廣大附中學(xué)中考一模數(shù)學(xué)試卷含答案(參考版)
2025-01-13 10:29本頁面
【正文】 tan∠ BAC=12，且 BC= 6, ∴ AC=12， AB=65. ∵ M 為 AB 中點， ∴ CM=35,… …………………10 分 ∵ AD=13AC， ∴ AD=4 . ∵ M 為 AB 中點， F 為 BD 中點， ∴ FM=12AD= 2. ∴ 當且僅當 M、 F、 C 三點共線且 M 在線段 CF 上時 CF 最大，此時CF=CM+FM=2 3 5? .……………………12 分 情況 2：如圖，當 AD= 23AC時，取 AB 的中點 M， 連結(jié) MF 和 CM， 類似于情況 1，可知 CF 的最大值為 4 3 5? . 綜合情況 1 與情況 2，可知當點 D 在靠近點 C 的 三等分點時，線段 CF 的長度取得最大值為 4 3 5? ……………………14 分 ： (1)由題意，得點 B 的坐標為 (4， –1)． ……………………1 分 ∵ 拋物線過點 A(0， –1)， B(4， –1)兩點， ∴21,11 4 4 .2cbc?????? ? ? ? ? ??? 解得 2,?????? ……………………2 分 ∴ 拋物線的函數(shù)表達式為： 21 212y x x? ? ? ?． ……………………3 分 ADMFC BADFCMB 10 (2)ⅰ )∵ A 的坐標為 (0， –1)， C 的坐標為 (4， 3)． ∴ 直線 AC 的解析式為： y＝ x–1． 設(shè)平移前的拋物線的頂點為 P0,則由 (1)可得 P0 的坐標為 (2,1),且 P0 在直線 AC 上． ∵ 點 P 在直線 AC 上滑動， ∴ 可設(shè) P 的坐標為 (m， m－ 1)， 則平移后的拋物線的函數(shù)表達式為 21 ( ) ( 1)2y x m m? ? ? ? ?． 解方程組21,1 ( ) ( 1).2yxy x m m????? ? ? ? ? ??? 得 ? 11 , 1,xmym??? ? 22 2,?? 即 P(m， m－ 1)， Q(m－ 2， m－ 3)． ……………………4 分 過點 P 作 PE∥ x 軸，過點 Q 作 QE∥ y 軸，則 PE=m－ (m－ 2)=2， QE=(m－ 1)－ (m－ 3)=2． ∴ PQ =22=AP0． ……………………5 分 若 △ MPQ 為等腰直角三角形，則可分以下兩種情況： ① 當 PQ 為直角邊時： M 到 PQ 的 距離為為 2 2(即為 PQ 的長 )． 由 A(0，－ 1)， B(4，－ 1)， P0(2， 1)可知： △ ABP0 為等腰直角三角形，且 BP0⊥ AC， BP0=2 2． 過點 B作直線 l1∥ AC交拋物線 21 212y x x? ? ? ?于點 M,則 M為符合條件的點． ∴ 可設(shè)直線 l1 的解析式為： 1y x b?? ． 又 ∵ 點 B 的坐標為 (4， –1)， ∴ 114b? ? ? ．解得 1 5b?? ． ………………6 分 ∴ 直線 l1 的解析式為： 5yx?? ． 解方程組25,1 2 yxy x x????? ? ? ? ??? 得： 11 4,1,xy ??? ??? 22 2, ???? ??? ∴ 1(4, 1)M ? ； 舍去 2( 2, 7)M ?? ……………………8 分 ② 當 PQ 為斜邊時： MP=MQ=2，可求得 M 到 PQ 的距離為為 2． 取 AB 的中點 F，則點 F 的坐標為 (2，－ 1)． 由 A(0，－ 1)， F(2，－ 1)， P0(2， 1)可知： △ AFP0 為等腰直角三角形，且 F到 AC 的距離為 2． ∴ 過點 F 作直線 l2∥ AC 交拋物線 21 212y x x? ? ? ?于點 M，則 M 為符合條件的點． ∴ 可設(shè)直線 l2 的解析式為： 2y x b?? ． 又 ∵ 點 F 的坐標為 (2， –1)， ∴ 212b? ? ? ．解得 2 3b?? ． ……………………9 分 11 ∴ 直線 l2 的解析式為： 3yx?? ． 解方程組23,1 2 yxy x x????? ? ? ? ??? 得： 111 5,2 5,xy? ?????? ??? 221 5,2 5.xy? ?????? ??? ∴ 3 (1 5, 2 5 )M ? ? ? ， 舍去 4 (1 5, 2 5 )M ? ? ? ． ……………10 分 綜上所述：所有符合條件的點 M 的坐標為： 1(4, 1)M ? ， 3 (1 5, 2 5 )M ? ? ? ． ⅱ ) PQNP BQ?存在最大值，理由如下： 由 ⅰ )知 PQ=2 2，當 NP+BQ 取最小值時， PQNP BQ?有最大值． 取點 B 關(guān)于 AC 的對稱點 B′，易得 B′ 的坐標為 (0， 3)， BQ= B′Q． ……………………11 分 連接 QF， FN， QB′，易得 FN PQ． ∴ 四邊形 PQFN 為平行四邊形． ∴ NP=FQ． ……………………12 分 ∴ NP+BQ＝ F Q+ B′P≥F B′＝ 222 4 2 5?? ． ……………………13 分 當 B′， Q， F 三點共線時， NP+BQ 最小，最小值為 25． ∴ PQNP BQ?的最大值 為 2225= 105． ……………………14 分 12 班級
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