【正文】 ( )2 3 2 3 3OBT I Im l m l m l??? ? ???? ? ?O a A F B ? vA vB 系統(tǒng)受力如圖所示 ， 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有的力所作的功為 12 2( si n ) si n2( ) si nlW m g Flm g F laaa? ? ???221 0 ( ) sin3 m l m g F l?a? ? ?解得 3 ( ) s inm g Flma? ??O a A F B mg mg FS FN m1g FOx FOy 1212 WTT ???由 得 例 10 已知： J1 ， J2 ， R1 ， R2 ， i12 = R2 / R1 M1 ， M2 。系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有力所作的功為 sgmRsMW ???? as i n2112系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為 01 ?T 2 2 22 1 1 2 21 1 12 2 2CCT I m v I??? ? ?a FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 其中 21 1 1I m R? 22212CI m R?11 RvC??22 RvC??于是 )32(4 2122 mmvT C ??由 1212 WTT ???得 sgmRsMmmv C ????? as i n0)32(4 21212解之得 )32()s i n(221112mmRsgRmMvC ??? aa FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 例 9 在對(duì)稱連桿的 A點(diǎn) ， 作用一鉛垂方向的常力 F， 開始時(shí)系統(tǒng)靜止 ， 如圖 。已知鼓輪的半徑為 R1，質(zhì)量為 m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為 R2，質(zhì)量為 m2，質(zhì)量均勻分布。 bbl?解得 lblgv )( 222??解 :鏈條在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為 01 ?T222 21 lvT ?? 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有的力所作的功為 )(21)(21)()( 2212 blgblblgblgbW ??????? ???由 1212 WTT ???例 7 已知： m ， R, f ， j 。 ? 變形元件的內(nèi)力 (氣缸內(nèi)氣體壓力 、 彈簧力等 )作功；剛體所有內(nèi)力作功的和等于零 。 ? 光滑鉸支座和固定端約束 ， 其約束力也不作功 。 動(dòng)能定理 21d( ) δ2 m v W?2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由 n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成 ， 第 i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 mi，速度為 vi， 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理的微分形式 ， 有 21d ( ) δ2 i i im v W?式中 dWi表示作用在第 i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上所有力所作的元功之和 。 試求當(dāng)桿 AB與鉛垂線的夾角為 j 時(shí) ， 桿的動(dòng)能 。 1 si nrv O B r? ? a? ? ?1ddPmrlg? ? ?22221d d s in d22 rPrT m v rgl? a? ? ? ? ?桿 OA的動(dòng)能是 2 2 2 22200d s in d s in26ll P r P lT T rg l g?? aa? ? ? ???解：取出微段 dr到球鉸的距離為 r，該微段的速度是 微段的質(zhì)量 微段的動(dòng)能 O1 例 4 求橢圓規(guī)的動(dòng)能 ， 其中 OC、 AB為均質(zhì)細(xì)桿 ， 質(zhì)量為 m和2m， 長(zhǎng)為 a和 2a， 滑塊 A和 B質(zhì)量均為 m， 曲柄 OC的角速度為?， j = 60176。?＝ vC ,于是得 222121 ?CC JmvT ?? 平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能的和 。 所以只需計(jì)算 T 與 F的功 。 常見力的功 3) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功 設(shè)作用在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上 A點(diǎn)的力為 F, 將該力分解為 Ft、 Fn和 Fb， 常見力的功 當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角 j與弧長(zhǎng) s的關(guān)系為 t c osF ??FddsR j?R為力作用點(diǎn) A到軸的垂距 。 1) 重力的功 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 m， 在重力作用下從 M1運(yùn)動(dòng)到 M2。力 F在微小弧段上所作的功稱為力的元功 , 記為 dW, 于是有 δ c os dW F s??? 力的功 M39。 它表示力在一段路程上的累積作用效應(yīng) ，因此功為累積量 。 不同于動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理 ， 動(dòng)能定理是從能量的角度來(lái)分析質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題 ， 有時(shí)是更為方便和有效的 。第十三章 動(dòng)能定理 ? 力的功 ? 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 ? 動(dòng)能定理 ? 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例 ? 功率 本章以功和動(dòng)能為基礎(chǔ) ， 建立質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的改變和力的功之間的關(guān)系 ， 即動(dòng)能定理 。 引言 常力的功 設(shè)物體在常力 F作用下沿直線走過(guò)路程 s， 如圖 ，則力所作的功 W定義為 cosW F s?? ? ? ?Fs功是代數(shù)量 。 變力的功 設(shè)質(zhì)點(diǎn) M在變力 F的作用下沿曲線運(yùn)動(dòng) ， 如圖 。 在直角坐標(biāo)系中 d d d dx y zF F F x y z? ? ? ? ? ?F i j k , r i j kδ d d dx y zW F x F y F z? ? ?21( d d d )M x y zMW F x F y F z? ? ?? 力的功 上兩式可寫成矢量點(diǎn)乘積形式 上式稱為 直角坐標(biāo)法表示的功的計(jì)算公式 ， 也稱為 功的解析表達(dá)式 。 設(shè)彈簧原長(zhǎng)為 l0 , 則彈性力為 00()k r l? ? ?Fr22111 2 0 0d ( ) dAAW k r l? ? ? ? ???F r = r rA1 A2 r2 r1 l0 O r0 r A d F A0 dr 常見力的功 于是 21221 2 0 1 0 2 01( ) d ( ) ( )2rrW k r l r k r l r l??? ? ? ? ? ? ????或 )(21 222112 dd ?? kW因?yàn)? 2011d d d ( ) d d22 rrr r r? ? ? ? ? ? ?rr r r r r彈性力作的功只與彈簧在初始和末了位置的變形量有關(guān) ， 與力的作用點(diǎn) A的軌跡形狀無(wú)關(guān) 。 由于P與 N始終垂直于滑塊位移 ， 因此 ， 它們所作的功為零 。 (1) 平動(dòng)剛體的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 222212121CiCii MvmvvmT ????? (2) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能 2 2 22 2 211221122i i i ii i zT m v m rm r J???? ? ? ?? ? ? (3) 平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能 212 PTJ ??因?yàn)?JP＝ JC + md 2 所以 2222 )(2121)(21 ??? ????? dmJmdJTCC因?yàn)?d v IA? ???A ABT T T??總a O r dr O1 ? P A B C 例 3 長(zhǎng)為 l， 重為 P的均質(zhì)桿 OA由球鉸鏈O固定 ， 并以等角速度 ? 繞鉛直線轉(zhuǎn)動(dòng) ，如圖所示 ， 如桿與鉛直線的交角為 a，求桿的動(dòng)能 。 首先對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析 ， O1是 AB的速度瞬心 ， 因 : 1 2 c osA A Bv O A a a? j ? ?? ? ? ? ?222122A A AmaT m v ???A B O C j ? vC vB vA ?AB 1 2 sin 3B A Bv O B a a? j ? ?? ? ? ? ?2221322B B BmaT m v ???1c ABv O C OC??? ? ? ?AB????A B vA vC O C j O1 ? vB ?AB 對(duì)于曲柄 OC： 2213O O CI m a m a??規(guī)尺作平面運(yùn)動(dòng)，用繞速度瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)的公式求動(dòng)能： 2112 2 21812 32 ( 2 ) 2O C ABI I m O Cm a m a ma? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2 2 222