【正文】 解：設(shè)第一層有客房 x間，則第二層有 )5(?x間，由題可得　　 ??????　 　 ②　 　 　 　 　 　 ①)5(48)?！　【C上所求，a 的整數(shù)值為177?！?14?a，即　　 42?a，∴整數(shù) a 值只能為 3。解：原方程有一個(gè)大于 1 的根和一個(gè)小于 1 的根，相當(dāng)于拋物線 1)4()1(2???xkky與 x 軸的兩xy0115個(gè)交點(diǎn)分在點(diǎn)（1，0）的兩旁，因?yàn)?012??k，拋物線開(kāi)口向上，所以當(dāng) 1?x時(shí)， y值小于 0 即可，即　　 01120)(42 和的 值 只 有整 數(shù)　 　 　 ?????kk解：由題可得 axa?4，　　　若 ?，則 ，不等式無(wú)解，不合題意舍去。三、解答題解：設(shè)開(kāi)始抽水時(shí)滿池水的量為 ，泉水每小時(shí)涌出的水量為 y，水泵每小時(shí)抽水量為 z，2 小時(shí)抽干滿池水需 n 臺(tái)水泵，則　　 ????????　 　 　 ③　 　 ②　 　 ①zyx21075　　由①②得 ?53＝ ，代入③得： nzz21035??　　∴ 21?n，故 n 的最小整數(shù)值為 23。解： 4||1| ???x，兩邊都除以 2 得： 2|3|| ??x。解： 02)(2???a，即 0)9(1??a，∴ 91a，故應(yīng)填 91?a。由④得 6x，即 5x，∴ 5。解：由①得 32??即 1，則②得 0)1(5???，∴ 1?x。二、填空題解：解方程 12???xa得 032?ax，所以 2?，但 ?x，即 23a，　　　所以 4?，故應(yīng)填 ?且 4??。14　　當(dāng) b＝30 時(shí)，由 a，得 27a28，這樣的正整數(shù) a 不存在。B。B。解：　　易知 0?a，原方程可變形為 09)1(2??xa，記 9)1(2?xay　　則這個(gè)拋物線開(kāi)口向上，因 21x?，故當(dāng) 1時(shí)， ?。解：　　 21615234198765230????????????????aaaxx，的 取 值 范 圍 是，、 個(gè) 整 數(shù) 解 ， 即 解 只 能 是， 不 等 式 組 只 有解 不 等 式 組 ， 得　　故選 C。解：　　 ||| 0010)(21 )(2)( 22cba cbacca????????????　 　　 　， 又　 　?　　故選 A。解：　　 dcbadcbadcbac cadb ??????????1都 是 正 實(shí) 數(shù) ，、因　　故選 D。解： B4a4|3x|1|x|1|3x3 4x31|x|1|0。 　， 　， 　， 　， 　， 　 32435927?解：出發(fā) 1 小時(shí)后，①、②、③號(hào)艇與④號(hào)艇的距離分別為　　 441)][( vvvSiii ?????水 　水 　 （）　　各艇追上④號(hào)艇的時(shí)間為　　 4442)()( vvvt iiiii ??水 　水 　12　　對(duì) 1v＞ 2＞ 3＞ 4v有 321tt?，即①號(hào)艇追上④號(hào)艇用的時(shí)間最小，①號(hào)是冠軍。2x＝ 1　　　　由上述可知：r=1，s＝ ，　　　　所以 r－s＝1－ 20＝ 1解：設(shè)方程兩根為 x、 ，則 x+ 2＝4n－5　　　　∵4n－5 是奇數(shù)，即 1+ 是奇數(shù)　　　　∴ 1x與 2必定一奇一偶，而 1x與 2都是質(zhì)數(shù)。則 39。2，且 39。解：由前一方程得： 20??x　　　　即 )21(?x　　　　設(shè)方程兩根為 2x，且 1＞ 2x　　　　由根與系數(shù)的關(guān)系得： 221200?????x　 　 　　　　　則 1x＝1， 2＝ 2011　　　　同理由后一方程得： 021)01(2???xx　　　　設(shè)方程兩根為 39。由根與系數(shù)的關(guān)系得：　　 863)49(21892))(( 2211121 ???????aaxxxx　 　　　∴當(dāng) a= 4時(shí)原式有最大值－三、解答題解：①當(dāng) k=0 時(shí)，x=1，方程有有理根。解：由已知 b24b+m=0 ①　b 28b+5m=0 ②　?、伲诘茫?b4m=0 ∴b＝m?、邸　ⅱ鄞擘俚茫簃 24m+m=0 ∴m=0 或 m=3。 06?????，　 　 ，而5741241)(41)(2 ?????????abba 02)1(2?nx?的兩根為整數(shù)，它的判別式為完全平方式，故可設(shè)　 24kn????（k 為非負(fù)整數(shù)） ，即 )3(2??kn滿足上式的 n、k 只能是下列情況之一：　 ???????????????????2243113 kkknk 或或或　解得 n＝5。 代 入 任 一 方 程 可 得， 故， 而　 　 兩 式 相 減 得 。二、填空題 axbx baba xbx???? ??? ????32 11 122312022)( 00。設(shè)全天下雨 a 天，上午晴下午雨 b 天，上午雨下午晴 c 天，全天晴 d 天。又 ?！?237)1()37(13732 ????????????????? zzzuzyzyx　由 x≥0，y≥0 得9　 2173273173017 ?????????????zzz　即 5?u　 76)1(7517 ???????最 大最 小最 大最 小 　 　， u選 B。由方程有實(shí)根，得 △≥0，即　 184)5( 1960)53(2)(234 0)4(36)5()(21 21 221122取 最 大 值時(shí)， 當(dāng) ， 得。 即的 判 別 式 非 負(fù) ， 即 是 其 解 ， 所 以 方 程， 因 為或則 得 。因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，故 42??a?！?　 應(yīng) 選 。 顯 然 僅 當(dāng)或得為 偶 數(shù) 。為 偶 數(shù) 。選 C。8數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（3）方程參考答案一、選擇題選 B。所以 2143)()(24mm??，所以｜m｜＝4｜m 1m2m3m4｜ ≠0，所以｜m｜是一個(gè)合數(shù)。由于四個(gè)數(shù) a+b+cd，a+bc+d ， ab+c+d，a+b+c+d 的奇偶性相同，乘積應(yīng)被 4 整除，所以四個(gè)數(shù)均為偶數(shù)。q 均為大于 1 的正整數(shù)即可。解：設(shè) x＝1995，則 1996＝x+1，所以7　　 222 2222 22239801)1695()]1([ )]1([)(]([)95?????? ????x xxxa　解：要證明|m｜是合數(shù)，只要能證出｜m｜＝p 故 有， 則 由 ⑥ 可 得若 ，由 已 知 ， 代 入 ⑦ 得由 ④ 得 　 ⑦即 　將 ⑥ 代 入 ③ 得 　 ⑥　 ⑤ 　 　 代 入 ② 得 　由 ① 解 出解：①令 ，得 c＝平方數(shù) c2；令 1，得 mcba?， 2ncba???，其中 m、n 都是整數(shù)，所以， 22nmbn??， 都是整數(shù)。所以，當(dāng) ?取到最小時(shí)， x， 2，… 40x中任意兩個(gè)6數(shù)的差都不大于 1。于是，當(dāng) 1， ，… 9均為 1， 40＝19 時(shí)，4021.取得最大值，即 A＝ ????個(gè)322.?+192＝400。因?yàn)榘?58 寫成 40 個(gè)正整數(shù)的和的寫法只有有限種，故 ?的最小值和最大值是存在的。y=z 2＋9，所以 x＋1，y 是 t2－6t＋z 2＋9=0 的兩個(gè)實(shí)根，方程有實(shí)數(shù)解，則△＝（－6） 2－4（z 2＋9）＝－4z 2≥0，從而知 z=0，解方程得 x+1=3，y=3。 所 以這 三 個(gè) 數(shù) 不 能 同 時(shí) 為，　 　 　 　 且 ，　 　 　 　 　 　 　 　、 解 ： 因 為 0M032)3()()(164988 222 ?????yxyxM　　應(yīng)選 A二、填空題解：設(shè)該商品的成本為 a，則有 a(1+p%)(1d%)=a，解得 p10d??解因?yàn)椋?a0，所以 。在Rt△ADC 中，DC 2＝AC 2－AD 2，所以有（a－ 2C） 2＝b 2－ 43C2，整理得 a2＋c 2=b2＋ac ，從而有1)( ??????cabcbca　　應(yīng)選 C解：因?yàn)?a+b) 2=6ab，(ab) 2=2ab，由于 ab0，得 abab26???， ，故 3??。應(yīng)選 A解：過(guò) A 點(diǎn)作 AD⊥CD 于 D，在 Rt△BDA 中，則于∠B＝60176。應(yīng)選 C解：由已知，a，b，c 為兩正一負(fù)或兩負(fù)一正。證明：設(shè)勾長(zhǎng)為 x，弦長(zhǎng)為 z，則股長(zhǎng)為 1?z∵ 1)(??z，∴ x， 是一個(gè)基本勾股數(shù)組。解：原方程解得：　　 932429346 946)(22?????? ??nnx　 因?yàn)榉匠痰母钦麛?shù)，所以 4n2＋32n＋9 是完全平方數(shù)?！　　　「鶕?jù)題意有 ??10)(2　　　　即 )(52??yx　　　　當(dāng) 0)925(4)(42????yy　　　　 yx950920????　 　 時(shí) 方 程 有 實(shí) 數(shù) 解　 　即　　　　由于 250099y 必為完全平方數(shù)，而完全平方數(shù)的末位數(shù)僅可能為 0、9，故 y 僅可取 25，此時(shí)，x=30 或 20，故所求四位數(shù)為 2025 或 3025。解：由 yzzx??1及 x＝y(tǒng)z 得 y－z=1，即 y 與 z 是兩個(gè)相鄰的自然數(shù)，又 y 與 z 均為素?cái)?shù)，只有 y＝3，z＝2，故 x=yz=6。解：設(shè)兩位數(shù) M＝10a+b，則 N＝10b+a ，由 a、b 正整數(shù)，且 1≤a，b≤9，3)(9)10()( cabaN??????，又 c 是某正整數(shù)，顯然 c3＜100，c≤4，而且 c3 是9 的倍數(shù)，所以 c＝3，即 a－b＝3，滿足條件的兩位數(shù)有 4567896 共 6 個(gè)解設(shè)（a，b）＝d，且 a＝md，b＝nd，其中 m＞n，且 m 與 n 互質(zhì)，于是 a、b 的最小公倍數(shù)為mnd，依題題有 ?????1052dmn即 ??????　 　 　 　 ②①7532)(d，則 m＞n 據(jù)②可得????105n或 3或 或 1n　　根據(jù)①只取 7可求得 d＝15，故兩個(gè)數(shù)中較大的數(shù)是 md＝225。故選 C解：能被 4 整除即能被［2，3，4］＝12 整除，共有 12348……96 共 8 個(gè)。若 p＝2，則 q＝3，此時(shí) p＋3＝5，1p+q=12，2p+q4=13，因?yàn)?2+122=132，所以 113 為邊長(zhǎng)的三角形為直角三角形。cd ＝－ a2b2c2d2＜0，所以這四個(gè)數(shù)中應(yīng)一正三負(fù)或一負(fù)三正。ac　求證：① BNM?　　　?、凇鱇PM∽△NQKABC DM NKP Q圖 1091數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（1）實(shí)數(shù)參考答案一、選擇題解：設(shè)與 a 之差最小且比 a 大的一個(gè)完全平方數(shù)是 x，則 1??a，所以12)1(???x　應(yīng)選 D6138)(*][)(32*???　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　、 解 ： 原 式　　　　　　　應(yīng)選 D2022＝n－ 0y，n 是奇數(shù)， 0y必是奇數(shù)，又 11 0x=m－28 0y，m 和 28 0y均為偶數(shù)，所以 11 0x是偶數(shù)，0x應(yīng)為偶數(shù)?！∏笞C：①△DEM≌△DFN　　　　②∠PAE＝∠PBF如圖 108，在△ABC 中，AB＝AC，底角 B 的三等分線交高線 AD 于 M、N ，邊 CN 并延長(zhǎng)交 AB 于E。則底與腰的比值等于＿＿＿＿＿＿已知 AM 是△ABC 中 BC 邊上的中線，P 是△ABC 的重心，過(guò) P 作 EF（EF∥BC ） ，分別交 AB、AC于 E、F，則 AFCB?＝＿＿＿＿＿＿＿＿三、解答題如圖 106，在正方形 ABCD 的對(duì)角線 OB 上任取一點(diǎn) E，過(guò) D 作 AE 的垂線與 OA 交于 F。則 ∠DAB 的度數(shù)是＿＿＿＿＿AC BE圖 101ABCDA’B’α圖 102A BCDDAEBCADEBCF圖 103ACIB D圖 104AB CDED’圖 10537如圖 105，在矩形 ABCD 中，AB＝5，BC ＝12，將矩形 ABCD 沿對(duì)角線對(duì)折，然后放在桌面上，折疊后所成的圖形覆蓋桌面的面積是＿＿＿＿＿＿＿在一個(gè)圓形時(shí)鐘的表面，OA 表示秒針，OB 表示分針（O 為兩針的旋轉(zhuǎn)中心）若現(xiàn)在時(shí)間恰好是 12點(diǎn)整，則經(jīng)過(guò)＿＿＿＿秒鐘后，△OAB 的面積第一次達(dá)到最大。已知 AD、BE、CF 是銳角△ABC 三條高線，垂心為 H，則其圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是（　　　）　A. 6 B. 8 C. 10 D. 12二、填空題如圖 104，I 是△ABC 的內(nèi)心，∠A ＝40176。 C. 60176。BC ＝a，高 BE、CF 交于點(diǎn) H，則 AH＝（　　?。. a21B. 2C. a D. a2已知點(diǎn) I 是銳角三角形 ABC 的內(nèi)心，A B C 1 分別是點(diǎn) I 關(guān)于 BC、CA、AB 的對(duì)稱點(diǎn)，若點(diǎn) B 在△A 1B1C1 的外接圓上，則 ∠ ABC 等于（　　　）　A. 30176。 D. 60176。 B. 45176。∠A＝20176。 D. 35176。 B. 45176?！螦＝30176。P1P2Pn2Pn1圖 916圖 917A BCC1A1B1L MK NQ PDBACEF?、僮C明：△AKL，△BMN，△CPQ 都是等腰直角三角形。O 是△ABC 內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn) O 到△ABC 各