【正文】
j( ) e nxn ??π π( ) c os24x n n????????( 1)求輸入為 時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng); ( 2)求系統(tǒng)的頻率響應(yīng); j j ( ) j011( ) ( ) * ( ) 2 ( ) ( ) ( ) * e 2 e e22kn n n k nzsky n h n x n u n n? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ??∞jjjjjj11e2e2ee111 e 1 e22nnn?????? ? ? ??? ? ???( ) ( )j n jzsy n e H e????jj11e2()11e2jHe????????解: ( 1)由題有 : ( 2)由 有: ( 3)當(dāng) 時(shí) 2??? πj2πj2πj211e2( e ) 111e2H??????π π πjj2 2 21 1 1a r g ( e ) a r c tg 1 e a r c tg 1 e 2 a r c tg2 2 2sH ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? 由式( ),可得 jj π π 1( ) ( e ) c o s a r g [ ( e ) ] c o s 2 a r c t g2 4 2zsy n H n H n??? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ??????????。 注意 H( )je ? 離散周期序列通過(guò)系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析 ()xn()xn2 π 2 π 2 π11 j j j0011( ) ( ) e ( ) ( e ) eNN n k n n kN N Nzskky n X k T X k HNN?????????????? 由于余弦函數(shù)(可能是周期函數(shù),也可能是非周期函數(shù))可以表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)的線性組合,因此系統(tǒng)的頻率響應(yīng)也可以表示成系統(tǒng)對(duì)余弦輸入的響應(yīng) . 設(shè)離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)的輸入序列 是一個(gè)周期為 N周期序列,則根據(jù) DFS可以將周期序列 表示為: 由式( )及離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)的線性特性,可得離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng): 21 j01( ) ( ) eN nkNkx n X kN???? ?00jjjj0( ) c o s ( ) e e e e22nnAAx n A n ??? ? ? ??? ? ? ? ?02 jnjA ee? ?00jj j1 ( ) ( e ) e e2nzsAy n H ????00jj j2 ( ) ( e ) e e2nzsAy n H ?? ? ? ???02 jnjA ee? ???()hn由于 為實(shí)數(shù),則系統(tǒng)對(duì) 零狀態(tài)響應(yīng)為 : 設(shè) 根據(jù)式( ),系統(tǒng)對(duì) 的零狀態(tài)響應(yīng)為: ()xn0 0 0 0j j j jjj( ) ( e ) e e ( e ) e e2nnzsAy n H H??? ? ? ? ? ????????0j 0( e ) c o s( )A H n ???? ? ? ?0a r g[ ( ) ]jHe? ?? 由上式可知,余弦信號(hào)通過(guò)頻率響應(yīng)為 的離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)時(shí),其輸出的零狀態(tài)響應(yīng)仍為同頻率的余弦信號(hào) . H( )je ? () 其中, 是系統(tǒng)在頻率 Ω0處的相位響應(yīng)。 由 DTFT的時(shí)域卷積定理,若離散非周期序列 為激勵(lì)信號(hào),存在 IDTFT,系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 ,則 作用 于離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 的頻譜為: ()zsyn31( ) ( 1 ) ( 2 ) 4 ( ) 3 ( 1 )48y n y n y n x n x n? ? ? ? ? ? ?()zsyn 已知描述某穩(wěn)定的離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)的差分方程為 若系統(tǒng)的輸入序列 ,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 。對(duì)于因果不穩(wěn)定的離散時(shí)間LTI系統(tǒng),盡管其脈沖響應(yīng)存在,但其頻率響應(yīng)不存在。 ()hnH( )je ? 對(duì)于穩(wěn)定的離散時(shí)間 LTI系統(tǒng),設(shè)輸入序列是一數(shù)字域頻率為 Ω的復(fù)指數(shù)序列,即 ( ) ,jnx n e n?? ? ? ?∞ ∞ 已知描述某離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)的差分方程為 31( ) ( 1 ) ( 2 ) 4 ( ) 3 ( 1 )48y n y n y n x n x n? ? ? ? ? ? ?試求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 和單位抽樣響應(yīng) 。 令 : ( ) ( )zsy n y n?j j j jZS101 e Y ( e ) e X ( e )NMkkkkkkab? ? ? ? ? ?????????????()xn jY (e )ZS ?()zsynjj j j ( 1 ) jj Z S 0 0 1 1 Mj j j ( 1 ) jj 1 1 N1eY ( e ) e e eH ( e )X ( e ) 1 e e e1eMkMMkkMN NNk Nkkbb b b ba a aa??? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ?? ? ? ????()jXe? 上式表明, 為離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)在零狀態(tài)下輸出響應(yīng)與輸入激勵(lì)的頻譜函數(shù)之比,稱為離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。 對(duì)于單位樣值響應(yīng)為 的 系統(tǒng),其系統(tǒng)頻率響應(yīng)為 離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng) j j j je ( ) e e ( e )n k nkh k H?? ? ? ? ???? ? ??∞∞10( ) ( ) ( )NMkkkky n a y n k b x n k??? ? ? ??? 與連續(xù)時(shí)間 LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)類似,離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)也可以通過(guò)差分方程來(lái)定義。 12 1 2 10( ) ( ) ( ) ( ) * ( )Nmy n x m x n m x n x n??? ? ? ??4.頻域卷積特性 若 12( ) ( ) ( )y n x n x n?則 1~ ~ ~ ~ ~1 2 1 201( ) ( ) ( ) ( ) ( )NlY k D F S x n x n X l X k lN????? ? ? ? ????? ? 上式表明,兩個(gè)周期序列在時(shí)域的乘積,對(duì)應(yīng)其頻譜在頻域的周期卷積。顯然,周期為 N的兩個(gè)序列的周期卷積的離散傅里葉級(jí)數(shù)等于它們各自離散傅里葉級(jí)數(shù)的乘積。周期序列在時(shí)域的相移,其對(duì)應(yīng)的頻譜將會(huì)產(chǎn)生頻移。 ()xn()xn4( ) R ( )x n n?()Xk 設(shè) ,將 以 N=8為周期進(jìn)行周 期延拓,得到周期序列 ,試求傅里葉變換 , 并畫出它的幅頻特性。如果將 n當(dāng)作時(shí)間變量, k當(dāng)作頻率變量,則第一式表示的是時(shí)域到頻域的變換,稱為 DFS的正變換 。 離散周期信號(hào)的頻譜 —— 離散傅里葉級(jí)數(shù) 離散傅里葉級(jí)數(shù) 設(shè) 是以 N周期的周期