湖南省婁底市雙峰縣學(xué)九級(jí)上第一次月考數(shù)學(xué)試卷含案解析(參考版)
2025-01-11 21:56本頁面
【正文】 所以 x1=﹣ 2+ ， x2=﹣ 2﹣ ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（ x+m） 2=n 的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了直接開平方法解一元二次方程． 20．已知關(guān)于 x 的方程 x2+ax+a﹣ 2=0 （ 1）若該方程的一個(gè)根為 1，求 a 的值及該方程的另一根； （ 2）求證：不論 a 取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 【考點(diǎn)】 根的判別式；一元二次方程的解；根與系數(shù)的關(guān)系． 【 分析】 （ 1）將 x=1 代入方程 x2+ax+a﹣ 2=0 得到 a 的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出另一根； （ 2）寫出根的判別式，配方后得到完全平方式，進(jìn)行解答． 【解答】 解：（ 1）將 x=1 代入方程 x2+ax+a﹣ 2=0 得， 1+a+a﹣ 2=0，解得， a= ； 方程為 x2+ x﹣ =0，即 2x2+x﹣ 3=0，設(shè)另一根為 x1，則 1x1=﹣ ， x1=﹣ ． （ 2） ∵△ =a2﹣ 4（ a﹣ 2） =a2﹣ 4a+8=a2﹣ 4a+4+4=（ a﹣ 2） 2+4＞ 0， ∴ 不論 a 取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的 實(shí)數(shù)根． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，要記牢公式，靈活運(yùn)用． 21．一次函數(shù) y=kx+b 的圖象與反比例函數(shù) y= 的圖象交于點(diǎn) A（ 2， 1）、 B（﹣ 1， n）兩點(diǎn)． （ 1）求反比例函數(shù)的解析式； （ 2）求一次函數(shù)的解析式； （ 3）求 △ AOB 的面積． 【考點(diǎn)】 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題． 【分析】 （ 1）根據(jù)反比例函數(shù) y= 的圖象過點(diǎn) A（ 2， 1）利用待定系數(shù)法求出即可； （ 2）根據(jù)（ 1）中所求得出 B 點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出一 次函數(shù)解析式即可； （ 3）將三角形 AOB 分割為 S△ AOB=S△ BOD+S△ COD+S△ AOC，求出即可． 【解答】 解：（ 1）因?yàn)榻?jīng)過 A（ 2， 1），所以 m=2． 所以反比例函數(shù)的解析式為 y= ． （ 2）因?yàn)?B（﹣ 1， n）在 y= 上，所以 n=﹣ 2． 所以 B 的坐標(biāo)是（﹣ 1，﹣ 2）． 把 A（ 2， 1）、 B（﹣ 1，﹣ 2）代入 y=kx+b．得： ， 解得 ， 所以 y=x﹣ 1． （ 3）設(shè)直線 y=x﹣ l 與坐標(biāo)軸分別交于 C、 D，則 C（ 1， 0）、 D（ 0，﹣ 1） ． 所以： S△ AOB=S△ BOD+S△ COD+S△ AOC= 1 1+ 1 1+ 1 1= ． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)、一次函數(shù)解析式以及求三角形面積等知識(shí)，根據(jù)已知得出 B 點(diǎn)坐標(biāo)以及得出 S△ AOB=S△ BOD+S△ COD+S△ AOC 是解題關(guān)鍵． 22．關(guān)于 x 的方程 kx2+（ k+2） x+ =0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （ 1）求 k 的取值范圍； （ 2）是否存在實(shí)數(shù) k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于 0？若存在，求出 k 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【考 點(diǎn)】 根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】 （ 1）由于 x 的方程 kx2+（ k+2） x+ =0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由此可以得到判別式是正數(shù)，這樣就可以得到關(guān)于 k 的不等式，解不等式即可求解； （ 2）不存在符合條件的實(shí)數(shù) k．設(shè)方程 kx2+（ k+2） x+ =0 的兩根分別為 x x2，由根與系數(shù)關(guān)系有： x1+x2=﹣ ， x1x2= ，又 + = ，然后把前面的等式代入其中即可求 k，然后利用（ 1）即可判定結(jié)果 【解答】 解：（ 1）由 △ =[（ k+2） ]2﹣ 4 k ＞ 0， ∴ k＞ ﹣ 1 又 ∵ k≠ 0， ∴ k 的取值范圍是 k＞ ﹣ 1，且 k≠ 0； （ 2）不存在符合條件的實(shí)數(shù) k 理由：設(shè)方程 kx2+（ k+2） x+ =0 的兩根分別為 x x2， 由根與系數(shù)關(guān)系有： x1+x2=﹣ ， x1x2= ， 又 ∵ + = =0， ∴ =0， 解得 k=﹣ 2， 由（ 1）知， k=﹣ 2 時(shí)， △＜ 0，原方程無實(shí)解， ∴ 不存在符合條件的 k 的值． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解題時(shí)將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法． 23．某工廠使用舊設(shè)備生產(chǎn)，每月生產(chǎn)收入是 90 萬元，每月另需支付設(shè)備維護(hù)費(fèi) 5 萬元，從今年 1 月份起使用新設(shè)備，生產(chǎn)收入提高且無設(shè)備維護(hù)費(fèi)，使用當(dāng)月生產(chǎn)收入達(dá) 100 萬元，1 至 3 月份生產(chǎn)收入以相同的百分率逐月增長，累計(jì)達(dá) 364 萬元， 3 月份后，每月生產(chǎn)收入穩(wěn)定在 3 月份的水平． （ 1）求使用新設(shè)備后， 2 月、 3 月生產(chǎn)收入的月增長率； （ 2）購進(jìn)新設(shè)備需一次性支付 640 萬元，使用新設(shè)備幾個(gè)月后，該廠所得累計(jì)利潤不低于使用舊設(shè)備的累計(jì)利潤？（累計(jì)利潤是指累計(jì)生產(chǎn)收入減去就設(shè)備維護(hù)費(fèi)或新設(shè)備購進(jìn) 費(fèi)） 【考點(diǎn)】 一元二次方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）設(shè)每月的增長率為 x，那么 2 月份的生產(chǎn)收入為 100（ 1+x），三月份的生產(chǎn)收入為 100（ 1+x） 2，根據(jù) 1 至 3 月份的生產(chǎn)收入累計(jì)可達(dá) 364 萬元，可列方程求解． （ 2）設(shè)使用新設(shè)備 y 個(gè)月后，該廠所得累計(jì)利潤不低于使用舊設(shè)備的累計(jì)利潤，根據(jù)不等關(guān)系可列不等式求解． 【解答】 解：（ 1）設(shè)每月的增長率為 x，由題意得： 100+100（ 1+x） +100（ 1+x） 2=364， 解得 x=，或 x=﹣ （不合題 意舍去） 答：每月的增長率是 20%． （ 2）設(shè)使用新設(shè)備 y 個(gè)月后，該廠所得累計(jì)利潤不低于使用舊設(shè)備的累計(jì)利潤，依題意有 364+100（ 1+20%） 2（ y﹣ 3）﹣ 640≥ （ 90﹣ 5） y， 解得 y≥ 12． 故使用新設(shè)備 12 個(gè)月后，該廠所得累計(jì)利潤不低于使用舊設(shè)備的累計(jì)利潤． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查理一元二次方程的應(yīng)用和解題能力，關(guān)鍵是找到 1 至 3 月份的生產(chǎn)收入累計(jì)可達(dá) 100 萬元和不等量關(guān)系可列方程和不等式求解． 四、綜合題 24．如圖，四邊形 ABCD 為 正方形，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 0， 1），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 0，﹣ 2），反比例函數(shù) y= 的圖象經(jīng)過點(diǎn) C，一次函數(shù) y=ax+b 的圖象經(jīng)過 A、 C 兩點(diǎn) （ 1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式； （ 2）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的另一個(gè)交點(diǎn) M 的坐標(biāo)； （ 3）若點(diǎn) P 是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)， △ OAP 的面積恰好等于正方形 ABCD 的面積，求 P 點(diǎn)的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題． 【分析】 （ 1）先根據(jù) A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)坐標(biāo)得到正方形的邊長，則 BC=3，于是可得到 C（ 3，﹣2），然后利用待定系數(shù)法 求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
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