2005高等數(shù)學(xué)研究生考試試題及答案-資料下載頁
2025-08-13 13:06本頁面
【導(dǎo)讀】xxy的斜漸近線方程為.4121??本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程公式進(jìn)行計(jì)算即可.如何求垂直漸近線、水平漸近線和斜漸近線，是基本要求，應(yīng)熟練掌握。里應(yīng)注意兩點(diǎn)：1）當(dāng)存在水平漸近線時(shí)，不需要再求斜漸近線；2）若當(dāng)??不存在，則應(yīng)進(jìn)一步討論???x的情形，即在右或左側(cè)是否存。直接套用一階線性微分方程)()(xQyxPy???再由初始條件確定任意常數(shù)即可.y得C=0，故所求解為.91ln31xxxy??，于是所求方向?qū)?shù)為。=},,{lnm非單位向量，則應(yīng)先將其單位化，從而得方向余弦為：。圍成的空間區(qū)域，?的整個(gè)邊界的外側(cè)，則??是封閉曲面且取外側(cè)，自然想到用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球。意計(jì)算的準(zhǔn)確性，主要考查基本的計(jì)算能力.均為3維列向量，記矩陣。轉(zhuǎn)化為用矩陣乘積形式表示。不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分.處處可導(dǎo).恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).本題綜合考查了數(shù)列極限和導(dǎo)數(shù)概念兩個(gè)知識(shí)點(diǎn).設(shè)F是連續(xù)函數(shù)f的一個(gè)原函數(shù)，""NM?
【正文】 ???????????????01121,100,01121321 ??? 令 ? ?321 ????Q ，即為所求的正交變換矩陣，由 x=Qy，可化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形： ),( 321 xxxf = .22 2221 yy ? （ III） 由 ),( 321 xxxf = ?? 2221 22 yy 0，得 kyyy ??? 321 ,0,0 （ k 為任意常數(shù)） . 從而所求解為： x=Qy=? ????????????????????????0003321 cckk???? ，其中 c 為任意常數(shù) . 【 評(píng)注 】 本題 綜合考查了特征值、特征向量、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型以及方程組求解等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，特別是第三部分比較新穎 . 但仔細(xì)分析可以看出，每一部分均是大綱中規(guī)定的基文登學(xué)校 14 本內(nèi)容 . 完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類） P. 468【例 （ 2）】， 【例 】 （ 21）（本題滿分 9 分） 已知 3階矩陣 A的第一行是 cbacba ,),( 不全為零，矩陣???????????kB63642321 （ k 為常數(shù)），且 AB=O, 求線性方程組 Ax=0 的通解 . 【 分析 】 AB=O, 相當(dāng)于告之 B的每一列均為 Ax=0 的解，關(guān)鍵問題是 Ax=0 的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為多少，而這又轉(zhuǎn)化為確定系數(shù)矩陣 A的秩 . 【 詳解 】 由 AB=O 知， B 的每一列均為 Ax=0 的解，且 .3)()( ?? BrAr （ 1）若 k 9? , 則 r(B)=2, 于是 r(A) 1? , 顯然 r(A) 1? , 故 r(A)=1. 可見此時(shí) Ax=0 的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為 3r(A)=2, 矩陣 B 的第一、 第三列線性無關(guān)，可作為其基礎(chǔ)解系，故 Ax=0 的通解為：2121 ,63321kkkkkx ?????????????????????? 為任意常數(shù) . (2) 若 k=9，則 r(B)=1, 從而 .2)(1 ?? Ar 1） 若 r(A)=2, 則 Ax=0 的通解為：11 ,321kkx ??????????? 為任意常數(shù) . 2） 若 r(A)=1,則 Ax=0 的同解方程組為： 0321 ??? cxbxax ,不妨設(shè) 0?a ,則其通解為 2121 ,1001 kkackabkx?????????????? ???????????????? ?? 為任意常數(shù) . 【 評(píng)注 】 AB=O 這類已知條件是反復(fù)出現(xiàn)的，應(yīng)該明確其引申含義： 1） B 的每一列均為 Ax=0 的解； 2） .)()( nBrAr ?? 本題涉及到對(duì)參數(shù) k 及矩陣 A 的秩的討論，這是考查綜合思維能力的一種重要表現(xiàn)形式，今后類似問題將會(huì)越來越多 . 完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類） P. 438【例 】 , P. 389【例 】 （ 22）（本題滿分 9 分） 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的概率密度為 . ,20,10,0 ,1),( 其他 xyxyxf ???????? 文登學(xué)校 15 求：（ I） (X,Y)的邊緣概率密度 )(),( yfxf YX ； （ II） YXZ ??2 的概率密度 ).(zfZ 【 分析 】 求邊緣概率密度直接用公式即可；而求二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度，一般用分布函數(shù)法，即先用定義求出分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到相應(yīng)的概率密度 . 【 詳解 】 （ I） 關(guān)于 X 的邊緣概率密度 )(xfX =????? dyyxf ),( = . ,10,0 ,20 其他 ???????? xdyx =. ,10,0 ,2 其他 ????? xx 關(guān)于 Y 的邊緣概率密度 )(yfY =????? dxyxf ),( = . ,20,0,12 其他???????? ydxy =.,20,0,21 其他 ??????? ? yy （ II） 令 }2{}{)( zYXPzZPzF Z ????? ， 1） 當(dāng) 0?z 時(shí)， 0}2{)( ???? zYXPzF Z ； 2） 當(dāng) 20 ??z 時(shí)， }2{)( zYXPzF Z ??? = 241zz? 。 3) 當(dāng) 2?z 時(shí)， .1}2{)( ???? zYXPzF Z 即分布函數(shù) 為： .2,20,0,1,41,0)( 2????????? ??zzzzzzF Z 故所求的概率密度為：.,20,0,211)( 其他 ??????? ?? zzzfZ 【 評(píng)注 】 本題屬基本題型，只需注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，應(yīng)該可以順利求解 .第二步求隨機(jī)變量函數(shù)分布，一般都是通過定義用分布函數(shù)法討論 . 完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（理工類） P. 519【例 ~39】 , P. 525【例 】 （ 23）（本題滿分 9 分） 設(shè) )2(, 21 ?nXXX n? 為來自總體 N(0,1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本， X 為樣本均值，記文登學(xué)校 16 .,2,1, niXXY ii ???? 求：（ I） iY 的方差 niDY i ,2,1, ?? ； （ II） 1Y 與 nY 的協(xié)方差 ).,( 1 nYYCov 【 分析 】 先將 iY 表示為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量求和，再用方差的性質(zhì) 進(jìn)行計(jì)算即可；求1Y 與 nY 的協(xié)方差 ),( 1 nYYCov ，本質(zhì)上還是數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，同樣應(yīng)注意利用數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算性質(zhì) . 【 詳解 】 由題設(shè)，知 )2(, 21 ?nXXX n? 相互獨(dú)立，且 ),2,1(1,0 niDXEX ii ???? ， .0?XE （ I） ???????nij jiii XnXnDXXDDY ]1)11[()( = ????nij ji DXnDXn 22 1)11( = .1)1(1)1(222 nnnnnn ?????? （ II） )])([(),( 111 nnn EYYEYYEYYC o v ??? = )])([()( 11 XXXXEYYE nn ??? = )( 211 XXXXXXXE nn ??? = 211 )(2)( XEXXEXXE n ?? = 22 121 )(][20 XEXDXXXEn nj j ???? ?? = .112 nnn ???? 【 評(píng)注 】 通過定義求隨機(jī)變量的數(shù)字特征是基本要求，也是到目前為止考查最多的情形，但讀者還應(yīng)注意利用數(shù)字特征的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行分析討論，同樣是求解數(shù)字特征的一個(gè)重要途徑 . 本題為文登學(xué)校輔導(dǎo)班上講授過的原題（原題求相關(guān)系數(shù)，剛好是本題的兩部分，請(qǐng)參見數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分筆記）
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