【正文】 ………………………… (9 分 ) 取 PQ 中點(diǎn)為 N．連結(jié) MN．則 MN＝ 12 PQ= 1()2 QR PS? ． …… ……… (10 分 ) ∴ MN 為直角梯形 SRQP 的中位線 , ∴ 點(diǎn) M 為 SR 的中點(diǎn) …………………… (11 分 ) 當(dāng) △ PSM∽△ QRM 時(shí)， RM QR QBMS PS BP?? 又 RM ROMS OS? ，即 M 點(diǎn)與 O 點(diǎn)重合。 ∴ M 點(diǎn)即為原點(diǎn) O。 即 2 20x bc x bc? ? ? ∴ 12x x bc?? 。 ∴ 12??? ， 又 ∵ 13??? ， ∴ 23??? ， 同理 ? SBP＝ 5? ………………………… (7 分 ) 42 ∴ 2 5 2 3 18 0? ? ? ? ? ∴ 5 3 90? ?? ? ? ∴ 90SBR? ? ? . ∴ △ SBR 為直角三角形． ………………………… (8 分 ) ③ 方法一： 設(shè) ,PS b QR c??， ∵ 由 ① 知 PS＝ PB＝ b． QR QB c??， PQ b c?? 。 得 12 4 22 4 2xa b ca b c???? ? ???? ? ?? 解這個(gè)方程組，得 1 , 0, 14a b c? ? ? ∴ 此拋物線的解析式為 21 14yx?? ………… (3 分 ) 方法二： ∵ B 點(diǎn)坐標(biāo)為 (0． 2)， ∴ OB＝ 2， ∵ 矩形 CDEF 面積為 8， ∴ CF=4. ∴ C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (一 2， 2)。 圖 2 A B C D K H 30176。同時(shí)點(diǎn) D 自原點(diǎn) O 出發(fā)沿 x 軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)。, △ ABD是等邊三角形， E 是 AB的中點(diǎn)，連結(jié) CE 并延長(zhǎng)交 AD 于 F. （ 1）求證： ① △ AEF≌△ BEC； ② 四邊形 BCFD 是平行四邊形； 37 （ 2）如圖 2，將四邊形 ACBD 折疊 ,使 D 與 C 重合， HK 為折痕，求 sin∠ ACH 的值 . 答案：（ 1）求證： ① △ AEF≌△ BEC； ∠ ABC=90176。 (2)D 的位置，只要滿(mǎn)足 ∠ DOB=60176。 ∴ 90PMQ? ? ? 。 得 12 4 22 4 2xa b ca b c???? ? ???? ? ?? 解這個(gè)方程 組，得 1 , 0, 14a b c? ? ? ∴ 此拋物線的解析式為 21 14yx?? ………… (3 分 ) (2)解： ① 過(guò)點(diǎn) B作 BN BS? ，垂足為 N． ∵ P點(diǎn)在拋物線 y= 214x 十 l上．可設(shè) P點(diǎn)坐標(biāo)為 21( , 1)4aa? ． ∴ PS＝ 21 14a? ， OB＝ NS＝ 2， BN＝ a 。 ，．如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊 OB 交于點(diǎn) C ，與邊 AB 交于點(diǎn) D ． （ 1）若折疊后使點(diǎn) B 與點(diǎn) A 重合，求點(diǎn) C 的坐標(biāo)； （ 2）若折疊后點(diǎn) B 落在邊 OA 上的點(diǎn)為 B? ，設(shè) OB x?? ， OC y? ，試寫(xiě)出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并確定 y 的取值范圍； （ 3）若折疊后點(diǎn) B 落在邊 OA 上 的點(diǎn)為 B? ，BD OB? ∥ ，求此時(shí)點(diǎn) C 的坐標(biāo)． 且使 答案： 解（ 1）如圖 ① ，折疊后點(diǎn) B 與點(diǎn) A 重合， 則 AC D BC D△ ≌ △ . 設(shè)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 ? ?? ?00mm?， . 則 4BC OB OC m? ? ? ?. x y B O A x y B O A x y B O A x y B O A D C 圖① x y B O B′ D C 圖② x y B O B′ D C 圖③ 25 于是 4AC BC m? ? ?. 在 Rt AOC△ 中，由勾股定理，得 2 2 2AC O C O A??， 即 ? ?2 2242mm? ? ?，解得 32m? . ?點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 302??????， （ 2）如圖 ② ，折疊后點(diǎn) B 落在 OA 邊上的點(diǎn)為 B? , 則 B C D BC D?△ ≌ △ . 由題設(shè) OB x OC y???， ， 則 4B C BC OB OC y? ? ? ? ? ?， 在 Rt BOC?△ 中，由勾股定理，得 2 2 2B C O C O B????. ? ?2 224 y y x? ? ? ?， 即 21 28yx?? ? 由點(diǎn) B? 在邊 OA 上，有 02x≤ ≤ ， ? 解析式 21 28yx?? ? ? ?02x≤ ≤ 為所求 . ? 當(dāng) 02x≤ ≤ 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小， y? 的取值范圍為 3 22 y≤ ≤ . （ 3）如圖 ③ ，折疊后點(diǎn) B 落在 OA 邊上的點(diǎn)為 B?? ，且 B D OB?? ∥ . 則 OC B C B D?? ??? ? ? . 又 C BD C B D OC B C BD?? ??? ? ? ? ? ? ?，有 CB BA??∥ . R t R tC OB BOA??? △ ∽ △. 有 OB OCOA OB?? ? ，得 2OC OB??? . 在 Rt B OC??△ 中， 設(shè) ? ?0 0OB x x?? ??，則 02OC x? . 由（ 2）的結(jié)論，得 2001228xx? ? ?， 解得 0 0 08 4 5 0 8 4 5x x x? ? ? ? ? ? ? ?． ，. 26 ?點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 ? ?0 8 5 16?， . 3． （ 2022 年 三門(mén)峽實(shí)驗(yàn)中學(xué) 3 月模擬 ）已知線段 OA⊥ OB， C 為 OB 上中點(diǎn)， D 為 AO上一點(diǎn)，連 AC、 BD 交于 P 點(diǎn)． （ 1）如圖 1，當(dāng) OA=OB 且 D 為 AO 中點(diǎn)時(shí)，求 PCAP 的值； （ 2）如圖 2，當(dāng) OA=OB， AOAD =41 時(shí)，求 tan∠ BPC； 答案： （ 1）過(guò) C 作 CE∥ OA 交 BD 于 E，則 △ BCE∽△ BOD 得 CE=21 OD=21 AD； 再由 △ ECP∽△ DAP 得 2?? CEADPCAP ； （ 2）過(guò) C 作 CE∥ OA 交 BD 于 E，設(shè) AD=x， AO=OB=4x，則 OD=3x， 由 △ BCE∽△ BOD 得 CE=21 OD=23 x， 再由 △ ECP∽△ DAP 得 32?? CEADPEPD ； 由勾股定理可知 BD=5x， DE=25 x， 則 32?? PDDEPD ， 可得 PD=AD=x， 則 ∠ BPC=∠ DPA=∠ A， tan∠ BPC=tan∠ A= 21?AOCO 。（ 08 年益陽(yáng)第 20 題） 答案： y=x22x3, y=2x3 4．（ 2022 年深圳二模）如圖， M 為雙曲線 y＝ x1 上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Ｍ作ｘ軸、ｙ軸的垂線，分別交直線ｙ＝－ｘ＋m 于 D、 C 兩點(diǎn)，若直線ｙ＝－ｘ＋ m 與ｙ軸交于點(diǎn)Ａ，與ｘ軸相交于點(diǎn) B．則 AD則圖中陰影部分的面積是（ ）。 答案：解：（ 1） C（４，１）、 D（ 3，４）、 P（ 2， 2） （ 2）當(dāng) ∠ MDR＝ 45０ 時(shí)，ｔ＝ 2,點(diǎn)Ｈ（ 2， 0） ……………2 分 當(dāng) ∠ DRM＝ 45０ 時(shí)，ｔ＝ 3,點(diǎn)Ｈ（ 3， 0） …… ………2 分 （３）Ｓ＝－ 12 ｔ 2＋２ｔ（０＜ｔ ≤４） ……… 1 分 Ｓ＝ 12 ｔ 2－２ｔ（ｔ＞４） ……… 1 分 當(dāng)ＣＲ ∥ ＡＢ時(shí)，ｔ＝ 134 ， Ｓ＝ 3932 ……… 1 分 當(dāng)ＡＲ ∥ ＢＣ時(shí)，ｔ＝ 92 ， Ｓ＝ 98 ……… 1 分 當(dāng)ＢＲ ∥ ＡＣ時(shí)，ｔ＝ 13 ， Ｓ＝ 1118 ……… 1 分 第 2 題圖 C O A B D N M P x y 19 （ 2022 年浙江杭州二模）已知正比例函數(shù) xay )3(1 ?? （ a＜ 0）與反比例函數(shù)xay 32 ?? 的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，其中一個(gè)公共點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 4． （ 1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式； （ 2）在坐標(biāo)系中畫(huà)出它們的圖象（可不列表）； （ 3）利用圖像直接寫(xiě)出 當(dāng) x 取何值時(shí)， 21 yy ? ． 答案： （ 1） ∵ 交點(diǎn)縱坐標(biāo)為 4， ∴??? ?? ?? xa xa 43 4)3(，解得 5,5 21 ??? aa （舍去） ∴ 正比例函數(shù)： xy 2?? 反比例函數(shù)： xy 8?? （ 2） （ 3）當(dāng) 202 ???? xx 或 時(shí)， 21 yy ? （ 2022 年浙江杭州二模） 如圖 1，點(diǎn) P、 Q 分別是邊長(zhǎng)為 4cm 的等邊 ?ABC 邊 AB、BC 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P 從頂點(diǎn) A，點(diǎn) Q 從頂點(diǎn) B 同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為 1cm/s， （ 1）連接 AQ、 CP 交于點(diǎn) M，則在 P、 Q 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中， ∠ CMQ 變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)； （ 2）何時(shí) ?PBQ 是直角三角形？ （ 3）如圖 2，若點(diǎn) P、 Q 在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線 AB、 BC 上運(yùn)動(dòng)，直線 AQ、CP 交點(diǎn)為 M，則 ∠ CMQ 變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)； 2 4 4 2 （ 2， 4） （ 2， 4） …… 2′ …… 2′ …… 2′ A P B Q C M 第 22 題圖 1 A P B Q C M 第 22 題圖 2 20 答案： （ 1） 060??CMQ 不變。A 距離 B 602 m。AC∴ AC=AB2AD ∵ AD、 AB 的長(zhǎng)是方程 x2－ 10x+24=0 的兩個(gè)根 ∴ 解方程 x2－ 10x+24=0 得： x1=4 x2=6 ∵ ADAB ∴ AD=4 AB=6 ∴ AC=9 在 Rt△ ABC 中 ， AB=6 AC=9 ∴ BC= AC2AB2 = 8136 =3 5 8. （ 2022 年北京四中中考全真模擬 17）已知：如圖 9，等腰梯形 ABCD 的邊 BC 在 x軸上，點(diǎn) A 在 y 軸的正方向上， A( 0, 6 )， D ( 4， 6），且 AB＝ 210 . （ 1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)； （ 2）求經(jīng)過(guò) A、 B、 D 三點(diǎn)的拋物線的解析式； （ 3）在（ 2）中所求的拋物線上是否存在一點(diǎn) P，使得 S△ ABC = 12 S 梯形 ABCD ?若存在，請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理 由 . 17 答案：（ 1）在 RtΔABC 中， ， 又因?yàn)辄c(diǎn) B 在 x 軸的負(fù)半軸上，所以 B（－ 2， 0） （ 2）設(shè)過(guò) A， B， D 三點(diǎn)的拋物線的解析式為 ， 將 A（ 0， 6）， B（－ 2， 0）， D（ 4， 6）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 616 4 64 2 0ca b ca b c???? ? ???? ? ?? 解得 1226abc???? 所以 21 262y x x? ? ? ? （ 3）略 （ 2022 年浙江杭州三模） 如圖是杭州蕭山少兒公園局部景點(diǎn)示意圖。 答案： 解：（ 1） DE 與半圓 O 相切 . 證明： 連結(jié) OD、 BD 16 ∵ AB 是半圓 O 的直徑 ∴∠ BDA=∠ BDC=90176。 OA=3cm，OB=4cm，以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè) P、 Q 分 別為 AB、 OB 邊上的動(dòng)點(diǎn)它們同時(shí)分別從點(diǎn) A、 O 向 B 點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為 1cm/秒，設(shè) P、 Q 移動(dòng)時(shí)間為 t（ 0≤t≤4） （ 1）過(guò)點(diǎn) P 做 PM⊥ OA 于 M，求證： AM： AO=PM： BO=AP： AB，并求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)（用 t 表示） （ 2）求 △ OPQ 面積 S（ cm2），與運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng) t 為何值時(shí)， 14 S 有最大值？最大是