【正文】 ? ba dxxf )( ??? tabt dxxf )(lim ； （ 5）當(dāng)下限 ax? 為瑕點(diǎn)時(shí)， 26 ?ba dxxf )( 收斂 ? ??? btat dxxf )(lim 收斂，且 ?? ba dxxf )( ??? btat dxxf )(lim ； （ 6）當(dāng)上、下限都是瑕點(diǎn)，或 ),( ba 內(nèi)有瑕點(diǎn) cx? 時(shí)， ?ba dxxf )(收斂 ? ?ca dxxf )(與 ?bc dxxf )(都收斂，且 ?? ba dxxf )( ?? ca dxxf )( ?bc dxxf )( . 6． 兩個(gè)反常積分的收斂性： （ 1）???????????? ??.10,1,111 pppxdxp ， （ 2）????????????.1,10,1 110 qqqxdxq ， 二． 定積分的計(jì)算 1． 基本方法： （ 1） 用微積分基本公式 baba xFaFbFdxxf )()()()( ?????. 注意： 條件是函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)， )(xF 是 )(xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的（任意）一個(gè)原函數(shù)。 （ 2）湊微分法 )].([)]([)()]([)()]([ aFbFxdxfdxxxf baba ?????? ???? ?? 注意： 換元條件，函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，換元函數(shù) )(tx ?? 單調(diào)、可導(dǎo)，且)(),( ???? ?? ba . 提醒：牢記“換元要換限”。 （ 4）分部積分法 ?? ???? bababa dxxvxuxvxudxxvxu )()()()()()( 或 ?? ?? bababa xduxvxvxuxdvxu )()()()()()(. 2． 特殊方法： （ 1） 用幾何意義 ?? ba dxxf )(曲邊梯形面積代數(shù)和。 （ 2） 利用函數(shù)的奇、偶性： 27 若 )(xf 是區(qū)間 ],[ ba 上可積的奇函數(shù)，則 0)( ?? ba dxxf； 若 )(xf 是區(qū)間 ],[ ba 上可積的偶函數(shù)，則 .)(2)(0?? ?bba dxxfdxxf. （ 3） 利用函數(shù)的周期性：若函數(shù)是以 T 為周期的可積函數(shù)，則 ?? ??? bakTb kTa dxxfdxxf )()( （其中 k 為整數(shù)） ?? ?? TTaa dxxfdxxf 0 )()( . （ 4） 利用一些特殊公式：（其中函數(shù) )(xf 連續(xù)） ① ?? ????aaa dxxfxfdxxf 0 )]()([)(； ② ?? ?? aa dxxafdxxf00 )()(； ③ ?? ??? aa dxxafxfdxxf020 )]2()([)(； ④ ?? ? 2020 )(c os)(s in?? dxxfdxxf ； ⑤ ?? ? ?? ?00 )(s i n2)(s i n dxxfdxxxf； 三． 反常積分的計(jì)算 反常積分可以按照定積分的方法用微積分基本公式進(jìn)行計(jì)算，如 )()(l i m)()()( aFxFaFFdxxfxa ?????? ?????? ； 當(dāng)下限 ax? 為瑕點(diǎn)時(shí)， ).(l i m)()()()( xFbFaFbFdxxfaxba ??????? 反常積分也可以用換元積分法和分部積分法進(jìn)行計(jì)算。 第 六 章 總復(fù)習(xí) 內(nèi)容： 定積分 基本要求： 1． 理解定積分定義，掌握定積分幾何意義及定積分性質(zhì)。 2． 理解定積分變限函數(shù)概念，會求其導(dǎo)數(shù)。 3． 熟練掌握定積分的計(jì)算方 法，會用換元法證明定積分等式。 28 4．會計(jì)算反常積分，了解反常積分收斂的概念。 內(nèi)容與方法精講： 四． 定積分的概念 1． 定積分定義： ???? ??ni iiba xfdxxf 10 )(lim)( ??. 當(dāng)函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ],[ ba 上可積時(shí)， ???????? niba n inabafn abdxxf10 )(l i m)(. 特別 當(dāng)函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ]1,0[ 上可積時(shí)， .)(1lim)(110 0 ?? ???nin nifndxxf 定積分的實(shí)質(zhì) ：對 dxxf )( 在 區(qū)間 ],[ ba 上求“無窮和”。 2． 分的幾何意義：曲邊梯形面積代數(shù)和。 3． 定積分的性質(zhì)： （ 1） 線性性 ??? ??? bababa dxxfkdxxfkdxxfkxfk )()()]()([ 22112211； （ 2） 可加性 ： ??? ?? bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(； （ 3） ? ??ba abdx； （ 4） 在區(qū)間 ],[ ba （ ba? ）上，若函數(shù) )()( xgxf ? ，則 ?? ? baba dxxgdxxf )()( . 特別 ① 當(dāng) 0)( ?xf 時(shí)， ? ?ba dxxf 0)(, ② 當(dāng) ba? 時(shí)， ?? ? baba dxxfdxxf )()(； ③ 當(dāng)函數(shù) )(),( xgxf 在區(qū)間 ],[ ba （ ba? ）上連續(xù)， )()( xgxf ? ，且 )(xf 不恒等于 )(xg 時(shí)，有 ?? ? baba dxxgdxxf )()(. （ 5） 定積分估值定理： 在區(qū)間 ],[ ba （ ba? ）上，若函數(shù) )(xf 的最小值為 m ，最大值為 M ，則 ?? )( abm ? ?ba dxxf )( )( abM ? 特別：在區(qū)間 ],[ ba （ ba? ）上，若函數(shù) )(xf 連續(xù)， )(xf 的最小值為 m ， 29 最大值為 M ，且 Mm? ，則 ?? )( abm ? ?ba dxxf )( )( abM ?. （ 6） 定積分中值定理： 若函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，則在 ],[ ba 上至少有一點(diǎn) ? ，使 ? ??ba abfdxxf ))(()( ? 注意： 這里的 ? 可以在開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)取得。 （ 7） 定積分第一中值定理： 若函數(shù) )(),( xgxf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，且函數(shù) )(xg 在 區(qū)間 ],[ ba 上不變號，則在 ],[ ba 上至少有一點(diǎn) ? ，使 ?? ? baba dxxgfdxxgxf )()()()( ? 注： 微積分中三大公式，即拉格朗日中值公式、定積分中值公式、微積分基本公式，構(gòu)成了微積分理論的基本框架，它們之間的關(guān)系可以由下面圖形給出 ： 4． 積分變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（其中函數(shù) )(tf 連續(xù)， )()( xx ?? 、 可導(dǎo)）： ).()]([)()]([)()()]([)()()()()]([)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxxfdttfdxdxfdttfdxdxxfdttfdxdxfdttfdxdxxbxbxxaxa?????????????????????????????；；；； 5． 反常積分： （ 1） ? ??a dxxf )(收斂 ? ????tat dxxf )(lim收斂，且 ? ??a dxxf )( ?????tat dxxf )(lim； （ 2） ???b dxxf )(收斂 ? ????btt dxxf )(lim收斂，且 ???b dxxf )( ? ?????? bt dxxf )(lim； （ 3） ????? dxxf )(收斂 ? ???c dxxf )(與 ? ??c dxxf )(都收斂，且 ?? ???? dxxf )( ????c dxxf )( ? ??c dxxf )(. 30 （ 4）當(dāng)上限 bx? 為瑕點(diǎn)時(shí)， ?ba dxxf )( 收斂 ? ??? tabt dxxf )(lim 收斂，且 ?? ba dxxf )( ??? tabt dxxf )(lim ； （ 5）當(dāng)下限 ax? 為瑕點(diǎn)時(shí)， ?ba dxxf )( 收斂 ? ??? btat dxxf )(lim 收斂，且 ?? ba dxxf )( ??? btat dxxf )(lim ； （ 6）當(dāng)上、下限都是瑕點(diǎn)，或 ),( ba 內(nèi)有瑕點(diǎn) cx? 時(shí)， ?ba dxxf )(收斂 ? ?ca dxxf )(與 ?bc dxxf )(都收斂，且 ?? ba dxxf )( ?? ca dxxf )( ?bc dxxf )( . 6． 兩個(gè)反常積分的收斂性： （ 1）???????????? ??.10,1,111 pppxdxp ， （ 2）????????????.1,10,1 110 qqqxdxq ， 五． 定積分的計(jì)算 1． 基本方法： （ 1） 用微積分基本公式 baba xFaFbFdxxf )()()()( ?????. 注意： 條件是函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)， )(xF 是 )(xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的（任意）一個(gè)原函數(shù)。 （ 2）湊微分法 )].([)]([)()]([)()]([ aFbFxdxfdxxxf baba ?????? ???? ?? 注意： 換元條件，函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，換元函數(shù) )(tx ?? 單調(diào)、可導(dǎo)，且)(),( ???? ?? ba . 提醒：牢記“換元要換限”。 （ 4）分部積分法 ?? ???? bababa dxxvxuxvxudxxvxu )()()()()()( 或 ?? ?? bababa xduxvxvxuxdvxu )()()()()()(. 31 2． 特殊方法： （ 1） 用幾何意義 ?? ba dxxf )(曲邊梯 形面積代數(shù)和。 （ 2） 利用函數(shù)的奇、偶性： 若 )(xf 是區(qū)間 ],[ ba 上可積的奇函數(shù)，則 0)( ?? ba dxxf； 若 )(xf 是區(qū)間 ],[ ba 上可積的偶函數(shù)，則 .)(2)(0?? ?bba dxxfdxxf. （ 3） 利用函數(shù)的周期性：若函數(shù)是以 T 為周期的可積函數(shù)，則 ?? ??? bakTb kTa dxxfdxxf )()( （其中 k 為整數(shù)） ?? ?? TTaa dxxfdxxf 0 )()( . （ 4） 利用一些特殊公式：（其中函數(shù) )(xf 連續(xù)） ① ?? ????aaa dxxfxfdxxf 0 )]()([)(； ② ?? ?? aa dxxafdxxf00 )()(； ③ ?? ??? aa dxxafxfdxxf020 )]2()([)(； ④ ?? ? 2020 )(c os)(s in?? dxxfdxxf ； ⑤ ?? ? ?? ?00 )(s i n2)(s i n dxxfdxxxf； 六． 反常積分的計(jì)算 反常積分可以按照定積分的方法用微積分基本公式進(jìn)行計(jì)算，如 )()(l i m)()()( aFxFaFFdxxfxa ?????? ?????? ； 當(dāng)下限 ax? 為瑕點(diǎn)時(shí)， ).(l i m)()()()( xFbFaFbFdxxfaxba ??????? 反常積分也可以用換元積分法和分部積分法進(jìn)行計(jì)算。 32