數(shù)學(xué)歸納法證明不等式章末復(fù)習(xí)方案課件人教a選修(參考版)
2025-01-18 08:43本頁面
【正文】 k2＋ k ＋ 1k ? k ＋ 1 ?2 12－14( an ＋ 1＋ an) ＝ 0. 由 an0 知an ＋ 1an＝nn ＋ 1，再由累乘法求得 an＝1n. 答案 ： 1n 三、解答題 9．在數(shù)列 {an}中， a1＝ a2＝ 1，當(dāng) n∈ N*時，滿足 an＋ 2＝ an＋ 1＋ an，且設(shè) bn＝ a4n，求證： {bn}各項均為 3的倍數(shù)． 證明： (1)∵ a1＝ a2＝ 1， 故 a3＝ a1＋ a2＝ 2， a4＝ a3＋ a2＝ 3. ∴ b1＝ a4＝ 3，當(dāng) n＝ 1時， b1能被 3整除． (2)假設(shè) n＝ k時，即 bk＝ a4k是 3的倍數(shù)， 則 n＝ k＋ 1時， bk＋ 1＝ a4(k＋ 1)＝ a4k＋ 4＝ a4k＋ 3＋ a4k＋ 2 ＝ a4k＋ 2＋ a4k＋ 1＋ a4k＋ 1＋ a4k ＝ 3a4k＋ 1＋ 2a4k. 由歸納假設(shè)， a4k是 3的倍數(shù)， 3a4k＋ 1是 3的倍數(shù)，故可知 bk＋ 1是3的倍數(shù)， ∴ n＝ k＋ 1時命題也正確． 綜合 (1)、 (2)可知，對正整數(shù) n，數(shù)列 {bn}的各項都是 3的倍數(shù)． 10 ．用數(shù)學(xué)歸納法證明： 12 34 56 ?2 n － 12 n 12 n ＋ 1對 n ∈ N * 時成立． 證明： ( 1) 當(dāng) n ＝ 1 時，1213，不等式成立． ( 2) 假設(shè) n ＝ k 時不等式成立． 即123456?2 k － 12 k12 k ＋ 1. 則 n ＝ k ＋ 1 時，123456?2 k － 12 k2 k ＋ 12 ? k ＋ 1 ?12 k ＋ 12 k ＋ 12 k ＋ 2＝2 k ＋ 12 k ＋ 2＝ 2 k ＋ 1 2 k ＋ 3? 2 k ＋ 2 ? 2 k ＋ 3＝4 k2＋ 8 k ＋ 3? 2 k ＋ 2 ? 2 k ＋ 34 k2＋ 8 k ＋ 4? 2 k ＋ 2 ? 2 k ＋ 3 ＝? 2 k ＋ 2 ?2? 2 k ＋ 2 ? 2 k ＋ 3＝12 k ＋ 3即 n ＝ k ＋ 1 時不等式成立． 由 ( 1) 、 ( 2) 知不等式對任意 n ∈ N*都成立． 11 ． ( 創(chuàng)新預(yù)測 ) 已知數(shù)列 { an} 的前 n 項和為 Sn，且滿足 a1＝12， an＋ 2 SnSn － 1＝ 0( n ≥ 2) ． ( 1) 判斷 {1Sn} 是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論； ( 2) 求 Sn和 an； ( 3) 求證： S21＋ S22＋ ? ＋ S2n≤12－14 n. 解： ( 1) S1＝ a1＝12， ∴1S1＝ 2. 當(dāng) n ≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn － 1， 即 Sn－ Sn － 1＝－ 2 SnSn － 1. ∴1Sn－1Sn － 1＝ 2 ，故 {1Sn} 是以 2 為首項， 2 為公差的等差數(shù)列． ( 2) 由 ( 1) 得1Sn＝ 2 ＋ ( n － 1) a 2n ＋ 1 － na 2n ＋ a n ＋ 1 12k ＝k ＋ 12. ∴ n ＝ k ＋ 1 時，不等式成立． 由 ( 1) 、 ( 2) 可知， 1 ＋12＋13＋ ? ＋12n － 1 n2( n ∈ N ＋ ) ． 3 ． 遞推法 用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的問題時，有時要利用 an與 an ＋ 1的關(guān)系，實現(xiàn)從 “ k ” 到 “ k ＋ 1 ” 的過渡． [ 例 4] 設(shè) 0 a 1 ，定義 a
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