【正文】 sgRmMvC ??? aa FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 例 9 在對稱連桿的 A點 ， 作用一鉛垂方向的常力 F， 開始時系統(tǒng)靜止 ， 如圖 。 bbl?解得 lblgv )( 222??解 :鏈條在初始及終了兩狀態(tài)的動能分別為 01 ?T222 21 lvT ?? 在運動過程中所有的力所作的功為 )(21)(21)()( 2212 blgblblgblgbW ??????? ???由 1212 WTT ???例 7 已知： m ， R, f ， j 。 ? 光滑鉸支座和固定端約束 ， 其約束力也不作功 。 試求當(dāng)桿 AB與鉛垂線的夾角為 j 時 ， 桿的動能 。?＝ vC ,于是得 222121 ?CC JmvT ?? 平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平動的動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能的和 。 常見力的功 3) 定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功 設(shè)作用在定軸轉(zhuǎn)動剛體上 A點的力為 F, 將該力分解為 Ft、 Fn和 Fb， 常見力的功 當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)角 j與弧長 s的關(guān)系為 t c osF ??FddsR j?R為力作用點 A到軸的垂距 。力 F在微小弧段上所作的功稱為力的元功 , 記為 dW, 于是有 δ c os dW F s??? 力的功 M39。 不同于動量定理和動量矩定理 ， 動能定理是從能量的角度來分析質(zhì)點和質(zhì)點系的動力學(xué)問題 ， 有時是更為方便和有效的 。本章以功和動能為基礎(chǔ) ， 建立質(zhì)點或質(zhì)點系動能的改變和力的功之間的關(guān)系 ， 即動能定理 。 變力的功 設(shè)質(zhì)點 M在變力 F的作用下沿曲線運動 ， 如圖 。 設(shè)彈簧原長為 l0 , 則彈性力為 00()k r l? ? ?Fr22111 2 0 0d ( ) dAAW k r l? ? ? ? ???F r = r rA1 A2 r2 r1 l0 O r0 r A d F A0 dr 常見力的功 于是 21221 2 0 1 0 2 01( ) d ( ) ( )2rrW k r l r k r l r l??? ? ? ? ? ? ????或 )(21 222112 dd ?? kW因為 2011d d d ( ) d d22 rrr r r? ? ? ? ? ? ?rr r r r r彈性力作的功只與彈簧在初始和末了位置的變形量有關(guān) ， 與力的作用點 A的軌跡形狀無關(guān) 。 (1) 平動剛體的動能 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能 222212121CiCii MvmvvmT ????? (2) 定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 2 2 22 2 211221122i i i ii i zT m v m rm r J???? ? ? ?? ? ? (3) 平面運動剛體的動能 212 PTJ ??因為 JP＝ JC + md 2 所以 2222 )(2121)(21 ??? ????? dmJmdJTCC因為 d 首先對運動進行分析 ， O1是 AB的速度瞬心 ， 因 : 1 2 c osA A Bv O A a a? j ? ?? ? ? ? ?222122A A AmaT m v ???A B O C j ? vC vB vA ?AB 1 2 sin 3B A Bv O B a a? j ? ?? ? ? ? ?2221322B B BmaT m v ???1c ABv O C OC??? ? ? ?AB????A B vA vC O C j O1 ? vB ?AB 對于曲柄 OC： 2213O O CI m a m a??規(guī)尺作平面運動，用繞速度瞬心轉(zhuǎn)動的公式求動能： 2112 2 21812 32 ( 2 ) 2O C ABI I m O Cm a m a ma? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2 2 2221 3 1 42 2 6 372A B OC ABT T T T Tma ma ma mama? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??2 2 21126O C OT I m a????2 2 211423A B O A BT I m a????系統(tǒng)的總動能為： B j A 例 5 滑塊 A以速度 vA在滑道內(nèi)滑動 ， 其上鉸接一質(zhì)量為 m， 長為 l的均質(zhì)桿 AB， 桿以角速度 ? 繞 A轉(zhuǎn)動 ， 如圖 。 動能定理 動能定理 3. 理想約束及內(nèi)力作功 ? 對于光滑固定面和一端固定的繩索等約束 ， 其約束力都垂直于力作用點的位移 ， 約束力不作功 。 求當(dāng)末端滑離桌面時 ， 鏈條的速度 。 解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。 假設(shè)兩桿與光滑地面的夾角 ? ＝ 60186。 繩索不能伸長 ， 其質(zhì)量忽略不計 。機械效率 1. 功 率 力的功率 － 力所作之功對時間的變化率 vFttWP ?d ?????? vFrF ddd力的功率等于切向力與其作用點速度的標(biāo)積。 145 勢力場 2211 VTVT ＋＝＋常數(shù)??? EVT 前面分別介紹了動力學(xué)普遍定理 (動量定理 、 動量矩定理和動能定理 ) ， 它們從不同角度研究了質(zhì)點或質(zhì)點系的運動量 (動量 、 動量矩 、 動能 )的變化與力的作用量 (沖量 、 力矩 、 功等 )的關(guān)系 。 普遍定理綜合應(yīng)用 (3) 如果問題是要求速度或角速度，則要視已知條件而定。 普遍定理綜合應(yīng)用 (5) 對于定軸轉(zhuǎn)動問題 ， 可用定軸轉(zhuǎn)動的微分方程求解 。 由于桿由水平位置靜止開始運動 ， 故開始的動能為零 ， 即 ? 2211 0 si n1 8 6m l m g l?j??由 2 1 1 2T T W? ? ?得 2 3 singl?j? 將前式兩邊對時間求導(dǎo) ， 得 d 3 d2 c o sddgt l t?j?j?3 c o s2glaj?3 singl?j?j C O mg ? 解法 2：用微分方程求運動 C O ()OOJMa ?? Fmg 由定軸轉(zhuǎn)動微分方程 003d c o s d2gl?j? ? j j???即 j?j?002 s i n2321lg? 所以 j? s in3lg?21 c o s96lm l m gaj?得 3 c o s2glaj?即 d d d dd d d dtt? ? j ?a?jj? ? ?又 d3 c o sd2gl??jj ?所以 FOy FOx a j C O ? a x y aCx aCy 現(xiàn)在求約束反力 。A FOx FOy O mg a ara?由以上方程聯(lián)立求解得： 12122 ( )2 ( )mmagm m m????0OxF ?21212122 ( )()2 ( )OymmF m m m g gm m m?? ? ? ???注意到 解二：用動能定理和質(zhì)心運動定理 。 解：以圓盤為研究對象 ， 受力如圖 ， 建立如圖坐標(biāo) 。 時解出 glv C 321? lg3??2 1 1 2T T W? ? ?P A C ? ? vC vA 桿剛剛達到地面時受力及加速度如圖所示 ， 由剛體平面運動微分方程 ， 得 ( 1 )ACmg F ma??21 ( 2 )2 1 2AClF J m lee?? 桿作平面運動 ， 以 A為基點 ， 則 C點的加速度為 tnC A CA CA? ? ?a a a a沿鉛垂方向投影 ， 得 t ( 3 )2C C Alaa a??聯(lián)立求解方程 (1)~(3)， 得 14AF m g?A C a aC mg FA A C aC a ? an CA aA at CA O D (b) 例 18 圖示三棱柱體 ABC的質(zhì)量為 m1， 放在光滑的水平面上 ， 可以無摩擦地滑動