【正文】 )1(, 21 ?nXXX n? 獨立同分布， 故 1( , ) 0( 1)jC ov X X j?? 所以 2211 11( , ) ( , ) 0niiC o v X Y C o v X Xn n n???? ? ? ??選 (A) 11. 設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 的相關(guān)系數(shù)為 , 又 ?? XZ ， 求 Y 與 Z 的相關(guān)系數(shù) . 解： 由 ( , ) ( , 0 .4 ) ( , ) 0 .9Co v Y Z Co v Y X Co v X Y D X D Y? ? ? ? 及 DZ DX? 得 ( , ) 0 . 9 0 . 9YZ C o v Y Z D X D YD Y D Z D Y D X? ? ? ? 12. 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X 和 Y 的 相 關(guān) 系 數(shù) 為 , 并且 0)()( ?? YEXE , 2)()( 22 ?? YEXE , 計算 2)( YXE ? 的值 . 解： 因為 ? ? 故 ( , ) 0 .5XYCo v X Y D X D Y D X D Y??? 而 2 2 2 2( ) 2 , ( ) 2D X E X E X D Y E Y E Y? ? ? ? ? ? 故22( ) ( ) [ ( ) ]2 ( , ) 02 2 2 0. 5 2 2 6E X Y D X Y E X YD X D Y Cov X Y? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? X 和 Y 的聯(lián)合概率分布 Y X 1? 0 1 34 Y X 0 1 求：（ 1） X 和 Y 的相關(guān)系數(shù)；（ 2） ).,( 22 YXCov 解： X 的分布為 X 0 1 P 故 , 4E X D X? ? ? ? Y 的分布為 Y 1 0 1 P 故 , 6E Y D Y? ? ? ? 所以 ( , ) ( ) 0. 08 0. 2 0. 6 0. 2 0C ov X Y E XY EX EY? ? ? ? ? ? ? ? ? 0XY? ? （ 2）2 2 2 2 2 22222( , ) ( ) ( ) ( ) 8 [ ( ) ] [ ( ) ] 8 ( 4 ) ( 6 )C ov X Y E X Y E X E YDX EX DY EY??? ? ? ?? ? ? ??? 習(xí)題 （ B） 1. 設(shè) ),( YX 的聯(lián)合概率分布 1 0 1 1 31 0 0 0 0 121 a 1 41 b 121 且 31)0|1( ???? XYXP ， 求： (1) 常數(shù) ba, ； (2) ),( YXCov . 35 解： （ 1） 由( 1 , 0 ) ( 1 , 0 )( 1 | 0 ) ( 0 ) ( 0 )P X Y X P Y XP X Y X P X P X? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 11212aa??? 解得 124a? 由正則性知 1 1 1 1 13 1 2 4 1 2ab? ? ? ? ? ? 解得 524b? （ 2） X 的邊緣分布為 X 1 0 1 P 23 18 1324 1 1 3 53 2 4 2 4EX ? ? ? ? Y 的邊緣分布為 Y 1 0 1 P 712 724 18 1124EY?? 1 1 1 5 1 1 1 5 1( , ) ( ) ( )3 4 1 2 2 4 2 4 5 7 6C o v X Y E X Y E X E Y? ? ? ? ? ? ? ? ? 2. 箱內(nèi)有 6 個球，其中紅、白、黑球的個數(shù)分別為 1， 2， 3 個，現(xiàn)從箱內(nèi)隨機(jī)地取出兩個球，記 X 為取出的紅球個數(shù)， Y 為取出的白球個數(shù) ． 求：（ 1）二維隨機(jī) 向量 ),( YX 的聯(lián)合概率分布；（ 2） ),( YXCov . 解： (1)X 的所有可能取值為 0,1, Y 的所有可能取值為 0,1,2 36 2326 1( 0 , 0 ) 5CP X Y C? ? ? ? 112326 2( 0 , 1 ) 5CCP X Y C? ? ? ? 2226 1( 0 , 2 ) 15CP X Y C? ? ? ? 111326 1( 1 , 0 ) 5CCP X Y C? ? ? ? 111226 2( 1 , 1 ) 15CCP X Y C? ? ? ? ( 1, 2) 0P X Y? ? ? (2) X 的邊緣分布為 X 0 1 P 23 13 13EX? Y 的邊緣分布為 Y 0 1 2 P 25 815 115 23EY? 4( , ) ( ) 45C o v X Y E X Y E X E Y? ? ? ? ? 3. 設(shè) 隨機(jī)變量 X~ N (0,1)， Y~ N (1, 4)，相關(guān)系數(shù) 1?XY? ，則 （ A） P（ Y = ? 2X ? 1） =1 （ B） P（ Y = 2X ? 1） =1 37 （ C） P（ Y = ? 2X +1） =1 （ D） P（ Y = 2X +1） =1 解： 由 1?XY? 知 X 與 Y 完全正相關(guān)，根據(jù)相關(guān)稀疏的性質(zhì)可知只能選擇B 或 D,又 1EY? ，故選 D. 4. 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 獨立同分布，且 X 的概率分布 X 1 2 P 23 13 記 m a x( , ) , m i n( , )U X Y V X Y??. 求： （ 1） ? ?,UV 的概率分布 ；（ 2） U 與 V 的協(xié)方差 ),( VUCov . 解： （ 1） ,UV的 所有可能取值均為 1， 2 ? ? 2 2 41 , 1 ( 1 , 1 ) 3 3 9P U V P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 42 , 1 ( 2 , 1 ) ( 1 , 2 ) 9P U V P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 , 2 ( 2 , 2 ) 9P U V P X Y? ? ? ? ? ? ? ?1, 2 0P U V? ? ? （ 2） ( , ) ( )4 1 4 14 10 4429 9 9 9 9 81C ov U V E UV EU EV? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 5．設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度 ? ?1 , 1 021 , 0 240,Xxf x x? ? ? ????? ? ??????　 其 他， 38 令 2XY? .求 Cov( , )XY . 解： 320 2 0 2 0 23 3 2 21 0 1 0 1 0C ov ( , ) ( )()()2 4 2 4 2 423X Y E XY EX EYE X EX EXx x x x x xdx dx dx dx dx dx? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 6． 設(shè) BA, 為隨機(jī)事件，且2131 )|(,)|(,41)( ??? BAPABPAP，令 。,0,1 不發(fā)生 發(fā)生AAX ???? .,0,1 不發(fā)生 發(fā)生BBY ???? 求：（ 1）二維隨機(jī)變量 ),( YX 的概率分布；（ 2） X 與 Y 的相關(guān)系數(shù) XY? ； (3) 22 YXZ ?? 的概率分布 . 解： （ 1） 由2131 )|(,)|(,41)( ??? BAPABPAP得 ( ) 1 ( ) 1,( ) 3 ( ) 2P A B P A BP A P B?? 解得 11( ) , ( )6 1 2P B P A B?? 故( 0 , 0 ) ( ) 1 ( )1 [ ( ) ( ) ( ) ]1 1 1 21 ( )4 6 1 2 3P X Y P A B P A BP A P B P A B? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ( 0 , 1 ) ( ) ( ) ( )1 1 14 12 6P X Y P AB P A P AB? ? ? ? ?? ? ? 39 ( 1 , 0) ( ) ( ) ( )1 1 16 12 12P X Y P AB P B P AB? ? ? ? ?? ? ? 1( 1 , 1 ) ( ) 12P X Y P A B? ? ? ? （ 2） ( , ) ( )1 1 1 112 6 4 24C ov X Y E XY EX EY? ? ?? ? ? ? 21 1 3()4 4 1 6DX ? ? ? 21 1 5()6 6 3 6DY ? ? ? ( , ) 1 515XY C o v X YD X D Y? ?? （ 3） 22 YXZ ?? 的所有可能取值為 0,1,2 且 2( 0 ) ( 0 , 0 ) 3P Z P X Y? ? ? ? ? 1 1 1( 1 ) ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) 6 1 2 4P Z P X Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1( 2 ) ( 1 , 1 ) 12P Z P X Y? ? ? ? ? 7． 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 都服從正態(tài)分布，且它們不相關(guān)，則 (A) X 與 Y 一定獨立 (B) ),( YX 服從二維正態(tài)分布 (C) X 與 Y 未必獨立 (D) YX? 服從一維正態(tài)分布 解： 因為 ),( YX 不一定服從二維正態(tài)分布，故 X 與 Y 未必獨立，選C. 8． 對于隨機(jī) 事件 BA, ， 若 1)(0,1)(0 ???? BPAP ， 則稱 )()()()( )()()( BPAPBPAP BPAPABP ??? 為 事件 A 與 B 的相關(guān)系數(shù) . 40 (1) 證明事件 A 與 B 獨立的充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)等于零； (2) 利用隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)，證明 .1?? 證明： (1) 由 ? 的定義可見 0?? 當(dāng)且僅當(dāng)0?? ）（）（）（ BPAPABP ，而這恰好是二事件 A 和 B 獨立的定義，即0?? 是 A 和 B 獨立的充分必要條件。 （ 2）考慮隨機(jī)變量 ???? 不出現(xiàn)，若， 出現(xiàn)，若， AAX 01 ???? 不出現(xiàn)，若， 出現(xiàn)，若， BBY 01 由條件知 X 和 Y 都服從 0— 1分布： X 0 1 P ）（ AP ）（ AP Y 0 1 P ）（ BP ）（ BP 由此知 ）（）（），（）（ BPYEAPXE ?? ， ）（）（）（），（）（）（ BPBPYDAPAPXD ?? ， ).()()()()()(),( BPAPABPYEXEXYEYXC o v ???? 因此，事件 A 和 B 的相關(guān)系數(shù)就是隨機(jī)變量 X 和 Y 的相關(guān)系數(shù)，由二維隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)可知 .1|| ?? 41 習(xí)題 (A) ，期望值是 1 兩，標(biāo)準(zhǔn)差是 兩，求一盒（ 100 個）同型號螺絲釘?shù)闹亓砍^ 斤的概率 ． 解： 令 ?iX “第 i 個螺絲釘?shù)闹亓俊? 則 50)( ?iXE ， 25)( ?iXD ， 100,3,2,1 ??i )51()5100( 100 1 ???? ?? XPXP i i ) 5051(1 ????? 100 次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目 是一個隨機(jī)變量，其期望值為 2，方差為 ，求 100 次轟炸中有 180 顆到 220 顆炸彈命中目標(biāo)的概率 ． 解： 令 ?iX “第 i 次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)” 則 2)( ?iXE ， )( ?iXD ， 100,3,2,1 ??i )()220220( 100 1 ?????? ?? XPXP i i )()() () (???????????? ，為簡便起見，每個加法取整數(shù)（按四舍五入取最為 42 接近它的整數(shù)） ． 可以認(rèn)為各個加數(shù)的取整誤差是相互獨立的，并且它們都服從 [–， ]上的均勻分布 ． 求 ： （ 1）將 300 個數(shù)相加，誤差總和的絕對值超過 15 的概率； （ 2）最多幾個數(shù)加在一起，其誤差總和的絕對值小于 10 的概率不小于 90%； （ 3）如果有 300 個數(shù)相加，以 %的概率斷定其誤差總