【正文】 彈性力場中的勢能 取 M0為零勢能點，則點 M 的勢能為： )( 00 zzmgm g d zV zz ???? ?)(2 202 dd ?? kV取彈簧自然位置為零勢能點，則有： 22 dkV ?c. 萬有引力場中的勢能 )11(122022100rrmmfdrrmfmdrmfmdV1rr 21AAAA1??????????? rrrF取無窮遠處為零勢能點，則有： rmmfV 1 2??★ 有勢力所作的功等于質(zhì)點系在運動過程的初始與終了位置的勢能的差。 ● 機械能 — 系統(tǒng)所具有的動能與勢能的總稱。 2211 VTVT ＋＝＋常數(shù)??? EVT 前面分別介紹了動力學普遍定理 (動量定理 、 動量矩定理和動能定理 ) ， 它們從不同角度研究了質(zhì)點或質(zhì)點系的運動量 (動量 、 動量矩 、 動能 )的變化與力的作用量 (沖量 、 力矩 、 功等 )的關(guān)系 。 動量定理和動量矩定理是矢量形式 ， 因質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動量和動量矩 ， 應用時只需考慮質(zhì)點系所受的外力；動能定理是標量形式 ， 在很多問題中約束反力不作功 ， 因而應用它分析系統(tǒng)速度變化是比較方便的 。 普遍定理綜合應用 動力學普遍定理綜合應用有兩方面含義：其一 ，對一個問題可用不同的定理求解；其二 ， 對一個問題需用幾個定理才能求解 。 (2 )已知主動力求質(zhì)點系的運動用動能定理，已知質(zhì)點系的運動求約束反力用動量定理或質(zhì)心運動定理或動量矩定理。 普遍定理綜合應用 (3) 如果問題是要求速度或角速度，則要視已知條件而定。若質(zhì)點系所受外力對某固定軸的矩的代數(shù)和為零，則可用對該軸動量矩守恒定律求解。若作用在質(zhì)點系上的非有勢力作功，則用動能定理求解。也可用功率方程、動量定理或動量矩定理求解。 普遍定理綜合應用 (5) 對于定軸轉(zhuǎn)動問題 ， 可用定軸轉(zhuǎn)動的微分方程求解 。 有時一個問題 ， 幾個定理都可以求解 ， 此時可選擇最合適的定理 ， 用最簡單的方法求解 。 下面舉例說明 。 解：本題已知主動力求運動和約束反力 。 由于桿由水平位置靜止開始運動 ， 故開始的動能為零 ， 即 ? 2211 0 si n1 8 6m l m g l?j??由 2 1 1 2T T W? ? ?得 2 3 singl?j? 將前式兩邊對時間求導 ， 得 d 3 d2 c o sddgt l t?j?j?3 c o s2glaj?3 singl?j?j C O mg ? 解法 2：用微分方程求運動 C O ()OOJMa ?? Fmg 由定軸轉(zhuǎn)動微分方程 003d c o s d2gl?j? ? j j???即 j?j?002 s i n2321lg? 所以 j? s in3lg?21 c o s96lm l m gaj?得 3 c o s2glaj?即 d d d dd d d dtt? ? j ?a?jj? ? ?又 d3 c o sd2gl??jj ?所以 FOy FOx a j C O ? a x y aCx aCy 現(xiàn)在求約束反力 。 滑輪的質(zhì)量為 m， 并可看成是半徑為 r的均質(zhì)圓盤 。 解一：取單個物體為研究對象 。分別由質(zhì)心運動定理和定軸轉(zhuǎn)動的微分方程 ， 得 21 ( ) ( 3 )2 ABm r F F ra ??? ? ?m1g FA a m2g FB a A B O r 11 ( 1 )Am a m g F??22 ( 2 )Bm a F m g??0 ( 4 )OxF?0 ( 5 )O y A BF F F m g??? ? ? ? F39。A FOx FOy O mg a ara?由以上方程聯(lián)立求解得： 12122 ( )2 ( )mmagm m m????0OxF ?21212122 ( )()2 ( )OymmF m m m g gm m m?? ? ? ???注意到 解二：用動能定理和質(zhì)心運動定理 。 系統(tǒng)動能為 2 2 2 2112 22121 1 1 ( ) ( )2 2 21 ( 2 2 )4vT m v m v m rrm m m v? ? ?? ? ?所有力的元功的代數(shù)和為 1 2 1 2δ ( ) d ( ) diW m m g s m m gv t? ? ? ? ?1 2 1 21 ( 2 2 ) d ( ) d2 m m m v v m m g v t? ? ? ?于是可得 B A m1g v m2g v FOx FOy O mg ? 由微分形式的動能定理得 12122 ( )2 ( )mmagm m m????121d ( 2 2 ) d2T m m m v v? ? ? 1 2 1 2( ) ( )Cy O ym m m a F m m m g? ? ? ? ? ?由質(zhì)心坐標公式 1212Cymmaam m m?????于是可得 21212122 ( )()2 ( )OymmF m m m g gm m m?? ? ? ???B A m1g v m2g v FOx FOy mg ? 由 得 ,Cx x Cy ym a F m a F? ? ? ?1212ΣΣi i A B OCim y m y m y m yym m m m?????? 解三：用動量矩定理和質(zhì)心運動定理 (或動量定理 )。 系統(tǒng)對定軸的動量矩為 212121()21 ( 2 2 )2OL m v r m v r mrm m m v r?? ? ?? ? ?1 2 1 2d1 ( 2 2 ) ( )2 dvm m m r m m g rt? ? ? ?然后按解二的方法即可求得軸承 O的約束反力 。 在圓盤的質(zhì)心 C上連結(jié)一剛性系數(shù)為 k的水平彈簧 ， 彈簧的另一端固定在 A點 ， CA＝ 2R為彈簧的原長 ， 圓盤在常力偶矩 M的作用下 ， 由最低位置無初速地繞 O軸向上轉(zhuǎn) 。 解：以圓盤為研究對象 ， 受力如圖 ， 建立如圖坐標 。 1 0T ?2 2 221324OT J m R????132 2 222OJ m R m R m R? ? ? ?2 2 23 2 0 .3 4 3 14 m R M m g R k R??? ? ?解得 )(3 4 22 kRm gRMmR ??? ??由 2 1 1 2T T W? ? ?得 y C A a x M mg F FOx FOy O ? 45176。 y x an C at C aCx aCy 由質(zhì)心運動微分方程得 例 17 均質(zhì)細桿長為 l， 質(zhì)量為 m， 靜止直立于光滑水平面上 。 解：由于地面光滑 ， 直桿沿水平方向不受力 ， 倒下過程中質(zhì)心將鉛直下落 。 時解出 glv C 321? lg3??2 1 1 2T T W? ? ?P A C ? ? vC vA 桿剛剛達到地面時受力及加速度如圖所示 ， 由剛體平面運動微分方程 ， 得 ( 1 )ACmg F ma??21 ( 2 )2 1 2AClF J m lee?? 桿作平面運動 ， 以 A為基點 ， 則 C點的加速度為 tnC A CA CA? ? ?a a a a沿鉛垂方向投影 ， 得 t ( 3 )2C C Alaa a??聯(lián)立求解方程 (1)~(3)， 得 14AF m g?A C a aC mg FA A C aC a ? an CA aA at CA O D (b) 例 18 圖示三棱柱體 ABC的質(zhì)量為 m1， 放在光滑的水平面上 ， 可以無摩擦地滑動 。 如斜面的傾角為 ?， 求三棱柱體的加速度 。 設(shè)某瞬時三棱柱的速度是 v， 圓柱體的角速度是 ?。 y39