【正文】 的力所作的功為 js i n6112 m glm ghW ???j C O mg 解法 1：用動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng) 以桿為研究對(duì)象 。已知外力求質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。 解：車(chē)床正常工作時(shí)，工件勻速旋轉(zhuǎn)，動(dòng)能無(wú)變化 0dd ＝tT 無(wú)用輸入有用 －＝ PPPkW45 .＝輸入P kW62130 .% ??輸入無(wú)用 ＝ PP其中 kW783 .?無(wú)用輸入有用 －＝ PPP切削力 F 與工件在切削力作用點(diǎn)的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?切削力 F 與工件在切削力作用點(diǎn)的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?當(dāng) n = 42 r/min 時(shí) 60 .. ?????F當(dāng) n = 112 r/min 時(shí) 60 .. ?????F167。 重物 B與水平面間的動(dòng)摩擦系數(shù)為 f 39。系統(tǒng)從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求圓柱中心 C經(jīng)過(guò)路程 S 時(shí)的速度。 對(duì)上式積分 ， 得 1212 WTT ??? 質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 ， 起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能的改變量 ， 等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這一過(guò)程中所作的功之和 。 2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的算術(shù)和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 ， 即 221ii vmT ?? 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 剛體是工程實(shí)際中常見(jiàn)的質(zhì)點(diǎn)系 ， 當(dāng)剛體的運(yùn)動(dòng)形式不同時(shí) ， 其動(dòng)能的表達(dá)式也不同 。m 。同時(shí) ， 它還可以建立機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其它形式運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系 。 力 F的元功為 ttδ d d d dzW F s F R Mjj? ? ? ?F r =Ft F r Fb Fn O z O1 A ? 力 F在剛體從角 j1轉(zhuǎn)到 j2所作的功為 2112 dzWMjj j? ?Mz可視為作用在剛體上的力偶 a 例 1 如圖所示滑塊重 P＝ N， 彈簧剛度系數(shù) k＝ N/cm， 滑塊在 A位置時(shí)彈簧對(duì)滑塊的拉力為 N，滑塊在 20 N的繩子拉力作用下沿光滑水平槽從位置 A運(yùn)動(dòng)到位置 B， 求作用于滑塊上所有力的功的和 。 解： AB桿作平面運(yùn)動(dòng) ， 其質(zhì)心 C的速度為 C A C A??v v v 速度合成矢量圖如圖 。求純滾動(dòng)時(shí)盤(pán)心的加速度。時(shí)AB桿的角速度 。 2. 功 率 方 程 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式 ?iiWT dd ＝等式兩邊同除以 dt ???iiii PtWtTdddd ＝ 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)上所有有功力的功率之代數(shù)和。 動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式 ， 因質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動(dòng)量和動(dòng)量矩 ， 應(yīng)用時(shí)只需考慮質(zhì)點(diǎn)系所受的外力；動(dòng)能定理是標(biāo)量形式 ， 在很多問(wèn)題中約束反力不作功 ， 因而應(yīng)用它分析系統(tǒng)速度變化是比較方便的 。 有時(shí)一個(gè)問(wèn)題 ， 幾個(gè)定理都可以求解 ， 此時(shí)可選擇最合適的定理 ， 用最簡(jiǎn)單的方法求解 。 系統(tǒng)動(dòng)能為 2 2 2 2112 22121 1 1 ( ) ( )2 2 21 ( 2 2 )4vT m v m v m rrm m m v? ? ?? ? ?所有力的元功的代數(shù)和為 1 2 1 2δ ( ) d ( ) diW m m g s m m gv t? ? ? ? ?1 2 1 21 ( 2 2 ) d ( ) d2 m m m v v m m g v t? ? ? ?于是可得 B A m1g v m2g v FOx FOy O mg ? 由微分形式的動(dòng)能定理得 12122 ( )2 ( )mmagm m m????121d ( 2 2 ) d2T m m m v v? ? ? 1 2 1 2( ) ( )Cy O ym m m a F m m m g? ? ? ? ? ?由質(zhì)心坐標(biāo)公式 1212Cymmaam m m?????于是可得 21212122 ( )()2 ( )OymmF m m m g gm m m?? ? ? ???B A m1g v m2g v FOx FOy mg ? 由 得 ,Cx x Cy ym a F m a F? ? ? ?1212ΣΣi i A B OCim y m y m y m yym m m m?????? 解三：用動(dòng)量矩定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 (或動(dòng)量定理 )。 如斜面的傾角為 ?， 求三棱柱體的加速度 。 解：由于地面光滑 ， 直桿沿水平方向不受力 ， 倒下過(guò)程中質(zhì)心將鉛直下落 。分別由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程 ， 得 21 ( ) ( 3 )2 ABm r F F ra ??? ? ?m1g FA a m2g FB a A B O r 11 ( 1 )Am a m g F??22 ( 2 )Bm a F m g??0 ( 4 )OxF?0 ( 5 )O y A BF F F m g??? ? ? ? F39。也可用功率方程、動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理求解。 ● 機(jī)械能 — 系統(tǒng)所具有的動(dòng)能與勢(shì)能的總稱。 144 功率 求軸 Ⅰ 的角加速度。 例 6 一長(zhǎng)為 l， 質(zhì)量密度為 ρ 的鏈條放置在光滑的水平桌面上 ， 有長(zhǎng)為 b的一段懸掛下垂 ， 如圖 。 。 建立如圖坐標(biāo) ， 則 0 , 0 ,x y zF F F m g? ? ? ?代入功的解析表達(dá)式得 211 2 1 2( ) d ( )zzW m g z m g z z? ? ? ?? 常見(jiàn)力的功 力的功 M1 M2 M mg z1 z2 O x y z 對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系 ， 其重力所作的功為 1 2 1 2121212()()()()i i ii i i iCCCCW m g z zm z m z gMz Mz gMg z z? ? ?? ? ? ?????由此可見(jiàn) ， 重力的功僅與重心的始末位置有關(guān) ， 而與重心走過(guò)的路徑無(wú)關(guān) 。功率方程 δ dW ??Fr 21dMMW ??? Fr稱為 矢徑法表示的功的計(jì)算公式 。 v A B ? C 解： I I 為 AB桿的瞬心 234AT M v???? ?? s inlv 222111 2 2 3IlI m l m m l??? ? ?????2222112 6 s in 3A B I A BmvT I m v??? ? ?? ?21 9412T M m v??總例 2 均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為 l，質(zhì)量為 m，上端 B靠在光滑的墻上，下端 A用鉸與質(zhì)量為 M半徑為 R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連，在圖示位置圓柱作純滾動(dòng)，中心速度為 v，桿與水平線的夾角 ?=45o，求該瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能。 ? 滑動(dòng)摩擦力作負(fù)功 。 設(shè)連桿長(zhǎng)均為 l， 質(zhì)量均為 m， 均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為 m1， 且作純滾動(dòng) 。在圖示位置 ， 系統(tǒng)靜止 ， 彈簧的伸長(zhǎng)為 20 cm。 如果物體在某力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，作用于物體的力所作的功只與力作用點(diǎn)的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點(diǎn)的軌跡形狀無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱為 —— 勢(shì)力場(chǎng)（保守力場(chǎng)）。若質(zhì)點(diǎn)系僅受有勢(shì)力的作用或非有勢(shì)力不作功，則用機(jī)械能守恒定律求解。 假設(shè)不計(jì)繩的質(zhì)量和軸承摩擦 ， 繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng) ， 試求物塊 A的加速度和軸承 O的約束反力 。 再由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得 232 ( 2 2 2 )22m R M k R R Ra ? ? ?解得 222 ( 0 . 5 8 5 9 )3M k RmRa??22 ( 0 .5 8 5 9 )3CxM k RaRmRa?? ? ? ?)(3 4 22 kRm gRMmRRa Cy ?????? ??c os 45C x O xma F F??sin 45Cy O ym a F m g F? ? ?代入加速度解得 2 0 . 1 9 5 33OxMF k RR? ? ?3 .6 6 7 1 .0 4 3 4 .1 8 9Oy MF m g k r R? ? ?y C A a x M mg F FOx FOy O ? 45176。 求圓柱體的動(dòng)量需要用 O點(diǎn)的絕對(duì)速度 ， 該速度可用兩種方法求