【正文】 習(xí)題 4— 1（ A） 1． 判斷下列敘述是否正確，并說明理由： （ 1） 不定積分 ? xxf d)( 是 ()fx的一個原函數(shù)； （ 2）在不定積分的運算性質(zhì)中，只有加法運算和數(shù)乘運 算法則而沒有乘法法則，因而遇到求乘積的不定積分時，可考慮是否 能將被積函數(shù)“積化和差”，從而用加法法則分別求不定積分； （ 3）積分運算與微分運算是互逆運算，因此對一個函數(shù)求導(dǎo)一次，積分一次，不論兩種運算的先后順序如何，最后的結(jié)果還是原來的函數(shù)； （ 4）切線的斜率同為 ()fx? 的曲線有無數(shù)條，這些曲線的方程 可以寫成 Cxfy ?? )( （ C為任意常數(shù)） 的形式 ，要想有唯一解，還必須另外有能確定任意常數(shù)的條件． 答： （ 1）不正確． 不定積分 ? xxf d)( 的結(jié)果是 ()fx的一個原函數(shù) 再 加一個任意常數(shù) C ． （ 2）正確． 這只是求乘積的不定積分方法之一，以后還會介 紹其它方法 ． （ 3）不正確． 先積分再求導(dǎo)， 兩種運算結(jié)果相互抵消， 最后的結(jié)果還是原來的函數(shù)；但是， 先求導(dǎo)再積分， 兩種運算結(jié)果不能相互抵消， 最后的 結(jié)果 與 原來的函數(shù)相 差一個任意常數(shù)． （ 4）正確． 這就是 不定積分的幾何意義． 2． 驗證函數(shù) xy 21 sin? 、 xy 22 cos?? 、 xy 2cos213 ??都是同一個函數(shù)的原函數(shù)，它們相互之間相差一個常數(shù)嗎？ 解： 因為 xxxxy 2s i nc o ss i n2)( s i n 21 ????? ， xxxxy 2s i n)s i n(c o s2)c o s( 22 ???????? ， xxxy 2s i n22s i n21)2c os21(3 ???????， 所以 xy 21 sin? 、 xy 22 cos?? 、 xy 2cos213 ??都是同一個函數(shù) x2sin 的原函數(shù) ． 根據(jù)原函數(shù)的性質(zhì)，它們彼此之間 相差一個常數(shù) ，其實由三角函數(shù)公式也可以得到它們彼此之間相差一個常數(shù)，事實上： 11s in 122 ???? yxy ， 2121s in123 ???? yxy． 3． 若 Cxxxf x ??? ?ed)( ，求函數(shù) )(xf ． 解： 等式 Cxxxf x ??? ?ed)( 兩邊同時對 x 求導(dǎo)，得 ???? ? )e()( Cxxf x xx ?? e1( ． 4． 一曲線過點 )0,1( ，且在任一點 ),( yxM 處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)平方的倒數(shù)，求該曲線方程 ． 解： 設(shè)所求曲線為 )(xyy? ，由已知有21xy??，則 Cxxxy ???? ? 1d 2， 再由 曲線過點 )0,1( ，有 C??? 10 ，得 1?C ，所求曲線為 xy 11?? ． 5． 求下列不定積分： （ 1） xxx d)1e2( ?? ； （ 2） ? ?? xxx d)se c21 1( 22； （ 3） xxx d)sin1 1( 2 ???； （ 4） xx xxx dtan222? ? ； （ 5） xx xx d1 331242? ? ?? ； （ 6） ? ? xx d)(1 22 ； （ 7） ?? )1(d 22 xx x； （ 8） ? ? xxx d)1(2 ； （ 9） xxx d11? ??； （ 10） xxx d)11)(1( 33 ???； （ 11） xxxxxx d)e2(e ??? ； （ 12） xx xxx d2 32 1? ??? ． 解： （ 1） ??? ???? xxxxx xx dde2d)1e2( Cxx ??lne2 ． （ 2） ?????? ? ?? xxxxxxx ds e c21 dd)s e c21 1( 2222 Cxx ?? tan2arctan． （ 3） ???? xxx d)sin1 1( 2 ??? ?? xxxx dsin1d 2Cxx ?? co sarcsin ． （ 4） ? ? ?? ???? ? xxxxxxx xxx dds e cddt a n 223222 ?????? ? Cxxx tan2 21 Cxxx ??? tan2 ． （ 5） ????? ?? ? ?? xxxxxx xx d31 dd1 331 22242 Cxx ?? 3arctan ． （ 6） ????? ?? ?? xxxxxxx dd2dd)(1 4222 Cxxx ??? 53 5132 ． （ 7） ???? ????? ???? 22222222 1 ddd)1( )1()1( d xxx xxxx xxxx x Cxx ??? arc tan1． （ 8） xxxxxxxxx dd2dd)1( 2321212 ???? ???? ? CxxxCxxx ????????? )51321(2523222 2252321 ． （ 9） ??????? ????? ??? Cxxxxxx xxxxx 2332d)1(d1 )1)(1(d11 Cxx ?? )132(． （ 10） ??? ?????? ? xxxxxxx ddd)11)(1( 313133 Cxx ?? 3 43 2 4323 ． （ 11） ??? ???? ?? xxxxxx xxxx dd)e2(d)e2(e 43Cxx ???? 442ln1 )e2( ． （ 12） ???? ? ??? ? xxxxx x xxx d)21(3d2d2 32 1 Cx x ??? ?2ln23ln2 ． 6． 若函數(shù) )(xf 的一個原函數(shù)為 xx ??esin ，求 ? xxf d)( ． 解： 因為 xx ??esin 是函數(shù) )(xf 的一個原函數(shù)，根據(jù)不定積分的定義，則 ?? xxf d)( Cx x ?? ?esin ． 習(xí)題 4— 1（ B） 1． 一物體由靜止開始以初速度 0v 沿直線運動，經(jīng)過 t s 后其加速度 tta ?? 2)( ，求 9 s后物體離開出發(fā)點的距離是多少？這時物體運行的速度是多少？ 解： 設(shè)時刻 t 時物體離開出發(fā)點的距離為 )(ts ，這時的速度為 )(tv ， 由 ttatv ???? 2)()( ， 則123322d)2()( Ctttttv ????? ? ， 因為 0?t 時， 0vv? ，得 01 vC? ； 所以023322)( vtttv ??? ． 由 )()( tvts ??023322 vtt ??? ，則 2025202315 4d)322()( Ctvtttvttts ??????? ? ， 因為 0?t 時， 0?s ，得 02?C ，所以 tvttts0252154)( ??? ． 0000 1818)9(958195 81481)9( vvvvvs ?????????? ，． 2． 求下列 不定積分： （ 1） ? ? xxxx d)ta n(s e cs e c ； （ 2） ?xxx 22 cossin d； （ 3） xxd2cos2 2? ； （ 4） ? ? xx2cos1 2d ； （ 5） xxx x dsincos 2cos? ? ； （ 6） xxx x dsincos 2cos 22? ?； （ 7） xxx dsin1sin? ? ； （ 8） ?? )1(d 24 xx x； （ 9） xxx d113? ??； （ 10） xxx d1e 1e3? ?? ． 解： （ 1） ???? ??? xxxxxxxxx dtans e cds e cd)tan(s e cs e c 2Cxx ?? sectan ． （ 2） ????? ??? xxxxx xxxxx x d)c s c(s e cc oss i n d)c oss i n(c oss i n d 22222222 Cxx ?? cottan． （ 3） ??? ?? xxxx d)c os1(d2c os2 2 Cxx ??sin ． （ 4） ??? ?? xxxx2c osd2c os1 2d Cx?tan． （ 5） ??????? ??? xxxxxx xxxxx x d)s i n(c osds i nc os s i nc osds i nc os 2c os 22Cxx ?? cossin ． （ 6） ??????? ??? xxxxxx xxxxx x d)s e c(c osds i nc os s i nc osds i nc os 2c os 22222222 Cxx ??? cottan． （ 7） xxxxxx xxxxx d)tans e c(t a nds i n1 )s i n1(s i nds i n1 s i n 22 ??? ??? ??? Cxxxxxx ??????? ? tans e cd)s e c1(s e c 2． （ 8） xxxxxxx xxxx x d])1( 11[d)1( )1()1( d 224242224 ???? ???? ??? Cxxxxxxx ???????? ? ? a rc t a n3 11d)1 11( 3224 ． （ 9） xx xxxxxx d1 )1)(1(d11 333 233 ?? ??????? ???? ? xxx d)1( 33 2 Cxxx ??? 3/43/5 4353 ． （ 10） xxx d1e 1e3? ?? ???????? ? Cxx xxxx eeln )e(d]1e)e[(222 Cxxx ??? e2e 2 ． 3． 若函數(shù) )(xf 滿足 xxxf 1)( ??? ，求 )(xf ． 解： 由22 )( 1)(1)( xxxxxf ?????，得22 1) xxf ???，所以 ????? ?? xxxxxfxf d)1(d)()( 22Cxx ??133 ． 4． 若函數(shù) )(xf 滿足216)( xxxf ???，求不定積分 ? xxf d)( ． 解： 由216)( xxxf ???，有122 13d)16(d)()( Cxxxxxxxfxf ??????? ??，所以 ???? ?? xCxxxxf d)13(d)( 12 213 ln CxCxx ??? ． 習(xí)題 4— 2（ A） 1． 判斷下列敘述是否正確，并說明理由： （ 1）用湊微分法所求的不定積分，被積函數(shù)必須具備、或能化成 ( ( )) ( )f x x??? 的形式； （ 2） 用湊微分法求不定積分 ? xxf d)( 時，其中 xd 中可以任意添加常數(shù)項或改變 x 的系數(shù)而成為 )d( bax? 的形式，需要注意的是，這樣變換后被積函數(shù)需乘一個常數(shù)因子 1a ； （ 3）形如2 dax b xx px q????的積分，積分結(jié)果一般為對數(shù)函數(shù)與反正切函數(shù)之和． 答： （ 1）正確．但是 )(uf 必須有原函數(shù) ． （ 2）正確． 因為 a baxxaxx )(dd)(dd ???? ， （ 0?a ） 總是成立的． （ 3） 不正確． 在很多時候結(jié)果中只有對數(shù)函數(shù) 或只有 反正切函數(shù) ，有時也會出現(xiàn)有理函數(shù) ． 事實上： ① 當(dāng) 042 ?? qp ， 0?a 時， 2 dax b xx px q???? Cpq pxpq bpqpx pxb ???????? ?? ? 2222 42a rc t a n4 24/)2/( )2/(d； ② 當(dāng) 042 ?? qp ， 0?a 時， 2 dax b xx px q???? ?? ?????? ?? qpxx xapbxqpxx pxa 22 d22d22 Cpq pxpq apbqpxxa ????????? 222 42a rc t a n42)l n(2； ③ 特別， 當(dāng) 042 ?? qp ， 0?a ，且 apb?2 時， 2 dax b xx px q????? Cqpxxa ??? )ln(2 2 ； ④ 當(dāng) 042 ?? qp ， 0?a