【正文】 ∴ 點(diǎn) M 為原點(diǎn) O。 ∴ 90PMQ? ? ? 。 綜上所述，當(dāng)點(diǎn) M 為 SR 的中點(diǎn)時(shí)． ? PSM∽ ? MRQ；當(dāng)點(diǎn) M 為原點(diǎn)時(shí)，? PSM∽ ? MRQ． ………………………… (13 分 ) 方法二： 若以 P、 S、 M 為頂點(diǎn)的三角形與以 Q、 M、 R 為頂點(diǎn)的三角形相似， ∵ 90PS M MRQ? ? ? ? ?， ∴ 有 ? PSM∽ ? MRQ 和 ? PSM∽△ QRM 兩種情況。 ∴ 22 12M R bc x bc c Q B R OM S x b B P O Sb bcbc?? ? ? ? ? ??。 ∴ SR＝ 2 bc ∴ M 為 SR 的中點(diǎn) .………………………… (11 分 ) 若使 △ PSM∽△ QRM， 則有2bcx bc x? ?。 若使 △ PSM∽△ MRQ， 則有 2b bc xxc?? 。 ∴ 2 2 2( ) ( )S R b c b c? ? ? ? ∴ 2SR bc? 。 ∴ PN=PS—NS= 21 14a? ………………………… (5 分 ) 在 Rt PNB 中 ． PB＝ 2 2 2 2 2 2 211( 1 ) ( 1 )44P N B N a a a? ? ? ? ? ? ∴ PB＝ PS＝ 21 14a? ………………………… (6 分 ) ② 根據(jù) ① 同理可知 BQ＝ QR。 ……… (1 分 ) 41 根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為 2y ax c??。 設(shè)拋物線的解析式為 2y ax bx c? ? ? ． 其過三點(diǎn) A(0， 1)， C(2． 2)， F(2， 2)。 AB xyO DPEC 38 答案： 解 ：（ 1） AP= 22x （ 2 分） （ 2） PC=BE （ 1 分） 0≤x＜ 10 時(shí) PC=ACAP= 252 2 x? BE= 22 BD= 22 (10x)= 52 （ 4 分） （ 3）當(dāng) 0＜ x＜ 10 時(shí)， 215 2542y x x? ? ? ? （ 3 分） 當(dāng) 10＜ x＜ 20 時(shí)， 52yx? （ 2 分） 于是 A B C D E F G? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B C E F AQ G? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 540B C E F BQ F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?176。 （原創(chuàng)） 圖 1 A B C D E F 30176。在 點(diǎn)P、 D 運(yùn)動(dòng)的過程中，始終滿足 PO=PD，過點(diǎn) O、 D 向 AB 做垂線，垂足分別為點(diǎn) C、 E,設(shè)OD=x (1)AP=(用含 x 的代數(shù)式表示 ) （ 2）在點(diǎn) P、 D 運(yùn)動(dòng)的過程中，線段 PC 與 BE 是否相等？若相等，請(qǐng)給予證明，若不相等，說明理由。OA=OB=10，分別以邊 OA、 OB 所在的直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn) P 自點(diǎn) A 出發(fā)沿線段 AB 勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn) B 停止。 E 是 AB 的中點(diǎn)， AE=BE,∠ FAB=∠ EBC=60176。 ∠ CAB=30176?；?AC∥ OD 或劣弧 BC 的中點(diǎn)其中一條 . 12.（ 2022 北京四中二模）（本題滿分 11 分） 閱讀材料： 如圖 ,在四邊形 ABCD 中，對(duì)角線 AC⊥ BD，垂足為 P. 求證： S 四邊形 ABCD= 1AC ? 證明： AC⊥ BD→1 ,21 .2A CDABCS AC PDS AC BP??? ?????? ???? ∴ S 四邊形 ABCD=S△ ACD+S△ ACB= 11A C PD A C B P22? ? ? = 11A C ( PD PB ) A C B D .22? ? ? 解答問題： （ 1）上述證明得到的性質(zhì)可敘述為 _______________________________________. （ 2）已知：如圖，等腰梯形 ABCD 中， AD∥ BC，對(duì)角線 AC⊥ BD 且相交于點(diǎn)P， AD=3cm,BC=7cm，利用上述的性質(zhì)求梯形的面積 . O A C B 第 11 題圖 第 12 題圖 P A C B D 35 答案：（ 1）敘述： 對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半 . （ 2） S 梯形 =25(cm2). 13．（ 2022 灌南縣新集中學(xué)一模 ）（ 12 分） 在等腰三角形 ABC 中， AB=AC， O 為 AB上一點(diǎn)，以 O 為圓心、 OB 長(zhǎng)為半 徑的圓交 BC 于 D， DE⊥ AC 交 AC 于 E. (1)試判斷 DE與 ⊙ O的位置關(guān)系，并說明理由 . (2)若 ⊙ O與 AC相切于 F， AB=AC=5cm， 53sin ?A ，求 ⊙ O的半徑的長(zhǎng) . 答案：（ 1） DE是 ⊙ O的切線。 綜上所述，當(dāng)點(diǎn) M為 SR的中點(diǎn)時(shí)， ? PSM∽△ MRQ； M 30 當(dāng)點(diǎn) M為原點(diǎn)時(shí)， ? PSM∽△ QRM …………(12 分 ) 6．（ 2022 安徽中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A、 B 分別在 x 軸、 y 軸上，線段 OA、 OB 的長(zhǎng) (0AOB) 是方程 x218x+72=0 的兩個(gè)根，點(diǎn) C 是線段 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) D 在線段 OC 上， OD=2CD． (1)求點(diǎn) C 的坐標(biāo)； (2)求直線 AD 的解析式； (3)P 是直線 AD 上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn) Q，使以 O、 A、 P、 Q 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形 ?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【解】 答案： （ [解 ] (1)OA=6， OB=12 點(diǎn) C 是線段 AB 的中點(diǎn)， OC=AC 作 CE⊥ x 軸于點(diǎn) E． ∴ OE=12OA=3， CE=12OB=6． ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (3， 6) (2)作 DF⊥ x 軸于點(diǎn) F △ OFD∽△ OEC， ODOC=23，于是可求得 OF=2， DF=4． ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (2， 4) 設(shè)直線 AD 的解析式為 y=kx+b． 把 A(6， 0)， D(2， 4)代人得 6024kbkb???? ??? 31 解得 16kb???? ?? ∴ 直線 AD 的解析式為 y=x+6 (3)存在． Q1(3 2， 3 2) Q2(3 2， 3 2) Q3(3， 3) Q4(6， 6) 7．（ 2022 北京四中一模）（本題 9 分） 如圖，在 △ ABC 中，以 AB 為直徑的 ⊙ O 交 BC 于點(diǎn) D，連結(jié) AD，請(qǐng)你添加一個(gè)條件 ， 使 △ ABD≌△ ACD，并說明全等的理由． 你添加的條件是 證明： 答案： 本題答案不唯一，添加的條件可以是 ① AB＝ AC， ②∠ B＝ ∠ C， ③ BD＝ DC（或 D 是 BC 中點(diǎn)）， ④∠ BAD＝ ∠ CAD（或 AD 平分 ∠ BAC）等． 8．（ 2022 北京四中一模） 如圖，在 ΔABC 中， AC＝ 15， BC＝ 18， sinC=45 ， D 是 AC 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至點(diǎn) A， C),過 D 作 DE∥ BC，交 AB 于 E，過 D 作 DF⊥ BC，垂足為 F，連結(jié) BD，設(shè) CD＝ x． （ 1）用含 x 的代數(shù)式分別表示 DF 和 BF； （ 2）如果梯形 EBFD 的面積為 S，求 S 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式； (3）如果 △ BDF 的面積為 S1， △ BDE 的面積為 S2，那么 x 為何值時(shí)， S1＝ 2S2 答案： 32 9．（ 2022 北京四中一模）（本題 14 分） 如圖，已知直線 y＝－ 2x＋ 12 分別與 y 軸， x 軸交于 A， B 兩點(diǎn)，點(diǎn) M 在 y 軸上，以點(diǎn)M 為圓心的 ⊙ M 與直線 AB 相切于點(diǎn) D，連結(jié) MD． （ 1）求證： △ ADM∽△ AOB； （ 2） 如果 ⊙ M 的半徑為 2 5 ，請(qǐng)求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)，并寫出以 5 29( , )22? 為頂點(diǎn)．且過點(diǎn) M 的拋物線的解析式； （ 3）在（ 2）的條件下，試問在此拋物線上是否存在點(diǎn) P，使得以 P， A， M 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與 △ AOB 相似？如果存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由． 第 24 題圖 第 25 題圖 33 10.（ 2022 北京四中二模）（本題滿分 6 分）如圖 ,有一塊三角形土地，它的底邊 BC=100米，高 AH=80 米，某單位要沿著地邊 BC 修一 座底面是矩形 DEFG 的大樓， D、 G 分別在邊 AB、 AC 上 .若大樓的寬是 40 米，求這個(gè)矩形的面積 . 答案： 2022 米 2 D A B C H E G F 第 10 題圖 34 11.（ 2022 北京四中二模）（本題滿分 8 分）如圖，在 ⊙ O 中， AB 是直徑，半徑為 R，弧 AC=3? R. 求：（ 1） ∠ AOC 的度數(shù) .（ 2）若 D 為劣弧 BC 上的一動(dòng)點(diǎn)，且弦 AD 與半徑 OC 交于 E點(diǎn) .試探求 △ AEC≌△ DEO 時(shí)， D 點(diǎn)的位置 . 答案： .(1)∠ AOC=60176。 ………………………… (9 分 ) 取 PQ中點(diǎn)為 N．連結(jié) MN．則 MN＝ 12 PQ= 1()2 QR PS? ． …………………… (10 分 ) ∴ MN為直角梯形 SRQP的中位線 , ∴ 點(diǎn) M為 SR的中點(diǎn) …………………… (11 分 ) 當(dāng) △ PSM∽△ QRM時(shí)， RM QR QBMS PS BP?? 又 RM ROMS OS? ，即 M點(diǎn)與 O點(diǎn)重合。 當(dāng) ? PSM∽ ? MRQ時(shí)． ? SPM＝ ? RMQ， ? SMP＝ ? RQM． 由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)．知 ? PMS+? QMR＝ 90? 。 ∴ PN=PS—NS= 21 14a? ………………………… (5 分 ) 在 Rt△ PNB中 ． PB2＝ 2 2 2 2 2 2 211( 1 ) ( 1 )44P N B N a a a? ? ? ? ? ? ∴ PB＝ PS＝ 21 14a? ………………………… (6 分 ) ② 根據(jù) ① 同理可知 BQ＝ QR。 28 設(shè)拋物線的解析式為 2y ax bx c? ? ? ． 其過三點(diǎn) A(0， 1)， C(2． 2)， F(2， 2)。 4． （ 2022 年 三門峽實(shí)驗(yàn)中學(xué) 3 月模擬 ）如圖，將正方形 ABCD 中的 △ ABD 繞對(duì)稱中心 O 旋轉(zhuǎn)至 △ GEF 的位 置， EF 交 AB 于 M， GF 交 BD 于 N．請(qǐng)猜想 BM 與 FN 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論． 答案： BM=FN 證明：在正方形 ABCD 中， BD 為對(duì)角線， O 為對(duì)稱中心 , ∴ BO=DO ,∠ BDA=∠ DBA=45176。 2 ．（ 2022 年 杭 州 三 月 月 考 ） 已 知 一 個(gè) 直 角 三 角 形 紙 片 OAB ， 其 中90 2 4AOB OA OB? ? ? ?176。BC 的值為 ． 答案： 2 5. （ 2022 湖北省崇陽縣城關(guān) 中學(xué)模擬） 如圖，在半圓 O 中，直徑 AE=10，四邊形 ABCD是平行四邊形，且頂點(diǎn) A、 B、 C 在半圓上，點(diǎn) D 在直徑 AE 上，連接 CE，若 AD=8，則CE 長(zhǎng)為 ．答案： 10 O C B A 第 1 題 圖 24 三、解答題 1．（ 2022 年重慶江津區(qū)七校聯(lián)考）已知ａ、ｂ、ｃ分別是 △ ABC 的三邊，其中ａ＝ 1，ｃ＝ 4，且關(guān)于 x 的方程 042 ??? bxx 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷 △ ABC 的形狀。經(jīng)過點(diǎn) C 的 “蛋圓 ”的切線的解析式為 __________________。 A． 94 ?? B． 984 ?? C． 948 ?? D． 988 ?? 答案： B 二 、 填空題 1． （ 2022