【正文】 g z z? ? ? ?? 常見力的功 力的功 M1 M2 M mg z1 z2 O x y z 對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系 ， 其重力所作的功為 1 2 1 2121212()()()()i i ii i i iCCCCW m g z zm z m z gMz Mz gMg z z? ? ?? ? ? ?????由此可見 ， 重力的功僅與重心的始末位置有關(guān) ， 而與重心走過的路徑無關(guān) 。 M1 M2 ? ds M dr F 力在全路程上作的功等于元功之和 0 c o s dsW F s?? ?上式稱為 自然法表示的功的計(jì)算公式 。 在國(guó)際單位制中 ， 功的單位為： J (焦耳 ), 1J＝ 1 N同時(shí) ， 它還可以建立機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其它形式運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系 。功率方程 機(jī)械效率 前兩章是以動(dòng)量和沖量為基礎(chǔ) ， 建立了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)量的變化與外力及外力作用時(shí)間之間的關(guān)系 。 在介紹動(dòng)能定理之前 ， 先介紹有關(guān)的物理量：功與動(dòng)能 。m 。 δ dW ??Fr 21dMMW ??? Fr稱為 矢徑法表示的功的計(jì)算公式 。 常見力的功 2) 彈力的功 物體受到彈性力的作用 , 作用點(diǎn)的軌跡為圖示曲線 A1A2, 在彈簧的彈性極限內(nèi) , 彈性力的大小與其變形量 d 成正比 。 解：滑塊在任一瞬時(shí)受力如圖 。 2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的算術(shù)和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 ， 即 221ii vmT ?? 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 剛體是工程實(shí)際中常見的質(zhì)點(diǎn)系 ， 當(dāng)剛體的運(yùn)動(dòng)形式不同時(shí) ， 其動(dòng)能的表達(dá)式也不同 。 v A B ? C 解： I I 為 AB桿的瞬心 234AT M v???? ?? s inlv 222111 2 2 3IlI m l m m l??? ? ?????2222112 6 s in 3A B I A BmvT I m v??? ? ?? ?21 9412T M m v??總例 2 均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為 l，質(zhì)量為 m，上端 B靠在光滑的墻上，下端 A用鉸與質(zhì)量為 M半徑為 R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連，在圖示位置圓柱作純滾動(dòng)，中心速度為 v，桿與水平線的夾角 ?=45o，求該瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能。 解：在橢圓規(guī)系統(tǒng)中滑塊 A和 B作平動(dòng) ， 曲柄OC作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) ， 規(guī)尺 AB作平面運(yùn)動(dòng) 。 由余弦定理 2 2 222 11222 2 2142 c os( 18 0 )( ) 2 c osc osC A CA A CAAAAAv v v v vv l v lv l l vj? ? j? ? j? ? ? ?? ? ?? ? ?則桿的動(dòng)能 2211222 2 2 2 21 1 1 12 4 2 122 2 21123( c os ) ( )( c os )CCAAAAT m v Jm v l l v m lm v l l v?? ? j ?? ? j??? ? ? ?? ? ?vA ? j B A l vA vCA vC vA ? 1. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式 ddm t ?v F在方程兩邊點(diǎn)乘 dr， 得 d dddm t ? ? ?v r F r因 dr＝ v dt， 于是上式可寫成 ddm ? ? ?v v F r或 21d( ) δ2 m v W? 動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的元功 。 對(duì)上式積分 ， 得 1212 WTT ??? 質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動(dòng)過程中 ， 起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能的改變量 ， 等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這一過程中所作的功之和 。 ? 滑動(dòng)摩擦力作負(fù)功 。 初始鏈條靜止 ， 在自重的作用下運(yùn)動(dòng) 。 j C FN mg vC ? F 解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，假設(shè)圓盤中心向下產(chǎn)生位移 s時(shí)速度達(dá)到 vc。系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，求圓柱中心 C經(jīng)過路程 S 時(shí)的速度。 設(shè)連桿長(zhǎng)均為 l， 質(zhì)量均為 m， 均質(zhì)圓盤質(zhì)量為 m1， 且作純滾動(dòng) 。 Ⅰ Ⅱ M1 M2 解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象 2222112121210?? JJTT???21121221jj?? ???RRi由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知： 21212212 )(21 ?iJJT ??主動(dòng)力的功： 11221221112 )( jjj iMMMMW ????由動(dòng)能定理得： 112212121221 )(0)(21 j?iMMiJJ ????將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意 1111 , ?ja? ??dtddtd解得： )()( 2122112211 iJJiMM ???aⅠ Ⅱ M1 M2 例 11 兩根完全相同的均質(zhì)細(xì)桿 AB和 BC用鉸鏈 B連接在一起 ， 而桿 BC則用鉸鏈 C連接在 C點(diǎn)上 ， 每根桿重 P＝ 10 N， 長(zhǎng) l＝ 1 m， 一彈簧常數(shù) k＝ 120 N/m的彈簧連接在兩桿的中心 ， 如圖所示 。 A ? C B O D vA vD vB F ?BC ?AB 解： AB桿作平面運(yùn)動(dòng) ， BC桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) ， 找出 AB桿的速度瞬心在 O點(diǎn) ， 由幾何關(guān)系知 OB＝ BC＝ l， 因此由 B A B B Cv O B B C??? ? ? ?得 AB BC? ? ???同時(shí)還可以得出結(jié)論 ， 當(dāng) θ＝ 0186。 重物 B與水平面間的動(dòng)摩擦系數(shù)為 f 39。在圖示位置 ， 系統(tǒng)靜止 ， 彈簧的伸長(zhǎng)為 20 cm。功率方程 —— 功率方程 無用有用輸入 －－＝ PPPtTdd輸入P有用P無用P—— 輸入功率 —— 有用功率，輸出功率 —— 無用功率，損耗功率 3. 機(jī) 械 效 率 輸入功率有效功率??dtdTP ??有用有效功率n???? ???? ?21—— 系統(tǒng)的總效率 例 題 19 車床電動(dòng)機(jī)的功率 P輸入＝ kW 。 解：車床正常工作時(shí)，工件勻速旋轉(zhuǎn)，動(dòng)能無變化 0dd ＝tT 無用輸入有用 －＝ PPPkW45 .＝輸入P kW62130 .% ??輸入無用 ＝ PP其中 kW783 .?無用輸入有用 －＝ PPP切削力 F 與工件在切削力作用點(diǎn)的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?切削力 F 與工件在切削力作用點(diǎn)的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?當(dāng) n = 42 r/min 時(shí) 60 .. ?????F當(dāng) n = 112 r/min 時(shí) 60 .. ?????F167。 如果物體在某力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，作用于物體的力所作的功只與力作用點(diǎn)的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點(diǎn)的軌跡形狀無關(guān)，這種力場(chǎng)稱為 —— 勢(shì)力場(chǎng)（保守力場(chǎng)）。 ● 機(jī)械能守恒 — 系統(tǒng)僅在有勢(shì)力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)， 其機(jī)械能保持恒定。 但應(yīng)注意 ， 在有些情況下質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力也要作功 ， 應(yīng)用時(shí)要具體分析 。已知外力求質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。若質(zhì)點(diǎn)系僅受有勢(shì)力的作用或非有勢(shì)力不作功，則用機(jī)械能守恒定律求解。在用動(dòng)能定理或功率方程求解時(shí)，不作功的未知力在方程中不出現(xiàn)，給問題的求解帶來很大的方便。 對(duì)于復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問題 ， 不外乎是上述幾種情況的組合 ， 可以根據(jù)各定理的特點(diǎn)聯(lián)合應(yīng)用 。 01 ?T桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) ， 轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的動(dòng)能為 222222 181)32(1212121 ?? mlllmmlJTO ??????? ????在此過程中所有的力所作的功為 js i n6112 m glm ghW ???j C O mg 解法 1：用動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng) 以桿為研究對(duì)象 。 假設(shè)不計(jì)繩的質(zhì)量和軸承摩擦 ， 繩與滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng) ， 試求物塊 A的加速度和軸承 O的約束反力 。B F39。 解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象 ， 受力如圖 ， 運(yùn)動(dòng)分析如圖