【正文】 習(xí)題 2— 1（ A） 1． 下列論述是否正確，并 對 你的 回答 說明理由： （ 1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的平均變化率在自變量的增量趨于零時的極限； （ 2）求分段函數(shù) ( ), ,()( ),x x afx x x a?? ??? ? ??在分界點(diǎn) xa? 處的導(dǎo)數(shù)時，一般利用左、右導(dǎo)數(shù)的定義分別求該點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù) ． 如果二者存在且相等，則在這一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就存在，且等于左、右導(dǎo)數(shù) ，否則 函數(shù)在這點(diǎn)不 可導(dǎo)； （ 3） )(xfy? 在 0x 點(diǎn)可導(dǎo) 的充分必 要條件是 )(xfy? 在 0x 點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)都存在 ； （ 4）函數(shù) )(xfy? 在 0x 點(diǎn) 連續(xù)是它 在 0x 點(diǎn)可導(dǎo) 的充分必要條件 . 答： （ 1）正確 ． 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義 ． （ 2）正確 ． 一般情況下是這樣，但是若已知 )(xf? 連續(xù)時，也可以用 )()( 00 ?? ??? xfxf（即導(dǎo)函數(shù)的左極限）， )()( 00 ?? ??? xfxf （即導(dǎo)函數(shù)的右極限）求左右導(dǎo)數(shù) ． （ 3）不正確 ． 應(yīng)是左、右導(dǎo)數(shù)都存在 且相等 ． （ 4）不正確 ． )(xf 在 0x 點(diǎn)連續(xù)僅是 )(xf 在 0x 可導(dǎo)的必要條件，而不是充分條件，如xyxy ?? 、3 都在 0?x 點(diǎn)連續(xù)，但是它們在 0?x 點(diǎn)都不可導(dǎo) ． 2． 設(shè)函數(shù) 2xxy ?? ， 用導(dǎo)數(shù)定義求它 在 1??x 點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) . 解： 1l i m1 0l i m)1(121 ????????????? xxxxyxx． 3． 設(shè)函數(shù) yx? ，用定義求它在 10?x 點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)． 解：2111l i m1 1l i m)1( 11 ??????? ?? xxxy xx． 4． 用定義求函數(shù) xy ln? 在任意一點(diǎn) x ( 0?x )處的導(dǎo)數(shù) ． 解： xxxx xxxy xxxxxx1eln])1l n[(l i mln)l n(l i m 1100 ?????? ????? ?????． 5． 對函數(shù) xxxf 2)( 2 ?? ，分別求出滿足下列條件的點(diǎn) 0x ： （ 1） 0)( 0 ?? xf ； （ 2） 2)( 0 ??? xf ． 解： 22)22(l i m)2()](2)[(l i m)(0220 ?????????????? xhxhxxhxhxxfhh， （ 1）由 0)( 0 ?? xf ，有 022 0 ??x ，得 10?x ； （ 2）由 2)( 0 ??? xf ，有 222 0 ???x ，得 00?x ． 6． 已知某物體的運(yùn)動規(guī)律為 221gts? ，求時刻 t 時物體的運(yùn)動速度 )(tv ，及加速度 )(ta ． 解： 速度為 gthgth gthtgtstvhh ?????????? )2(l i m2/2/)(l i m)()(0220， 加速度為 ggh gthtgtvtahh ??????? ?? 00 l i m)(l i m)()(． 7． 求曲線 xy ln? 在點(diǎn) )01(， 處的切線方程與法線方程 ． 解： 切線斜率 11)1(1 ???? ?xxyk， 切線方程為： )1(10 ???? xy ，即 01???yx ； 法線方程為： )1(110 ???? xy ，即 01???yx ． 8． 若函數(shù) )(xf 可導(dǎo)，求下列極限： （ 1） x xfxxfx ??????)()(lim 000； （ 2） xxfx )(lim0?（其中 0)0( ?f ）； （ 3） h hxfhxfh)()(lim 000????； （ 4） x xffx )sin1()1(lim0 ???． 解： （ 1） ??? ?????? ??????? xxfxxfx xfxxfxx)()(l i m)()(l i m 000000 )( 0xf??． （ 2） ?????? 0 )0()(lim)(lim 00 x fxfxxf xx )0(f?． （ 3） h hxfhxfh)()(lim 000???? ?????? ?????? ?? )()()()(l i m)()(l i m 00000000 xfxfh xfhxfh xfhxf hh )(2 0xf? ． （ 4） ?????? ??????? 1)1(s i ns i n )1()s i n1(l i m)s i n1()1(l i m 00 fx xx fxfx xff xx )1(f?． 9． 討論下列函數(shù)在指定點(diǎn)的連續(xù)性和可 導(dǎo) 性： （ 1） 3 xy? ，在 0?x 點(diǎn)； （ 2）????????，0001a r c t a n)( 2xxxxxf 在 0?x 點(diǎn)； （ 3） 2 , 1,(), 1,xxfx xx? ?? ? ?? 在 1?x 點(diǎn) ． 解： （ 1） 3 xy? 是初等函數(shù)，且在 0?x 的鄰域內(nèi)有定義，因此 3 xy? 在 0?x 點(diǎn)連續(xù)， 因為 ?????? ?? 3 20301lim00lim xxxxx（極限不存在），所以 3 xy? 在 0?x 點(diǎn)不可導(dǎo) ． （ 2）因為 21a rc t a nl i m0 0)/1a rc t a n(l i m2020???? ??? xxxxxx， 所以????????，0001a r c t a n)( 2xxxxxf 在 0?x 點(diǎn)可導(dǎo) ，且 2)0( ???f ，從而也連續(xù) ． （ 3）因為 1)1(1l i m)1(1l i m)1( 211 ????? ?? ???? fxfxf xx ，有 )1()(lim1 fxfx ??， 所以， 2 , 1,(), 1,xxfx xx? ?? ? ?? 在 1?x 點(diǎn) 連續(xù)， 又 2)1(l i m11l i m)1(111l i m)1(1211 ??????????????? ????? xxxfxxfxxx ，由 )1()1( ?? ??? ff ， 所以， 2 , 1,(), 1,xxfx xx? ?? ? ?? 在 1?x 點(diǎn) 不可導(dǎo) ． 10． 設(shè)函數(shù)??? ??? ， ， 1e 1e)( xx xxf x 求 ()f? ． 解： 因為 e1eel i m)1(e1 1el i me1eel i m)1(1111 ??????? ????????? ?????? xxfxxfxxxxx ，所以 ?? )1(f e． 11． 設(shè)函數(shù)??? ?? ?? ， ， 012 0c os)( xx xxxf 求 ()fx? ． 解： 當(dāng) 0?x 時， xxxf s in)( c o s)( ????? ， 當(dāng) 0?x 時， 22l i m)12(1)(2l i m)12()(00 ??????????? ?? hh h xhxxxf， 當(dāng) 0?x 時，由 20 112l i m)0(00 1c osl i m)0(00 _ ???????? ???????? xxfx xfxx ， 于是函數(shù)在 0?x 點(diǎn) 不可導(dǎo)，所以??? ????? .02 0s in)( xxxxf ， ， 習(xí)題 2— 1（ B） 1． 有一非均勻細(xì)桿 AB 長為 20 cm， M 為 AB 上一點(diǎn)，又知 AM 的質(zhì)量與從 A 點(diǎn)到點(diǎn) M 的距離平方成正比，當(dāng) AM 為 2 cm 時質(zhì)量為 8 g，求： (1) AM 為 2 cm 時，這段桿的平均線密度； （ 2）全桿的平均線密度； （ 3）求點(diǎn) M 處的密度． 解： 設(shè) xAM? cm，則 AM 桿的質(zhì)量為 2)( kxxm ? g，由 2?AM 時 , 8?m ，得 2?k ，所以， 22)( xxm ? ， xhxh xhxxmhh 4)24(l i m2)(2l i m)(0220 ????????? g/cm． （ 1） AM 為 2 cm 時，這段桿的平均線密度為 ?? 282 )2(m 4 g/cm． （ 2）全桿的平均線密度為 ?? 2080020 )20(m 40 g/cm． （ 3）點(diǎn) M 處的密度為 ?? )(xm x4 g/cm． 2． 求 ba， 的值，使函數(shù)??? ?? ?? 00e)( xbax xxf x ， ， 在 0?x 點(diǎn)可導(dǎo) ． 解： 首先函數(shù) )(xf 要在 0?x 點(diǎn)連續(xù) ． 而 1elim)0(0 ?? ??? xxf， bbaxfx ??? ??? )(lim)0( 0， bf ?)0( ， 由 )0()0()0( fff ?? ?? ，得 1?b ，此時 1)0( ?f ． 又 11elim)0(0 ??????? xfxx， axaxfx ????????11lim)0(0，由 )0()0( ?? ??? ff 得 1?a ． 所以，當(dāng) 11 ?? ba ， 時， 函數(shù)??? ?? ?? 00e)( xbax xxf x ， ， 在 0?x 點(diǎn)可導(dǎo) ． 3． 討論 函數(shù) xy tan? 在 0?x 點(diǎn)的可導(dǎo)性． 解： 1t a nl i m0t a nl i m)0(00 ????????? ??? xxxxfxx， 1t a nl i m0t a nl i m)0(00 ?????? ??? xxxxfxx 因為 )0()0( ?? ??? ff ，所以函數(shù) xy tan? 在 0?x 點(diǎn)不可導(dǎo) ． 4． 若函數(shù) )(xf 可導(dǎo)，且 )(xf 為偶（奇）函數(shù)，證明 ()fx? 為奇（偶）函數(shù) ． 證明： （ 1）若 )(xf 是偶函數(shù)，有 )()( xfxf ?? ， 因為 )()()(l i m)()(l i m)(00 xfh xfhxfh xfhxfxf hh ???? ??????????? ??， 所以 )(xf? 是奇函數(shù)． （ 2）若 )(xf 是奇函數(shù)，有 )()( xfxf ??? ， 因為 )()()(l i m)()(l i m)(00 xfh xfhxfh xfhxfxf hh ??? ?????????? ??， 所以 )(xf? 是偶函數(shù) ． 5． 設(shè) 非零 函數(shù) )(xf 在區(qū)間 )( ????， 內(nèi)有定義，在 0?x 點(diǎn)可導(dǎo)， )0()0( ??? aaf ，且對任何實數(shù) yx， ，恒有 )()()( yfxfyxf ?? .證明 )()( xafxf ?? ． 證明： 由 )()()( yfxfyxf ?? ，令 0?? yx ，有 )0()0( 2ff ? ，而 0)( ?xf ，得 1)0( ?f ． 因為 h xfhfxfh xfhxfhh )()()(l i m)()(l i m 00 ???? ?? )()0()()0()(l i m)(1)(l i m)(00 xaffxfh fhfxfhhfxf hh ??????? ??， 所以函數(shù) )(xf 可導(dǎo)，且 )()( xafxf ?? ． 6． 求曲線 xxy 1?? 上的水平切線方程 ． 解： h xxhxhxh xyhxyxyhh )/1()]/(1[l i m)()(l i m)( 00 ?????????? ?? 211])( 11[lim xhxxh ?????? ?， 由 0)( ?? xy ，得 ??x ， 當(dāng) 1?x 時， 2?y ，此時 水平切線是 )1(02 ??? xy ，即 2?y ； 當(dāng) 1??x 時， 2??y ，此時 水平切線是 )1(02 ??? xy ，即 2??y ． 7． 在拋物線 21 xy ?? 上求與直線 0??yx 平行的切線方程 ． 解： 對 21 xy ?? ，導(dǎo)函數(shù)為 ： xhxh xhxh xyhxyxy hhh 2)2(l i m)1(])(1[l i m)()(l i m)( 02200 ?????????????? ??? ， 設(shè)切點(diǎn)為 )1( 2tt ?， ，則切線斜率為 ttyk 2)( ???? ，而直線斜率為 11?k ， 根據(jù)已知，有 1kk? ，即 12?? t ，得 2/1??t ，切點(diǎn)為 )4/32/1( ，? ， 切線方程為： )21(143 ???? xy ，即 0544 ??? yx ． 8． 已知曲線 2axy? 與曲線 xy ln? 相切，求公切線方程 ． 解： 設(shè)切點(diǎn)為 ),( 00 yx ，則兩曲線在切點(diǎn)處的斜率分別為 01 2axk ? ， 02 /1 xk ? . 由 兩曲線在 0xx? 時相切，有??? ?? ./12 ln00,020 xax xax 得 2