【正文】 為 221 mvT ?動能是標(biāo)量 ， 在國際單位制中動能的單位是焦耳 (J)。 (1) 平動剛體的動能 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能 222212121CiCii MvmvvmT ????? (2) 定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 2 2 22 2 211221122i i i ii i zT m v m rm r J???? ? ? ?? ? ? (3) 平面運動剛體的動能 212 PTJ ??因為 JP＝ JC + md 2 所以 2222 )(2121)(21 ??? ????? dmJmdJTCC因為 d 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能 ? C P C vC 221122CCT m v I ???21 ,2CCI m R v R ???243CmvT ?牢記均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動時的動能 : 均質(zhì)圓環(huán)在地面上作純滾動時的動能見 P v IA? ???A ABT T T??總a O r dr O1 ? P A B C 例 3 長為 l， 重為 P的均質(zhì)桿 OA由球鉸鏈O固定 ， 并以等角速度 ? 繞鉛直線轉(zhuǎn)動 ，如圖所示 ， 如桿與鉛直線的交角為 a，求桿的動能 。 。 首先對運動進(jìn)行分析 ， O1是 AB的速度瞬心 ， 因 : 1 2 c osA A Bv O A a a? j ? ?? ? ? ? ?222122A A AmaT m v ???A B O C j ? vC vB vA ?AB 1 2 sin 3B A Bv O B a a? j ? ?? ? ? ? ?2221322B B BmaT m v ???1c ABv O C OC??? ? ? ?AB????A B vA vC O C j O1 ? vB ?AB 對于曲柄 OC： 2213O O CI m a m a??規(guī)尺作平面運動，用繞速度瞬心轉(zhuǎn)動的公式求動能： 2112 2 21812 32 ( 2 ) 2O C ABI I m O Cm a m a ma? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2 2 2221 3 1 42 2 6 372A B OC ABT T T T Tma ma ma mama? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??2 2 21126O C OT I m a????2 2 211423A B O A BT I m a????系統(tǒng)的總動能為： B j A 例 5 滑塊 A以速度 vA在滑道內(nèi)滑動 ， 其上鉸接一質(zhì)量為 m， 長為 l的均質(zhì)桿 AB， 桿以角速度 ? 繞 A轉(zhuǎn)動 ， 如圖 。 解： AB桿作平面運動 ， 其質(zhì)心 C的速度為 C A C A??v v v 速度合成矢量圖如圖 。 積分上式 ， 得 212121d ( )2vvm v W??或 122122 2121 Wmvmv ??在質(zhì)點運動的某個過程中 ， 質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功 。 對質(zhì)點系中每個質(zhì)點都可以列出如上的方程 ， 將n個方程相加 ， 得 21d ( ) δ2 i i im v W? ? ? 動能定理 21d ( ) δ2 i i im v W??? ? ?????于是得 d δ iTW?? 質(zhì)點系動能的微分 ， 等于作用在質(zhì)點系上所有力所作的元功之和 。 動能定理 動能定理 3. 理想約束及內(nèi)力作功 ? 對于光滑固定面和一端固定的繩索等約束 ， 其約束力都垂直于力作用點的位移 ， 約束力不作功 。 ? 光滑鉸鏈 (中間鉸鏈 )、 剛性二力桿及不可伸長的細(xì)繩作為系統(tǒng)內(nèi)的約束時 ， 約束力作功之和等于零 。 ? 當(dāng)輪子在固定面上只滾不滑時 ， 滑動摩擦力不作功 。 例 6 一長為 l， 質(zhì)量密度為 ρ 的鏈條放置在光滑的水平桌面上 ， 有長為 b的一段懸掛下垂 ， 如圖 。 求當(dāng)末端滑離桌面時 ， 鏈條的速度 。求純滾動時盤心的加速度。 s 1 0T ?力的功： js in12 m g sW ?由動能定理得： js in043 2 m gsmv C ??22 43CmvT ?js in32 ga ?解得： 例 8 卷揚機如圖，鼓輪在常力偶 M的作用下將圓柱上拉。設(shè)斜坡的傾角為 α，圓柱只滾不滑。 解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。 求連桿 OA運動到水平位置時的角速度 。 解：分析系統(tǒng) ， 初瞬時的動能為 01 ?T 設(shè)連桿 OA運動到水平位置時的角速度為 ?， 由于 OA＝ AB， 所以桿AB的角速度也為 ?， 且此時 B端為桿AB的速度瞬心 ， 因此輪 B的角速度為零 ， vB=0。求軸 Ⅰ 的角加速度。 假設(shè)兩桿與光滑地面的夾角 ? ＝ 60186。時AB桿的角速度 。時 O點與A點重合 ， 即此時 A為 AB桿的速度瞬心 ，所以 1 0T ?2 2 2 221 1 12 2 3A A B C B CPT J J lg? ? ?? ? ?主動力做功 ( 2 2 c os )FW F s F l l F l?? ? ? ?重力做功 132 s in22PW P l P l?? ? ?彈簧力做功 2 2 2 2121 1 1( ) [ 0 ( ) ]2 2 2 8ElW k k l k ldd? ? ? ? ? ? ?外力所做總功 2123128F P EW W W W F l P l k l? ? ? ? ? ??由動能定理的積分形式得： 2 2 21 3 13 2 8P l F l P l k lg ? ? ? ?3 1 1( ) / 3 . 2 8 r a d /s2 8 3WP W k l lg? ? ? ? ? 因為系統(tǒng)屬理想約束 ， 所以約束反力不做功 ， 做功的力有主動力 F， 重力 P和彈簧力 ， 分別求得如下： 解：取系統(tǒng)分析 ， 則運動初瞬時的動能為 例 12 如圖 ， 重物 A和 B通過動滑輪 D和定滑輪而運動 。 設(shè)重物 A和 B的質(zhì)量均為 m， 滑輪 D和 C的質(zhì)量均為M， 且為均質(zhì)圓盤 。 繩索不能伸長 ， 其質(zhì)量忽略不計 。 在此過程中 ， 所有的力所作的功為 ? ?12 2( 1 2 )W m h M h f m g hM f m h g?? ? ? ? ??? ? ?由 1212 WTT ???得 ? ?203 ( 7 1 0 ) ( 1 2 )4 M m v M f m h g?? ? ? ?解得 ? ?203 ( 7 1 0 )4 ( 1 2 )v M mhg M f m?????速度增大一倍時的動能為 220( 7 10 )T M m v??D A B C mg Mg Mg mg FN FS FOy FOx 例 13 圖示機構(gòu) ， 均質(zhì)桿質(zhì)量為 m＝ 10 kg， 長度為 l＝ 60 cm， 兩端與不計重量的滑塊鉸接 ， 滑塊可在光滑槽內(nèi)滑動 ， 彈簧的彈性系數(shù)為 k＝ 360 N/m。 然后無初速釋放 ， 求當(dāng)桿到達(dá)鉛垂位置時的角速度 。 144 功率 機械效率 1. 功 率 力的功率 － 力所作之功對時間的變化率 vFttWP ?d ?????? vFrF ddd力的功率等于切向力與其作用點速度的標(biāo)積。 2. 功 率 方 程 質(zhì)點系動能定理的微分形式 ?iiWT dd ＝等式兩邊同除以 dt ???iiii PtWtTdddd ＝ 質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)上所有有功力的功率之代數(shù)和。傳動零件之間的磨擦損耗功率為輸入功率的 30％ 。求：轉(zhuǎn)速n=42 r/min 和 n =112 r/min 的允許最大切削力。 145 勢力場 機械能守恒定律 1. 勢 力 場 如果一物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為 —— 力場。 2. 勢 能 在勢力場中，質(zhì)點從點 M運動到任選的點 M0，有勢力所作的功稱為質(zhì)點在點 M相對于點 M0的勢能，以 V 表示為 ?? ????? 00 )(MMMM Z d zY d yXd xdV rFa. 重力場中的勢能 b.