【正文】 代入 (*)式得 c o sc o sO x r ea a ara?a?????。 求圓柱體的動(dòng)量需要用 O點(diǎn)的絕對(duì)速度 ， 該速度可用兩種方法求得： ② 基點(diǎn)法：取圓柱體與三棱柱的接觸點(diǎn) D為基點(diǎn) ，分析圓柱體中心 O點(diǎn)的速度 ， 如圖 (b)所示 ,O D O D D O Dv v v r ?? ? ? ?v v v① 復(fù)合運(yùn)動(dòng)法：取圓柱體中心 O為動(dòng)點(diǎn) ， 動(dòng)系與三棱柱固連 ， 則 O點(diǎn)的速度分析如圖 (a)所示 ,a e r e rv v v r ?? ? ? ?v v v(a) c osOxv v r ??? ? ?c osOxv v r ??? ? ?? x y a ar ae m2g FS FN O D 0 1 1 20 , ( c os )xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ?由動(dòng)量守恒定理 : 1 0 1 2 ( c os ) 0xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ? ?兩邊對(duì)時(shí)間 t求導(dǎo)得 1 2 2( ) c os 0 ( * )m m a m r a?? ? ? ?欲求 a需先求出 a， 取圓柱體分析如圖 (c)所示 ， 由平面運(yùn)動(dòng)微分方程得 ()OOJMa ?? F 2212 Sm r F ra ?從中解出 2 c o s 2 sin3agr??a ??221 2 2s in 23 2 s inmgam m m??? ??求出系統(tǒng)動(dòng)量的水平分量： 22( ) sinc os Smmra gFa? ????2 O x xm a F????x39。 ? A C B O vr ? D a v ve vD vOD vD a 解：整體系統(tǒng)在水平方向上受力為零 ， 所以系統(tǒng)的動(dòng)量在水平方向上守恒 。 質(zhì)量為 m2的均質(zhì)圓柱體 O由靜止沿斜面 AB向下滾動(dòng)而不滑動(dòng) 。 桿運(yùn)動(dòng)到任一位置 (與水平方向夾角為 ? )時(shí)的角速度為 2c o sCCvvC P l? ???此時(shí)桿的動(dòng)能為 2222 )c os311(212121CCC vmJmvT ?? ????初動(dòng)能為零 ， 此過(guò)程只有重力作功 ， 由 )s i n1(2)c os3 11(21 22 ?? ??? lmgvm C當(dāng) ?＝ 0176。 當(dāng)桿受微小干擾而倒下時(shí) ， 求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力 。 再由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得 232 ( 2 2 2 )22m R M k R R Ra ? ? ?解得 222 ( 0 . 5 8 5 9 )3M k RmRa??22 ( 0 .5 8 5 9 )3CxM k RaRmRa?? ? ? ?)(3 4 22 kRm gRMmRRa Cy ?????? ??c os 45C x O xma F F??sin 45Cy O ym a F m g F? ? ?代入加速度解得 2 0 . 1 9 5 33OxMF k RR? ? ?3 .6 6 7 1 .0 4 3 4 .1 8 9Oy MF m g k r R? ? ?y C A a x M mg F FOx FOy O ? 45176。 21222 0 ( 2 2 2 )22 kW M m gR R RM m gR k R????? ? ? ? ???? ? ?M O C A C A a y x M mg F FOx FOy O ? 45176。 試求圓盤(pán)到達(dá)最高位置時(shí) ， 軸承O的約束反力 。 B A m1g a m2g a FOx FOy O mg e 由 得 d()d OOLMt ?? F12122 ( )dd 2 ( )mmvagt m m m????? 例 16 如圖所示 ， 均質(zhì)圓盤(pán)可繞 O軸在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng) ， 圓盤(pán)的質(zhì)量為 m， 半徑為 R。 解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象 ， 受力如圖 ， 運(yùn)動(dòng)分析如圖 。 解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象 ， 受力如圖 ， 運(yùn)動(dòng)分析如圖 。B F39。 分別以物塊 A、 B和滑輪為研究對(duì)象 ， 受力如圖 。 假設(shè)不計(jì)繩的質(zhì)量和軸承摩擦 ， 繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng) ， 試求物塊 A的加速度和軸承 O的約束反力 。 t n 23c o s s in ( 1 3 s in )4C y C Cga a aj j j? ? ? ? ? ?t n 3s in c o s s in c o s4C x C Cga a aj j j j? ? ? ? ?質(zhì)心加速度有切向和法向分量： at C an C t c o s4Cga O C aj? ? ?n2 s in2Cga O C ?j? ? ?將其向直角坐標(biāo)軸上投影得： C O mg x y aCx aCy FOy FOx 23 ( 1 3 s in )4Oymg F m gj? ? ? ?3 s in c o s4 Oxmg Fjj??由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 得： 解得： 3 si n 28OxmgF j??2( 1 9 sin )4OymgF j??,Cx x Cy ym a F m a F? ? ? ?B A 例 15 物塊 A和 B的質(zhì)量分別為 m m2， 且 m1＞ m2 ，分別系在繩索的兩端 ， 繩跨過(guò)一定滑輪 ， 如圖 。 01 ?T桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) ， 轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的動(dòng)能為 222222 181)32(1212121 ?? mlllmmlJTO ??????? ????在此過(guò)程中所有的力所作的功為 js i n6112 m glm ghW ???j C O mg 解法 1：用動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng) 以桿為研究對(duì)象 。 普遍定理綜合應(yīng)用 例 14 如圖 ， 均質(zhì)桿質(zhì)量為 m， 長(zhǎng)為 l， 可繞距端點(diǎn) l/3的轉(zhuǎn)軸 O轉(zhuǎn)動(dòng) ， 求桿由水平位置靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的角速度 、 角加速度以及軸承 O的約束反力 。 對(duì)于復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題 ， 不外乎是上述幾種情況的組合 ， 可以根據(jù)各定理的特點(diǎn)聯(lián)合應(yīng)用 。 對(duì)于剛體的平面運(yùn)動(dòng)問(wèn)題 ， 可用平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解 。在用動(dòng)能定理或功率方程求解時(shí)，不作功的未知力在方程中不出現(xiàn)，給問(wèn)題的求解帶來(lái)很大的方便。 (4) 如果問(wèn)題是要求加速度或角加速度，可用動(dòng)能定理求出速度 (或角速度 ) ，然后再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，求出加速度 (或角加速度 ) 。若質(zhì)點(diǎn)系僅受有勢(shì)力的作用或非有勢(shì)力不作功，則用機(jī)械能守恒定律求解。若質(zhì)點(diǎn)系所受外力的主矢為零或在某軸上的投影為零，則可用動(dòng)量守恒定律求解。已知外力求質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。 下面就只用一個(gè)定理就能求解的題目，如何選擇定理，說(shuō)明如下： (1 )與路程有關(guān)的問(wèn)題用動(dòng)能定理，與時(shí)間有關(guān)的問(wèn)題用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理。 但應(yīng)注意 ， 在有些情況下質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力也要作功 ， 應(yīng)用時(shí)要具體分析 。 但每一定理又只反映了這種關(guān)系的一個(gè)方面 ， 即每一定理只能求解質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)某一方面的問(wèn)題 。 ● 機(jī)械能守恒 — 系統(tǒng)僅在有勢(shì)力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)， 其機(jī)械能保持恒定。 12 1W V V??3. 機(jī)械能守恒定律 ● 保守系統(tǒng) — 僅在有勢(shì)力作用下的系統(tǒng)。 如果物體在某力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，作用于物體的力所作的功只與力作用點(diǎn)的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點(diǎn)的軌跡形狀無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱為 —— 勢(shì)力場(chǎng)（保守力場(chǎng)）。勢(shì)能 解：車床正常工作時(shí)，工件勻速旋轉(zhuǎn)，動(dòng)能無(wú)變化 0dd ＝tT 無(wú)用輸入有用 －＝ PPPkW45 .＝輸入P kW62130 .% ??輸入無(wú)用 ＝ PP其中 kW783 .?無(wú)用輸入有用 －＝ PPP切削力 F 與工件在切削力作用點(diǎn)的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?切削力 F 與工件在切削力作用點(diǎn)的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?當(dāng) n = 42 r/min 時(shí) 60 .. ?????F當(dāng) n = 112 r/min 時(shí) 60 .. ?????F167。工件的直徑 d＝ 100 mm。 —— 功率方程 無(wú)用有用輸入 －－＝ PPPtTdd輸入P有用P無(wú)用P—— 輸入功率 —— 有用