初中數(shù)學競賽試題(參考版)
2025-07-28 10:20本頁面
【正文】 10 4+1，則 x 的值________. (3) 已知整數(shù) y 被 7 除余數(shù)為 5,那么 y3被 7 除時余數(shù)為 ________. (4) (全俄第 14 屆中學生數(shù)學競賽試題 )求出任何一組滿足方程 x251y2=1 的自然數(shù)解 x 和 y_________. 3.(第 26 屆國際數(shù)學競賽預選題 )求三個正整數(shù) x、 y、 z 滿足 . 4．（ 1985 年上海數(shù)學競賽題）在數(shù)列 4， 8， 17， 77， 97， 106， 125， 238 中相鄰若干個數(shù)之和是 3 的倍數(shù)，而不是 9 的倍數(shù)的數(shù)組共有多少組？ 5．求 的整數(shù)解 . 6．求證 可被 37 整除 . 7．（全俄 1986 年數(shù)學競賽題）求滿足條件 的整數(shù) x， y 的所有可能的值 . 8．（ 1985 年上海初 中數(shù)學競賽題）已知直角三角形的兩直角邊長分別為 l 厘米、 m厘米，斜邊長為 n 厘米，且 l， m， n 均為正整數(shù)， l 為質(zhì)數(shù) .證明： 2（ l+m+n）是完全平方數(shù) . 9.(1988 年全國初中數(shù)學競賽題 )如果 p、 q、 、 都是整數(shù)，并且 p＞ 1，q＞ 1，試求 p+q 的值 . 練習二十 . 2.(1)9 及 1. (2)9. (3)4. (4)原方程可變形為 x2=(7y+1)2+2y(y7),令 y=7 可得 x=50. x?y?z, 則 ,故 x?3. 又有 故 x?2. 若 x=2,則 ,故 y? ,故 y?4. 若 y=4,則 z= y=5,則 z= y=6,則 z 無整數(shù)解 .若 x=3,類似可以確定 3?y?4,y=3 或 4,z 都不能是整數(shù) . 2 解 . ,然后將方程變形為 y=5+x2 要使 y 為整數(shù) ,5x1 應是完全平方數(shù) ,?, 解得 ≡8(mod37),∴8888 2222≡8 2(mod37). 7777≡7(mod37),7777 3333≡7 3(mod37),88882222+77773333≡(8 2+73)(mod37),而82+73=407,37|407,∴37|N. :原方程變形為 3x2(3y+7)x+3y27y=0由關于 x 的二次方程有解的條件 △?0及 y 為整數(shù)可得 0?y?5, 即 y=0,1,2,3,4, ,原方程 僅有兩組解 (4,5)、 (5,4). 8.∵l 2+m2=n2,∴l(xiāng) 2=(n+m)(nm).∵l 為質(zhì)數(shù) ,且 n+m＞ nm＞ 0,∴n+m=l 2,nm=l2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l21,2(l+m+1)=2l+2+2m=l2+2l+1=(l+1) 2(l+m+1)是完全平方數(shù) . p≠q, 不妨設 p＞ =n,則 m＞ n 由此可得不定方程(4mn)p=m+2,解此方程可得 p、 q 之值 . 。1. ∴ 方程整數(shù)解為 例 11 求方程 x+y=x2xy+y2的整數(shù)解 . 解（不等式法）方程有整數(shù)解 必須 △= （ y+1） 24（ y2y） ?0 ，解得 ?y? . 滿足這個不等式的整數(shù)只有 y=0， 1， 2. 當 y=0 時，由原方程可得 x=0 或 x=1；當 y=1 時，由原方程可得 x=2 或 0；當 y=2時，由原方程可得 x=1 或 2. 所以方程有整數(shù)解 最后我們來看兩個分式和根式不定方程的例子 . 例 12 求滿足方程 且使 y 是最大的正整數(shù)解（ x， y） . 解將原方程變形得 由此式可知，只有 12x 是正的且最小時， y 才能取大值 .又 12x 應是 144 的約數(shù)，所以， 12x=1， x=11，這時 y=132. 故 滿足題設的方程的正整數(shù)解為 （ x， y） =（ 11， 132） . 例 13（第 35 屆美國中學生數(shù)學競賽題）滿足 0＜ x＜ y 及 的不同的整數(shù)對（ x， y）的個數(shù)是（ ） . （ A） 0 （ B） 1 （ C） 3 （ D） 4 （ E） 7 解 法 1 根據(jù)題意知， 0＜
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