【正文】 設(shè)某瞬時(shí)三棱柱的速度是 v， 圓柱體的角速度是 ?。 y x an C at C aCx aCy 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程得 例 17 均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為 l， 質(zhì)量為 m， 靜止直立于光滑水平面上 。 系統(tǒng)對(duì)定軸的動(dòng)量矩為 212121()21 ( 2 2 )2OL m v r m v r mrm m m v r?? ? ?? ? ?1 2 1 2d1 ( 2 2 ) ( )2 dvm m m r m m g rt? ? ? ?然后按解二的方法即可求得軸承 O的約束反力 。 解一：取單個(gè)物體為研究對(duì)象 。 下面舉例說明 。若作用在質(zhì)點(diǎn)系上的非有勢(shì)力作功，則用動(dòng)能定理求解。 普遍定理綜合應(yīng)用 動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用有兩方面含義：其一 ，對(duì)一個(gè)問題可用不同的定理求解；其二 ， 對(duì)一個(gè)問題需用幾個(gè)定理才能求解 。 2. 勢(shì) 能 在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn) M運(yùn)動(dòng)到任選的點(diǎn) M0，有勢(shì)力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn) M相對(duì)于點(diǎn) M0的勢(shì)能，以 V 表示為 ?? ????? 00 )(MMMM Z d zY d yXd xdV rFa. 重力場(chǎng)中的勢(shì)能 b. 彈性力場(chǎng)中的勢(shì)能 取 M0為零勢(shì)能點(diǎn)，則點(diǎn) M 的勢(shì)能為： )( 00 zzmgm g d zV zz ???? ?)(2 202 dd ?? kV取彈簧自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)，則有： 22 dkV ?c. 萬有引力場(chǎng)中的勢(shì)能 )11(122022100rrmmfdrrmfmdrmfmdV1rr 21AAAA1??????????? rrrF取無窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)，則有： rmmfV 1 2??★ 有勢(shì)力所作的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程的初始與終了位置的勢(shì)能的差。傳動(dòng)零件之間的磨擦損耗功率為輸入功率的 30％ 。 然后無初速釋放 ， 求當(dāng)桿到達(dá)鉛垂位置時(shí)的角速度 。時(shí) O點(diǎn)與A點(diǎn)重合 ， 即此時(shí) A為 AB桿的速度瞬心 ，所以 1 0T ?2 2 2 221 1 12 2 3A A B C B CPT J J lg? ? ?? ? ?主動(dòng)力做功 ( 2 2 c os )FW F s F l l F l?? ? ? ?重力做功 132 s in22PW P l P l?? ? ?彈簧力做功 2 2 2 2121 1 1( ) [ 0 ( ) ]2 2 2 8ElW k k l k ldd? ? ? ? ? ? ?外力所做總功 2123128F P EW W W W F l P l k l? ? ? ? ? ??由動(dòng)能定理的積分形式得： 2 2 21 3 13 2 8P l F l P l k lg ? ? ? ?3 1 1( ) / 3 . 2 8 r a d /s2 8 3WP W k l lg? ? ? ? ? 因?yàn)橄到y(tǒng)屬理想約束 ， 所以約束反力不做功 ， 做功的力有主動(dòng)力 F， 重力 P和彈簧力 ， 分別求得如下： 解：取系統(tǒng)分析 ， 則運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)的動(dòng)能為 例 12 如圖 ， 重物 A和 B通過動(dòng)滑輪 D和定滑輪而運(yùn)動(dòng) 。 解：分析系統(tǒng) ， 初瞬時(shí)的動(dòng)能為 01 ?T 設(shè)連桿 OA運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)的角速度為 ?， 由于 OA＝ AB， 所以桿AB的角速度也為 ?， 且此時(shí) B端為桿AB的速度瞬心 ， 因此輪 B的角速度為零 ， vB=0。 s 1 0T ?力的功： js in12 m g sW ?由動(dòng)能定理得： js in043 2 m gsmv C ??22 43CmvT ?js in32 ga ?解得： 例 8 卷揚(yáng)機(jī)如圖，鼓輪在常力偶 M的作用下將圓柱上拉。 ? 當(dāng)輪子在固定面上只滾不滑時(shí) ， 滑動(dòng)摩擦力不作功 。 積分上式 ， 得 212121d ( )2vvm v W??或 122122 2121 Wmvmv ??在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過程中 ， 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功 。 v IA? ???A ABT T T??總a O r dr O1 ? P A B C 例 3 長(zhǎng)為 l， 重為 P的均質(zhì)桿 OA由球鉸鏈O固定 ， 并以等角速度 ? 繞鉛直線轉(zhuǎn)動(dòng) ，如圖所示 ， 如桿與鉛直線的交角為 a，求桿的動(dòng)能 。 由于P與 N始終垂直于滑塊位移 ， 因此 ， 它們所作的功為零 。 在直角坐標(biāo)系中 d d d dx y zF F F x y z? ? ? ? ? ?F i j k , r i j kδ d d dx y zW F x F y F z? ? ?21( d d d )M x y zMW F x F y F z? ? ?? 力的功 上兩式可寫成矢量點(diǎn)乘積形式 上式稱為 直角坐標(biāo)法表示的功的計(jì)算公式 ， 也稱為 功的解析表達(dá)式 。 引言 常力的功 設(shè)物體在常力 F作用下沿直線走過路程 s， 如圖 ，則力所作的功 W定義為 cosW F s?? ? ? ?Fs功是代數(shù)量 。第十三章 動(dòng)能定理 ? 力的功 ? 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 ? 動(dòng)能定理 ? 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例 ? 功率 它表示力在一段路程上的累積作用效應(yīng) ，因此功為累積量 。 1) 重力的功 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 m， 在重力作用下從 M1運(yùn)動(dòng)到 M2。 所以只需計(jì)算 T 與 F的功 。 1 si nrv O B r? ? a? ? ?1ddPmrlg? ? ?22221d d s in d22 rPrT m v rgl? a? ? ? ? ?桿 OA的動(dòng)能是 2 2 2 22200d s in d s in26ll P r P lT T rg l g?? aa? ? ? ???解：取出微段 dr到球鉸的距離為 r，該微段的速度是 微段的質(zhì)量 微段的動(dòng)能 O1 例 4 求橢圓規(guī)的動(dòng)能 ， 其中 OC、 AB為均質(zhì)細(xì)桿 ， 質(zhì)量為 m和2m， 長(zhǎng)為 a和 2a， 滑塊 A和 B質(zhì)量均為 m， 曲柄 OC的角速度為?， j = 60176。 動(dòng)能定理 21d( ) δ2 m v W?2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由 n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成 ， 第 i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 mi，速度為 vi， 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理的微分形式 ， 有 21d ( ) δ2 i i im v W?式中 dWi表示作用在第 i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上所有力所作的元功之和 。 ? 變形元件的內(nèi)力 (氣缸內(nèi)氣體壓力 、 彈簧力等 )作功；剛體所有內(nèi)力作功的和等于零 。已知鼓輪的半徑為 R1，質(zhì)量為 m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為 R2，質(zhì)量為 m2，質(zhì)量均勻分布。 系統(tǒng)此時(shí)的動(dòng)能為 2222 2 2 2 2 211221 1 1 1 1( ) ( )2 3 2 3 3OBT I Im l m l m l??? ? ???? ? ?O a A F B ? vA vB 系統(tǒng)受力如圖所示 ， 在運(yùn)動(dòng)過程中所有的力所作的功為 12 2( si n ) si n2( ) si nlW m g Flm g F laaa? ? ???221 0 ( ) sin3 m l m g F l?a? ? ?解得 3 ( ) s inm g Flma? ??O a A F B mg mg FS FN m1g FOx FOy 1212 WTT ???由 得 例 10 已知： J1 ， J2 ， R1 ， R2 ， i12 = R2 / R1 M1 ， M2 。 如果重物 A開始時(shí)向下的速度為 v0，試問重物 A下落多大距離 ， 其速度增大一倍 。 解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象 ， 則運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)的動(dòng)能為 01 ?T 當(dāng)桿運(yùn)動(dòng)到鉛垂位置時(shí) ， 其速度瞬心為桿端 B， 設(shè)此時(shí)桿的角速度為 ?， 則系統(tǒng)的動(dòng)能為 2 2 222 2 21 1 1()2 2 311( 10 0. 6 ) 0. 6 N m23PT J m l??????? ? ? ? ??30B A C mg 30 cm 在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中 ， 只有重力和彈力作功 ， 所以在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中所有的力所