高等數(shù)學(xué)下冊(cè)資料期末復(fù)習(xí)試題及答案-資料下載頁(yè)
2025-06-24 03:36本頁(yè)面
【正文】 順序： = （B ） （A） （B） （C） （D）5．空間閉區(qū)域由曲面所圍成，則三重積分= （ D ） （A）3 （B）2 （C） （D）46．函數(shù)由方程所確定，則= （A ） （A） （B） （C） （D） 7．冪級(jí)數(shù)的收斂域是 （D ） （A） （B） （C） （D）8．已知微分方程的一個(gè)特解為，則它的通解是（ A）（A）（B）（C）（D）二、填空題（共15分 每小題3分）1．曲面在點(diǎn)處的切平面的方程是．2．若級(jí)數(shù)的斂散性，則數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限是 0?。?．級(jí)數(shù)的斂散性是 收斂 ．4．二元函數(shù)，當(dāng)時(shí)的極限等于 1 。5．微分方程的通解為_(kāi)____________．三、解答題（共54分 每小題6分） 1．設(shè)平面過(guò)點(diǎn)且垂直于兩平面： ： 求此平面的方程．解：設(shè)所求平面的法向量為，則 (4分)所求平面方程為 (6分)2．求兩個(gè)底圓半徑都等于2的直交圓柱面所圍成的立體的體積。 解：設(shè)兩個(gè)圓柱面的方程分別為 （2分） 由于對(duì)稱(chēng)性，只要算出它在第一卦限部分的體積，然后再乘以8即可。 （4分） 從而所求立體的體積為 （6分）3．設(shè)，而，求．解： (2分) (4分) (6分)4．計(jì)算三重積分，其中是曲面 及平面所圍成的區(qū)域（提示：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算）． 解： (2分) （5分） （6分）5．求內(nèi)接于半徑為的球而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積。 解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則題設(shè)問(wèn)題歸結(jié)為約束條件 下，求函數(shù)（均大于0）的最大值。 （2分）作拉格朗日函數(shù) （4分）由方程組 （5分） 進(jìn)而解得唯一可能的極值點(diǎn)，由問(wèn)題的本身意義知，該點(diǎn)就是所求的最大值 點(diǎn)。故該問(wèn)題的最大體積為6．計(jì)算曲線(xiàn)積分，其中是由點(diǎn)到點(diǎn)的上半圓周的有向弧段． 解：添加有向輔助線(xiàn)段，有向輔助線(xiàn)段與有向弧段圍成的閉區(qū)域記為，根據(jù)格林公式 （2分） (4分) (6分)8．設(shè)為平面被柱面所截的部分， 計(jì)算曲面積分 。 解：積分曲面的方程為，它在面上的投影為閉區(qū)域 （2分） 又 所以 = （4分） == （5分） = （6分）9．求微分方程的通解。 解法1：令 則原方程變?yōu)? （2分） 分離變量后積分得 （4分）則，故原方程的通解為 （6分）解法2：可通過(guò)觀(guān)察或求解二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的辦法先得原方程的一個(gè)特解。之后再根據(jù)相應(yīng)的齊次方程的通解而構(gòu)造出原問(wèn)題的通解。
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