湖北省天門市高三五月調(diào)研測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題含答案(參考版)
2025-01-11 21:36本頁面
【正文】 做答時，請用 2B 鉛筆在答題卡上將所選題號的方框涂黑。 17．（ 本題滿分 12 分 ） 如圖，在△ ABC 中，∠ ABC=90o， 3AB? ， 1BC? ， P 為 △ ABC 內(nèi)一點，∠ BPC=90o. （Ⅰ） 若 12BP? ，求 PA； （Ⅱ） 若 ∠ APB= 150o，求 tan PBA? . 17．解： （Ⅰ） 由已知得 ∠ PBC=60o，所以∠ PBA=30o． 在 △ PBA 中，由余弦定理得 2 1 1 73 2 3 c o s 3 04 2 4PA ? ? ? ? ? ? ?， 故 72PA? ???????????????????????? 6 分 （Ⅱ） 設(shè) PBA ???，由已知得 sinPB ?? 在△ PBA 中，由正弦定理得 3 sinsin 1 5 0 sin (3 0 )? ??? ? ? 化簡得 3 cos 4 sin??? ， 所以 3tan 4PBA???????????????????????? 12 分 18.（ 本題滿分 12 分 ） 如圖， AB 是圓的直徑， PA 垂直圓所在的平面， C 是圓上的點 . （ Ⅰ ） 求證：平面 PAC⊥平面 PBC； （ Ⅱ ） 若 AB=2， AC=1， PA =1，求二面角 CPBA 的余弦值 . 18． 證明 ： （ Ⅰ ） 由 AB 是圓的直徑，得 AC BC? ， 由 PA? 平面 ABC， BC? 平面 ABC，得 PA BC? ． 又 PA AC A??， PA? 平面 PAC， AC? 平面 PAC， 所以 BC? 平面 PAC． 因為 BC? 平面 PBC， 所以 平面 PAC⊥平面 PBC????????????????? 6 分 （ Ⅱ ） 解法一 ： 過 C 作 CM/ /AP，則 CM⊥ 平面 ABC． 如圖（ 1），以點 C 為坐標(biāo)原點，分別 以直線 CB， CA， CM 為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 ． 在 Rt△ ABC 中，因為 AB=2， AC=1， 所以 3BC? ． 又因為 PA=1，所以 A（ 0， 1， 0）， B（ 3 ， 0， 0）， P（ 0， 1， 1） ． 第 18 題圖（ 1） 故 ( 3 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 )CB CP??． 設(shè)平面 BCP 的法向量為 1 1 1 1( , , )x y z?n ， 則 110,0.? ??????CBnCPn所以 1113 0,? ??? ???? 不妨令 1 1y? ，則 1 ( 0 ,1, 1)??n ． 因為 ( 0 , 0 , 1 ) , ( 3 , 1 , 0 ) ,AP AB? ? ? 設(shè)平面 ABP 的法向量為 2 2 2 2( , , )x y z?n ， 則 220,0.AP? ??????nABn所以 2220,3 xy???? ???? 不妨令 2 1x? ，則 2 ( 1 , 3 , 0 )?n ． 于是12 36c o s , 422? ? ? ?nn． 由圖（ 1）知 二面角 CPBA 為銳角， 故二面角 CPBA 的余弦值為 64 ?????????? 12 分 （ Ⅱ ） 解法二 ：如圖 （ 2） ，過 C 作 CM⊥ AB 于 M， 因為 PA⊥平面 ABC， CM? 平面 ABC， 所以 PA⊥ CM． 又因為 PA AB A??，且 PA? 平面 PAB， AB? 平面 PAB， 所以 CM⊥平面 PAB． 過 M 作 MN⊥ PB 于 N，連接 NC， 由三垂線定理得 CN⊥ PB， 所以∠ CNM 為 二面角 CPBA 的平面角 ． 在 Rt△ ABC 中，由 AB=2， AC=1， 得 3BC? ， 32CM? ， 32BM?． 在 Rt△ PAB 中，由 AB=2， PA=1，得 5PB? ． 因為 Rt△ BNM∽ Rt△ BAP， 所以 321 5MN?，所以 3510MN? 所以在 Rt△ CNM 中， 305CN? ， 所以 6cos 4CNM??， 所以故二面角 CPBA 的余弦值為 64 ?????????? 12 分 19．（ 本題滿分 12 分 ） 某人在如圖所
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