【正文】 ?f ，有24312132 C????得 01?C ，所以 )(xf 2ln4312 224 xxxx ??? ． 總 習(xí)題 四 1． 填空題： （ 1）若 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)為 xxln ，則 ? ?xxf d)( ； （ 2）若 CxFxxf ??? )(d)( ，則 ? ?xxfx d)1(12 ； （ 3）不定積分 ? ??? xx xf d)(1 ； （ 4）不定積分 ? ?? xxxx d)sin(2 ； （ 5）若 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)為 2ex ，則 ? ?? xxfx d)( ． 解： （ 1） 根據(jù)不定積分定義， 填： Cxx ?ln ； （ 2） ?? ??? )1(d)1(d)1(12 xxfxxfx CxF ?)1(，填： CxF ?? )1( ； （ 3） ?????? ?? xxfxx xf d)](1[2d)(1 Cxfx ?? )]([2， 填： Cxfx ?? )]([2 ； （） ??? ???? )d(s i ns i n)s i nd(d)s i n( 222 xx xxxx xxxx xx ??? xxxx dsin2sin Cxxx ??? co s2sin ， 填： Cxxx ?? co s2sin ； （ 5） ???????? ?? Cxxxfxxfxxfx xx 22 e)e(d)()(d)( Cx ?? 2e)12( 2 ， 填： Cx x ?? 2e)12( 2 ． 2． 單項(xiàng)選擇題： （ 1）若 )(xf 有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列式子中正確的是（ ）； （ A） ? ? )(d)(dd xfxxfx ； （ B） ? ? )(]d)(d[ xfxxf ； （ C） ? ?? )(d)( xfxxf ； （ D） ? ? )()(d xfxf ． （ 2）若 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)為 xsin ，則 ? ?xxxf d)(2 2 （ ）； （ A） Cx ?2sin （ Rx? ）； （ B） Cx?sin （ Rx? ）； （ C） Cx?sin （ 0?x ）； （ D） Cx?sin （ 0?x ）． （ 3）若 Cxxxxfx ???? lnd)( 2 ，則函數(shù) ?)(xf （ ）； （ A） 1ln2 ?x ； （ B） xx?ln2 ； （ C） Cx?ln2 ； （ D） Cxx ??ln2 ． （ 4）若 )(xf 有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則不定積分 ? ??? xxfx d)( （ ）； (A) Cxfx ?? )( ； (B) Cxfxfx ??? )()( ； (C) Cxfxfx ??? )()( ； (D) Cxfxfx ??? )]()([ . （ 5）若函數(shù)??? ? ???? ,1, ,10,1)(l n xx xxf，則 ?)(xf （ ）． （ A）??? ?? ???? ；1,e ,10,)( xC xCxxf x （ B）??? ?? ????? ；1,e ,10,1)( xC xCxxf x （ C）??? ?? ??? ；0,e ,0,)( xC xCxxf x （ D）??? ?? ???? .0,e ,0,1)( xC xCxxf x 解： （ 1） 選 A， B 少 xd ，而 C、 D 都少加 積分 常數(shù) C； （ 2） 選 D，事實(shí)上： )0(s i ns i n)d()(d)(2 2222 ?????? ?? xCxCxxxfxxxf . （ 3） 選 D， 事實(shí)上：等式 Cxxxxfx ???? lnd)( 2 兩邊 對(duì) x 求導(dǎo)，有 xxxxfx ??? ln2)( ，即 1ln2)( ??? xxf ，所以 Cxxxxxxxxf ??????? ?? )1ln2(dln2d)1ln2()( . （ 4） 選 C， 事實(shí)上： ??????? ?? xxfxfxxxfx d)()(d)( Cxfxfx ??? )()( . （ 5） 選 D． 事實(shí)上：由??? ? ???? ,1, ,10,1)(l n xx xxf得??? ???? ,0,e ,0,1)( xxxf x 當(dāng) 0?x 時(shí)， Cxxf xx ??? ? ede)( ，當(dāng) 0? 時(shí)，1d)( Cxxxf ??? ?，由于函數(shù) )(xf 可導(dǎo)，因此要連續(xù)，而 1)0( Cf ?? ， Cff ???? 1)0()0( ，得 CC ??11 ， 所以，??? ?? ???? .0,e ,0,1)( xC xCxxf x 3． 求下列不定積分： （ 1） xxx d)1( 222??； （ 2） ?? )1( d 4xx x； （ 3） 222 d1 x xxx????； （ 4） xxxx d2 2? ?； （ 5） ??4d xx x； （ 6） ?? xxx xd； （ 7） xxxd11? ??； （ 8） ???3 2)1(dxxx x； （ 9） ?? 32)1( dxx； （ 10） ??9d22 xx x； （ 11） ??1d 22 xx x； （ 12） ??? xx xee d； （ 13） xx x de 23? ； （ 14） ? xxde3 ； （ 15） ? ?? xx xx d)1ln(2； （ 16） ? ? xxx d)1ln(2 ； （ 17） xxxx d)1( ln 22? ?； （ 18） xxx d2coscos ?? (19) xxxx dsin1 cossin4? ? ?； （ 20） xxx dcostan?； （ 21） xxxdcossin62? ； （ 22） ? ? xx x cos22sin d ； （ 23） ? ? xxdsin1 ； （ 24） ?? xbxa x 2222 c ossin d（ 0?ab ）； （ 25） ? ? xx x44 cossin d （ 26） ? xxdsec3 ； （ 27） ? ?? xxxx dcos1 sin ； （ 28） ? ? xxx dcoslncos ； （ 29） xx xdarccos?； （ 30） xxx x d)1(arctan 22? ?； （ 31） xx x d2arc sin? ?； （ 32） ? xxx de ecotarc ； （ 33） xxfxfx de )()(? ??； （ 34） xx d}1max{ 2? ， ． 解： （ 1） ??????? ??? )1 1(d21)1( )1(d21d)1( 2222222xxx xxxxx ?????? ? 22 1 d21)1(2 xxxx Cxxx ??? )1(a rc ta n21 2． 或：令 tx tan? ，則 Ctttttttxxx ??????? ??? )c oss i n(21d)2c os1(21ds i nd)1( 2222 Cxxx ???? )1(a rc t a n21 2． （ 2） ??????????? xxxxxxxxx x 1 )d(141lnd)11()1( d4434 Cxx ??? )1ln(41ln 4． （ 3） 222 d1 x xxx???? ??? ????? ????? ??? 222 1 d23d1 1221d)1 11( xx xxxxxxxxxx ??? ?????? 4/3)2/1( )2/1(d23)1l n(21 22 x xxxx Cxxxx ??????? 3 12a rc t a n3)1l n(21 2 ． （ 4） ?????????? 222 2 dd2 2221d2 xx xxxx xxxx x ??? ?????? ?? 222 )1(1 )1d(2 )2(d21 xxxx xx Cxxx ???? 22)1a r c s in ( ． （ 5） 令 tx?4 ，則 4tx? ， ttx d4d 3? ，于是 Ctttttttt ttxx x ???????????? ??? )1l n(442d)111(4d4d 22 34 Cxxx ?????? )1l n (442 44 ． （ 6） ??? ??????? xxxxxxxxx1)d(12)1(dd Cx ??14 ． （ 7） ?????????? ??? 222 12)1(da rc s i nd11d11 xxxxxxxxx Cxx ??? 21arcsin ． 或：令 txx ???11，則121 2 ??? tx，22 )1( d4d ?? t ttx，于是 Cttttt txxx ???????? ?? )1(a rc t a n2d)1( 4d11 222 2（參見題（ 1）） Cxxx ?????? 2111a rc t a n2． （ 8） 令 txx ??3 1，則311tx ??，3311 ttx ??? ，232)1( d3d t ttx ??，于是 ????????? ??? Cttxxxxxxxx x 3d3d1)1( 1)1(d 33 2 Cxx ???3 13 ． （ 9） 令 tx sin? （ 22 ?? ??? t ），則 ????? ?? Ctttxx t a nc osd)1( d 232 Cxx ?? 21 ． （ 10） 當(dāng) 3?x 時(shí)， 令 tx sec3? （ 20 ???x ），則 ????? ?? Ctttxx x 9s i ndc os919d 22 Cxx ??9 92 ． 當(dāng) 3??x 時(shí)， 令 ux ?? ，則 ????????? ?? Cuuuu uxx x 9 99d9d 22222 Cxx ?? 21 ． 所以，當(dāng) 3?x 時(shí)，都有 ??? 9d 22 xx x Cxx ??9 92 ． （ 11） 令 tx tan? （ 2/??t ）則 ?????? ?? Cttttxx x s i n1ds i nc os1d 222 Cx x ??? 21 ． 或：當(dāng) 0?x 時(shí)，令 tx 1? ，則 Cttttxx x ???????? ?? 2222 11 d1d Cx x ???? 21 ， 當(dāng) 0?x 時(shí)，類似可得 ??? 1d 22 xx x Cxx ??? 21 ． （ 12） ? ?? ??????? 1e de1e deee d 22 xxxxxx xx Cx ?earctan ． （ 13） ???? ??? ])(dee[21)d(e21de 2223 2222 xxxxx xxxx Cx x ?? 2e)1(21 2 ． （ 14） 令 tx?3 ，則 3tx? ，于是 )de2e(3de3)(dede 2233 ???? ???? tttttx ttttx ????? Cttt )22(e3 2 Cxxx ???? )22(e3 33 23 ． （ 15） ??????????????? )1( d)1l n(d1)1(d)1l n(d1d)1l n( 2 xx xx xxxxxxxxx xx ????????????? ?? Cxx xxxxx xxx )1l n()1l n(d)1 11()1l n(d1 Cxx ??? )1ln()11( ． （ 16） ]d1)1l n([31d)1l n( 33