2 若函數(shù) ? ?baxf ,)( 在閉區(qū)間 上連續(xù)，則 ? ?MmfR ,)( ?值域 。 這幾個(gè)定理非常重要，請(qǐng)大家要記住這些定理的條件與結(jié)論，并會(huì)運(yùn)用這些定理去解決問題。 七、重要的函數(shù)極限與重要的等價(jià)量 利用初等函數(shù)的連續(xù)性及極限符號(hào)與外函數(shù)的可交換性及等價(jià)量替換，夾逼定理可得到下面的 27 重要的函數(shù)極限。 1． .1sinlim0 ?? xxx 2. ex xx ???10 )1(lim. 3．0lim?x 1ln)1(limln)1ln (lim)1ln (1lim)1ln (10100 ???????????? exxxxxx xxxxx. 4. 1)1ln ( 1lim)1ln (lim11lim 000 ??????? ???tttttexe ttxxx 設(shè). 5. 0lim?x )1,0(lnlnln 1lim1ln0 為常數(shù)???????? aaaaaxexa axxx . 0lim?x )0,()1ln ()1ln ( 1lim1)1()1l n (0 ?????? ???? ?? bbbbxxxbexx xbxb 為常數(shù). 7．0lim?x 1s in1lims inlima r c s ina r c s in 00 ??? ??tttttxx x tt設(shè). 8．0lim?x 111c oss inlimt a nlima r c t a na r c t a n 00 ?????? ?? ttttttxx x tt設(shè). 9． ???xlim )0(0ln 常數(shù)?? kx xk. 10． ???xlim ),1(0 為常數(shù)常數(shù) kaax xk ?? . 11．若0limxx? 則均為常數(shù) ),()(lim,0)( 0 babxvaxu xx ??? ? 0limxx?)(ln)(lim)(ln)()( 00lim)(xuxVxuxVxxxV xxeexu ??? ?= baabxuxV aeee bxxxx ????? ? lnln)(lnlim)(lim 00 即 bxvxx axu ?? )()(lim 0。 注：不僅要記住這些公式的標(biāo)準(zhǔn)形式，更要明白一般形式。即上面公式中的 x 可換成 )(xf ，只要 oxx? 時(shí)， 0)( ?xf ，結(jié)論依然成立。 利用上述重要極限，我們可以得到下列對(duì)應(yīng)的重要的等價(jià)無窮小量，在解題中經(jīng)常要利用他們 當(dāng) 0?x 時(shí)， ),1,0(ln~1,~1,~)1ln (,~s in 常數(shù)????? aaaxaxexxxx xx. 28 221~c os1,~a r c t a n,~a r c s i n),0(~1)1( xxxxxxbbxx b ???? 常數(shù). 注：上式中的 x 可換成 )(xf ，只要 0xx? 時(shí)， 0)( ?xf .結(jié)論依然成立。 例如 )0)(,)((~)(s in 0 ?? xfxxxfxf 時(shí)若。 此外，若 )(~)(,0)()(lim00 xxAxfAxfxx ???? 常數(shù). 167。 解題基本方法與技巧 一、求函數(shù)極限的有關(guān)定理 等價(jià)量替換定理，若 （ 1） ? ? )(~)(),(~)(),(~)( 0111 xxxhxhxgxgxfxf ?； （ 2） )()( )()(lim 1 110 ??? 或Axh xgxfxx；，則 )()( )()(lim)( )()(lim 1 1100 ??? ?? 或Axh xgxfxh xgxf xxxx. 證 )(111)( )()( )()( )()( )()(lim)( )()(lim 1111 1100 ????????? ?? 或AAxh xhxg xgxf xfxh xgxfxh xgxf xxxx, 即 )()( )()(lim)( )()(lim 1 1100 ??? ?? 或Axh xgxfxh xgxf xxxx. 這個(gè)定理告訴我們，在求函數(shù)極限時(shí)，分子、分母中的因式可用它的簡(jiǎn)單的等價(jià)的量來替換，以便化簡(jiǎn)，容易計(jì)算。但替換以后函數(shù)極限要存在或?yàn)闊o窮大。需要注意的是，分子、分母中加減的項(xiàng)不能替換，應(yīng)分解因式，用 因式替換，包括用等價(jià)無窮小量、等價(jià)無窮大量或一般的等價(jià)量來替換。 夾逼定理 若 Axgxfxxxx ?? ?? )(lim)(lim 00，且存在 0x 的某空心鄰域 ),( 00 ??xU ，使得對(duì)一切),( 00 ??? xUx ，都有 )()()( xgxhxf ?? ，則 Axhxx ?? )(lim0。 單調(diào)有界定理（ 1）若 )(xf 在 )( 00 xU? 內(nèi)遞增（或遞減）有下界（或上界），則 )(lim0 xfxx ??存在。 （ 2）若 )(xf 在 ),( a?? 內(nèi)遞增（或遞減）有下界（或上界），則 )(lim xfx ???存在。 請(qǐng)讀者給出 ???? ? xxx ,0 的敘述。函數(shù)的單調(diào)有界定理應(yīng)用的較少，大家只要了解就可以。 洛必達(dá) )( HospitalL? 法則 I 設(shè) （ 1） 0)(lim,0)(lim00 ?? ?? xgxf xxxx； 29 （ 2）存在 0x 的某鄰域 )( 00 xU ，當(dāng) )( 00 xUx? 時(shí)， )(),( xgxf ?? 都存在，且 0)( ?? xg ； （ 3） )()( )(lim 0 ????? 或Axg xfxx，則 )()( )(lim)( )(lim 00 ????? ?? 或Axg xfxg xf xxxx. 洛必達(dá) )( HospitalL? 法則 II，設(shè) （ 1） ?????? )(lim,)(lim 00 xgxf xxxx； （ 2）存在 0x 的某鄰域 )( 00 xU ，當(dāng) )( 00 xUx? 時(shí)， )(),( xgxf ?? 都存在且 0)( ?? xg ； （ 3） )()( )(lim 0 ????? 或Axg xfxx，則 )()( )(lim)( )(lim 00 ????? ?? 或Axg xfxg xf xxxx. 1．上述兩個(gè)法則中的 0xx? 改成 ?????????? ?? xxxxxxx , 00 時(shí)，條件（ 2）只須作相應(yīng)的修改，結(jié)論依然成立。 2．在用洛必達(dá)法則求極限之前，應(yīng)盡可能把函數(shù)化簡(jiǎn)，或把較復(fù)雜的因式用簡(jiǎn)單等價(jià)的因式來替換，以達(dá)到簡(jiǎn)化，再利用洛必達(dá)法則。 3．利用洛必達(dá)法則求極限時(shí)，可在計(jì)算的過程中論證是否滿足洛必達(dá)法則的條件，若滿足洛必達(dá)法則的條件，結(jié)果即可求出；若不滿足，說明不能使用洛必達(dá)法則，則需用其它求極限的方法。此外，可重復(fù)使用洛必達(dá)法則，但只能用有限次。 注：洛比達(dá)法則是第三章內(nèi)容。 二、函數(shù)極限的類型 1． 若 )(xf 是初等函數(shù)， )(0 xfx ? 的定義域，由初等函數(shù)的連續(xù)性知 )()(lim00 xfxfxx ??. 2．若 BxgAxfxxxx ?? ?? )(lim,)(lim 00，則 （ 1）?????????????????????????????.,0,0,00,0,0,0,0,)()(lim0BABABABABABAxgxfxx常數(shù)常數(shù) （ 2）????????????????.,0,0,0,)()(lim0 BABABAABxgxfxx 常數(shù)常數(shù)常數(shù) 30 ,0 時(shí)??? BA ? ?.,)()(1 )(lim)00()(1 )(lim),0)(()(lim 000 ??????? ???xfxgxgxfxgxfxxxxxx 或 對(duì)于因式中含有對(duì)數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)時(shí)，一般放在分子、否則利用洛必達(dá)法則很繁，或求不出來。 （ 3）??????????????????,,))()((lim0為同號(hào)無窮大、為異號(hào)無窮大、另一個(gè)是無窮大中有一個(gè)是常數(shù)、常數(shù)常數(shù)BABABABABAxgxfxx 當(dāng) BABA 、且, ???? 同號(hào)時(shí)， ? ? ? ?? ?.lim0 xgxfxx ??? 這時(shí)，把 ? ? ? ?xgxf , 化成分式，通分、化簡(jiǎn)，化成“ 00 ”或“ ?? ”，再利用洛必達(dá)法則。 （ 4）? ? ? ???????????????????????????????????BABABABABABAAxfBxgxx,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,00lim0常數(shù)常數(shù) (i)當(dāng) ??? BA ,1 時(shí)， 我們有兩種方法求該未定式的極限，一種方法利用重要極限 ? ?xx x 1lim0 1?? 來計(jì)算，另一種方法，化為以 e 為底的指數(shù)函數(shù)，再利用洛必達(dá)法則。即 解法一 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? .111 .01lim1limlim 01100?????? ?? ??????????? ??? xgxfxgxfxxxgxx xxxf exfxf 再根據(jù)具體情況化成 00 ??或 。 解法二 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? .1 001lnlimlnlimlnlimlim 0000?????????????? xgxfxfxgxxxfxxxgxx xxxg eeexf 這兩種方法，我們經(jīng)常還是利用解法一方便。 （ ii）當(dāng) 0,0 ?? BA 時(shí)，（ iii）當(dāng) 0, ??? BA 時(shí) 這時(shí)，只有化成以 e 為底的指數(shù)函數(shù)，再利用洛必達(dá)法則。即 31 ))(0()(lim 00)(0 ?? xgxx xf))(()(1)(lnlim)0)(0)((ln)(lim)(ln)( 000lim ??????