【正文】 習(xí)題 5— 1(A) 1． 判斷下列敘述是否正確？并說明理由： （ 1）如果函數(shù) )(xf 僅 在區(qū)間 ],[ ba 上 有界，它在 ],[ ba 上 未必可積，要使其可積，它在],[ ba 上 必須 連續(xù) ； （ 2）如果 積分 ?ba xxf d)(（ ba? ） 存在，那么n abin abafxxf ninba ???? ?? ??? )(l i md)( 1； （ 3）性質(zhì) 5 也常稱為積分不等式，利用它 （包括推論）結(jié)合第三章的有關(guān)知識(shí)，可以估計(jì)積分的值、判定積分的符號(hào)，也可證明關(guān)于定積分的 某些 不等式； （ 4）定積分的中值定理是一個(gè)非常重要的定理，利用它 能去掉 積分 號(hào) ， 同時(shí)該“中值” )(?f還是 被積函數(shù)在積分區(qū)間上的平均值 . 答： （ 1）前者正確．如狄利克雷函數(shù)??? ??? cQx QxxD ， ，01)(在區(qū)間 ][ ba， （其中 ab? ） 上有界，但是它在區(qū)間 ][ ba， 上不可積 ，事實(shí)上：將 ][ ba， 任意分成 n 個(gè)小區(qū)間 ][ 1 ii xx ，? )21( ni ， ?? ， （其中 bxax n ?? ，0 ） 記第 i 個(gè)小區(qū)間長度為 ix? ，先在 ][ 1 ii xx ，? 上取i? 為有理數(shù)，則 abxxD ni ini ii ????? ?? ???? 0000 l i m)(l i m ?? ?，再在 ][ 1 ii xx ，? 上取 i? 為無理數(shù)，則 00l i m)(l i m0000 ????? ?? ????ni ini ii xxD ?? ?，對(duì)于 i? 的不同取法黎曼和的極限不同，所以 )(xD在區(qū)間 ][ ba， 上不可積 ；后者不正確，參見定理 ． （ 2） 正確． 事實(shí)上：由于 )(xf 在區(qū)間 ][ ba， 上可積，則對(duì) ][ ba， 的任意分法， i? 的任意取法，都有ini iba xfxxf ?? ?? ?? )(limd)( 10 ??，現(xiàn)在對(duì) ][ ba， 區(qū)間 n 等分， i? 去在小區(qū)間的右分點(diǎn)，則 in abai ????， nabxi ???，并且 0?? 等價(jià)于 ??n ，所以 ini iba xfxxf ?? ?? ?? )(limd)( 10 ?? nabin abafnin???? ???? )(lim 1． （ 3）正確．它是證明關(guān)于定積分不等式的基礎(chǔ) ，參見例題 、 、 等 ． （ 4）正確．它可以 起到去掉積分號(hào)的作用 ))((d)( abfxxfba ??? ?；也可以用來表示連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 ][ ba， 上的平均值 ab?1 )(d)(? ?ba fxxf ?，但是由于 ? 位置不好確定，一般 不用它來計(jì)算平均值，而是直接計(jì)算 ?? ba xxfab d)(1. 2． 自由落體下落的速度 gtv? ，用定積分表示前 10 秒物體下落的距離 . 解： 根據(jù)定積分引入的實(shí)例，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 ?s ?ba ttv d)(，所以 ?? 100 dtgts． 3． 一物體在力 )(xFF? 作用下，沿 x 軸從 ax? 點(diǎn)移動(dòng)到 bx? 點(diǎn)，用定積分表示力 )(xF所 做 的功 W . 解： 將 位 移 區(qū) 間 ][ ba， 任 意 分 成 n 個(gè) 小 區(qū) 間 ][ 1 ii xx ，? )21( ni ， ?? ，（ 其 中bxax n ?? ，0 ） 記第 i 個(gè)小區(qū)間長度 為 ix? ，在 ][ 1 ii xx ，? 上任取一點(diǎn) i? ，用 )(iF? 近似代替物體從 1?? ixx 移動(dòng)到 ixx? 時(shí)所受的力，則 物體從 1?? ixx 移動(dòng)到 ixx? 時(shí)所 做 的功近似為 iii xFW ??? )(? ， 于是 ???? ????ni iini i xFWW 11 )(?，記 }21m ax{ nixi ， ?????，則 ???? ???bani ii xxFxFW d)()(l i m 10 ??（假定極限 ??? ?ni ii xF10 )(lim ??存在） . 4． 用定積分的幾何意義求下列積分值： （ 1） xxaaa d22?? ?； （ 2） ??21 dxx. 解： （ 1） 如圖，上半圓的面積 2/2?aA? ， 根據(jù)定積分幾何意義 Axxaaa ??? ? d22， 所以， ???? xxaaa d222/2?a ． （ 2） 如圖，面積 22/41 ??A ， 2/12 ?A ， 根據(jù)定積分幾何意義 2/3d2121 ???? ? AAxx， 所以， ???21 dxx2/3 ． 5． 若函數(shù) )(xfy? 在區(qū)間 ],[ aa? 上連續(xù)，用定積分的幾何意義說明： （ 1） 當(dāng) )(xf 為奇函數(shù)時(shí)， 0d)( ???aa xxf； （ 2） 當(dāng) )(xf 為偶函數(shù)時(shí)， ?? ??aaa xxfxxf 0 d)(2d)(. 解： （ 1） 如圖 1，當(dāng) )(xf 是奇函數(shù)時(shí)，由對(duì)稱性，面積 21 AA? ， 根據(jù)定積分幾何意義， 0d)(21 ???? ? AAxxfaa. （ 2） 如圖 2，當(dāng) )(xf 是偶函數(shù)時(shí)，由對(duì)稱性，面積 21 AA? ， 根據(jù)定積分幾何意義， ?? ?????aaa xxfAAAxxf 0121 d)(22d)(. 6． 比較下列各組 定積分的大?。? （ 1） xxI d10 21 ??與 xxI d10 32 ??； （ 2） xxI d211 ??與 xxI d21 32 ??； （ 3） xxI dsin201 ??? 與 xxI dsin20 31 ??? ；（ 4） xxI dln531 ??與 xxI d)(ln 2532 ??. 解： （ 1） 因?yàn)樵趨^(qū)間 ]10[， 上 32 xx ? ，所以 ?? xx d10 2 xxd10 3?，即 21 II ? ． （ 2） 因?yàn)樵趨^(qū)間 ]21[， 上 3 xx? ，所以 ?? xxd21 xxd21 3?，即 21 II ? ． （ 3） 因?yàn)樵趨^(qū)間 ]2/0[ ?， 上 xx 3sinsin ? ，所以 ?? xxdsin20? xxdsin20 3?? ，即 21 II ? ． （ 4） 因?yàn)樵趨^(qū)間 ]53[， 上 2)(lnln xx? ，所以 ?? xxdln53 xx d)(ln 253?，即 21 II ? ． 7． 估計(jì)下列定積分的值： （ 1） ? ?? ?20 d)sin2( xxI； （ 2） ?? 10 darc tan xxI； （ 3） ? ?? 21 2 d1 xxxI； （ 4） ? ??? 20 2 )d32( xxxI. 解： （ 1） 設(shè) xxf sin2)( ?? ，在區(qū)間 ]20[ ?， 上顯然 有 3)(1 ?? xf ， 又 ，1)2/3( ??f 3)2/( ??f ，于是函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ]20[ ?， 上的最小值為 1?m ，最大值 3?M ，而區(qū)間長度 ?2??ab ，根據(jù) )(d)()( abMxxfabm ba ???? ?，得 ?? 62 ??I ． （ 2） 設(shè) xxf arctan)( ? ，由于函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ]10[， 上單調(diào)增加，于是 )(xf 在區(qū)間]10[， 上的最小值為 0)0( ?? fm ，最大值 4/)1( ??? fM ，而區(qū)間長度 1??ab ，根據(jù) )(d)()( abMxxfabm ba ???? ?，得 4/0 ???I ． （ 3） 設(shè)21)( xxxf ??， 則222)1( 1)( xxxf ????， 在區(qū)間 ]21[， 上 0)( ?? xf ，于是函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ]21[， 上單調(diào)減少，所以 )(xf 在區(qū)間 ]21[， 上的最小值為 2/5)2( ?? fm ，最大值 2/1)1( ?? fM ，而區(qū)間長度 1??ab ，根據(jù) )(d)()( abMxxfabm ba ???? ?，得 2/15/2 ?? I ． （ 4） 設(shè) 32)( 2 ??? xxxf ，則 22)( ??? xxf ，有 0)( ?? xf ，在區(qū)間 )20(， 內(nèi)得駐點(diǎn)1?x ，又 3)2(2)1(3)0( ??? fff ， ，所以函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ]20[， 上的最小值為2)1( ?? fm ，最大值 3)2()0( ??? ffM ， 而 區(qū) 間 長 度 2??ab ，根據(jù))(d)()( abMxxfabm ba ???? ? ，得 64 ??I ． 8． 證明下列不等式： （ 1） xxxx dc osds in 4040 ?? ??? ； （ 2） xxxx d)1(de 1010 ?? ??. 證明： （ 1） 在區(qū)間 ]4/0[ ?， 上顯然有 xx cossin ? ，所以 xxxx dc osds in 4040 ?? ??? . （ 2） 設(shè) xxf x ??? 1e)( ， 在區(qū)間 ]10[， 上， 01e)( ???? xxf ，于是函數(shù) )(xf 在區(qū)間]10[， 上單調(diào)增加，從而 0)0()( ?? fxf ，即 在區(qū)間 ]10[， 上 xx ??1e ， 所以xxxx d)1(de 1010 ?? ?? . 習(xí)題 5— 1(B) 1． 右圖給出了做直線運(yùn)動(dòng)的某質(zhì)點(diǎn)在 0 到 9s 內(nèi)的速度圖象，求它在這段時(shí)間間隔內(nèi)所走的路程 . 解： 質(zhì)點(diǎn)在 0 到 9s 內(nèi)所走的有效路程為陰影面積的 代數(shù)和 ， 即 2810d)(90 ???? ttv（單位）； 質(zhì)點(diǎn)在 0 到 9s 內(nèi)所實(shí)際走的路程為陰影面積的和，即 18810d)(90 ???? ttv（單位） 2． 用定積分中值定理求下列極限： （ 1） xxxxnnn d2lim82? ???； （ 2） xxxnnn d1a rc ta nlim1? ???． 解： （ 1） 由 定積分中值定理，nnnnnnn xxxx ?? ????? 2 6d282（其中 82 ?? n? ），于是 3/12 6l i m2 6l i md2l i m 182 ?????? ??????? ? nnnnnnnnnnnn xxxx ??? ?． （ 2） 由 定積分中值定理，nnnn xxx ??1a rc t a nd1a rc t a n1 ?? ? （其中 1??? nn n? ）， 由 1??? nn n? ，有 ??n 等價(jià)于 ???n? ，于是 11l i m1a rc t a nl i md1a rc t a nl i m 1 ???? ????????? ? nnnnnnn nnxxx ???? ??． 3． 若函數(shù) )()( xgxf ， 在區(qū)間 ][ ba， （ ba? ）上連續(xù)， )()( xgxf ? ，且 )( xf 不恒等于 )(xg ，證明 ?? ? baba xxgxxf d)(d)(． 證明： 設(shè) )()()( xfxgxF ?? ，由 題目 條件 知，在區(qū)間 ][ ba， 上函數(shù) )(xF 連續(xù)且 0)( ?xF又不恒等于零， 于是 有 ?0x ][ ba， ，使得 0)( 0 ???xF ，由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)， 0??? ，在 區(qū)間 ][][ 00 baxx ， ??? ?? 內(nèi) 恒有 2/)( ??xF ，設(shè)區(qū)間 ][][ 00 baxx ， ??? ?? ][ 21 cc，? （ 12 cc ? ），所以 02/)(/ 2dd)(d)( 122121 ????? ??? ccxxxFxxFccccba ??，即 0]d)()([ ??? ba xxfxg，再由定積分的線性性， 得 ?? ? baba xxgxxf d)(d)(． 4． 證明下列不等式： （ 1） 4/1022 e2dee2 2 ?? ???? ? xxx； （ 2）211 d22 1 10 ??? ? nxxx（其中 n 是正整數(shù)） . 證明： （ 1） 設(shè) xxxf ?? 2e)( ，則 xxxxf ???? 2e)12()( ，由 0)( ?? xf ，在區(qū)間 )20(， 內(nèi)得駐點(diǎn) 2/1?x ，又 24/1 e)2(e)2/1(1)0( ??? ? fff ， ，于是函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ]20[， 的最小值為 4/1e??m ，最大值為 2e?M ，從而 ?? 4/1e2 220 e2de 2 ?? ? xxx， 因?yàn)??? ?02 de 2 xxx ? ?? 20 de 2 xxx ，所以 4/1022 e2dee2 2 ?? ???? ? xxx ．