【正文】 y39。 如斜面的傾角為 ?， 求三棱柱體的加速度 。 解：由于地面光滑 ， 直桿沿水平方向不受力 ， 倒下過程中質心將鉛直下落 。 1 0T ?2 2 221324OT J m R????132 2 222OJ m R m R m R? ? ? ?2 2 23 2 0 .3 4 3 14 m R M m g R k R??? ? ?解得 )(3 4 22 kRm gRMmR ??? ??由 2 1 1 2T T W? ? ?得 y C A a x M mg F FOx FOy O ? 45176。 在圓盤的質心 C上連結一剛性系數(shù)為 k的水平彈簧 ， 彈簧的另一端固定在 A點 ， CA＝ 2R為彈簧的原長 ， 圓盤在常力偶矩 M的作用下 ， 由最低位置無初速地繞 O軸向上轉 。 系統(tǒng)動能為 2 2 2 2112 22121 1 1 ( ) ( )2 2 21 ( 2 2 )4vT m v m v m rrm m m v? ? ?? ? ?所有力的元功的代數(shù)和為 1 2 1 2δ ( ) d ( ) diW m m g s m m gv t? ? ? ? ?1 2 1 21 ( 2 2 ) d ( ) d2 m m m v v m m g v t? ? ? ?于是可得 B A m1g v m2g v FOx FOy O mg ? 由微分形式的動能定理得 12122 ( )2 ( )mmagm m m????121d ( 2 2 ) d2T m m m v v? ? ? 1 2 1 2( ) ( )Cy O ym m m a F m m m g? ? ? ? ? ?由質心坐標公式 1212Cymmaam m m?????于是可得 21212122 ( )()2 ( )OymmF m m m g gm m m?? ? ? ???B A m1g v m2g v FOx FOy mg ? 由 得 ,Cx x Cy ym a F m a F? ? ? ?1212ΣΣi i A B OCim y m y m y m yym m m m?????? 解三：用動量矩定理和質心運動定理 (或動量定理 )。分別由質心運動定理和定軸轉動的微分方程 ， 得 21 ( ) ( 3 )2 ABm r F F ra ??? ? ?m1g FA a m2g FB a A B O r 11 ( 1 )Am a m g F??22 ( 2 )Bm a F m g??0 ( 4 )OxF?0 ( 5 )O y A BF F F m g??? ? ? ? F39。 滑輪的質量為 m， 并可看成是半徑為 r的均質圓盤 。 解：本題已知主動力求運動和約束反力 。 有時一個問題 ， 幾個定理都可以求解 ， 此時可選擇最合適的定理 ， 用最簡單的方法求解 。也可用功率方程、動量定理或動量矩定理求解。若質點系所受外力對某固定軸的矩的代數(shù)和為零，則可用對該軸動量矩守恒定律求解。 (2 )已知主動力求質點系的運動用動能定理，已知質點系的運動求約束反力用動量定理或質心運動定理或動量矩定理。 動量定理和動量矩定理是矢量形式 ， 因質點系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動量和動量矩 ， 應用時只需考慮質點系所受的外力；動能定理是標量形式 ， 在很多問題中約束反力不作功 ， 因而應用它分析系統(tǒng)速度變化是比較方便的 。 ● 機械能 — 系統(tǒng)所具有的動能與勢能的總稱。機械能守恒定律 1. 勢 力 場 如果一物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為 —— 力場。求：轉速n=42 r/min 和 n =112 r/min 的允許最大切削力。 2. 功 率 方 程 質點系動能定理的微分形式 ?iiWT dd ＝等式兩邊同除以 dt ???iiii PtWtTdddd ＝ 質點系動能對時間的一階導數(shù)等于作用在系統(tǒng)上所有有功力的功率之代數(shù)和。 144 功率 在此過程中 ， 所有的力所作的功為 ? ?12 2( 1 2 )W m h M h f m g hM f m h g?? ? ? ? ??? ? ?由 1212 WTT ???得 ? ?203 ( 7 1 0 ) ( 1 2 )4 M m v M f m h g?? ? ? ?解得 ? ?203 ( 7 1 0 )4 ( 1 2 )v M mhg M f m?????速度增大一倍時的動能為 220( 7 10 )T M m v??D A B C mg Mg Mg mg FN FS FOy FOx 例 13 圖示機構 ， 均質桿質量為 m＝ 10 kg， 長度為 l＝ 60 cm， 兩端與不計重量的滑塊鉸接 ， 滑塊可在光滑槽內(nèi)滑動 ， 彈簧的彈性系數(shù)為 k＝ 360 N/m。 設重物 A和 B的質量均為 m， 滑輪 D和 C的質量均為M， 且為均質圓盤 。時AB桿的角速度 。求軸 Ⅰ 的角加速度。 求連桿 OA運動到水平位置時的角速度 。設斜坡的傾角為 α，圓柱只滾不滑。求純滾動時盤心的加速度。 例 6 一長為 l， 質量密度為 ρ 的鏈條放置在光滑的水平桌面上 ， 有長為 b的一段懸掛下垂 ， 如圖 。 ? 光滑鉸鏈 (中間鉸鏈 )、 剛性二力桿及不可伸長的細繩作為系統(tǒng)內(nèi)的約束時 ， 約束力作功之和等于零 。 對質點系中每個質點都可以列出如上的方程 ， 將n個方程相加 ， 得 21d ( ) δ2 i i im v W? ? ? 動能定理 21d ( ) δ2 i i im v W??? ? ?????于是得 d δ iTW?? 質點系動能的微分 ， 等于作用在質點系上所有力所作的元功之和 。 解： AB桿作平面運動 ， 其質心 C的速度為 C A C A??v v v 速度合成矢量圖如圖 。 。 質點和質點系的動能 ? C P C vC 221122CCT m v I ???21 ,2CCI m R v R ???243CmvT ?牢記均質圓盤在地面上作純滾動時的動能 : 均質圓環(huán)在地面上作純滾動時的動能見 P先計算 T 的功： 在運動過程中 ， T 的大小不變 ， 但方向在變 ， 因此 T 的元功為 δ c os dTW T xa?22 15)20()20(c o s ???? xxaT 15 cm B A 20 cm T P F N 因此 T在整個過程中所作的功為 再計算 F的功： 由題意： 1 5 c m ??2 5 20 25 c md ? ? ?因此 F在整個過程中所作的功為 2 2 2 21211( ) 0 .5 ( 5 2 5 ) 1 5 0 N c m22FWk dd? ? ? ? ? ? ?因此所有力的功為 200 150 50 N c mTFW W W? ? ? ? ? ?T 15 cm B A 20 cm 2 0 2 0220020c o s d 2 0 d 2 0 0 N c m( 2 0 ) 1 5TxW T x xxa ?? ? ? ?????1. 質點的動能 設質點的質量為 m， 速度為 v， 則質點的動能為 221 mvT ?動能是標量 ， 在國際單位制中動能的單位是焦耳 (J)。 力 F的元功為 ttδ d d d dzW F s F R Mjj? ? ? ?F r =Ft F r Fb Fn O z O1 A ? 力 F在剛體從角 j1轉到 j2所作的功為 2112 dzWMjj j? ?Mz可視為作用在剛體上的力偶 a 例 1 如圖所示滑塊重 P＝ N， 彈簧剛度系數(shù) k＝ N/cm， 滑塊在 A位置時彈簧對滑塊的拉力為 N，滑塊在 20 N的繩子拉力作用下沿光滑水平槽從位置 A運動到位置 B， 求作用于滑塊上所有力的功的和 。 建立如圖坐標 ， 則 0 , 0 ,x y zF F F m g? ? ? ?代入功的解析表達式得 211 2 1 2( ) d ( )zzW m g z m