【正文】 =AC， O 為 AB上一點，以 O 為圓心、 OB 長為半 徑的圓交 BC 于 D， DE⊥ AC 交 AC 于 E. (1)試判斷 DE與 ⊙ O的位置關系，并說明理由 . (2)若 ⊙ O與 AC相切于 F， AB=AC=5cm， 53sin ?A ，求 ⊙ O的半徑的長 . 答案：（ 1） DE是 ⊙ O的切線。 證明 :連接 OD， ∵ OB=OD ， ∴∠ B=∠ ODB ∵ AB=AC ， ∴∠ B=∠ C ∴∠ ODB=∠ C ∴ OD∥ AC 又 DE⊥ AC ∴ DE⊥ OD ∴ DE 是 ⊙ O 的切線 （ 2）解：如圖， ⊙ O 與 AC 相切于 F 點，連接 OF， 則： OF⊥ AC， 在 Rt△ OAF 中， sinA= 53?OAOF ∴ OA= OF35 又 AB=OA+OB=5 ∴ 535 ?? OFOF ∴ OF= 815 cm D P B C A FEDOCBA 36 14．（ 2022 灌南縣新集中學一模 ）（ 12 分）足球比賽中，某運動 員將在地面上的足球對著球門踢出，圖 13 中的拋物線是足球的飛行高度 y(m)關于 飛行時間 x(s)的函數圖象 (不考慮空氣的阻力 )，已知足球飛出 1s 時，足球的飛行高度是 ，足球從飛出到落地共用 3s． ⑴ 求 y 關于 x 的函數關系式； ⑵ 足球的飛行高度能否達到 米？請說明理由； ⑶ 假設沒有攔擋，足球將擦著球門左上角射入球門，球門的高為 (如圖 14 所示，足球的大小忽略不計 )．如果為了能及時將足球撲出，那么足球被踢出時，離球門左邊框 12m處的守門員至少要以多大的平均速度到球門的左邊框？ 圖 14312 . 44x / sy / mO圖 13 答案：解：（ 1）設 y 關于 x 的函數關系式為 bxaxy ?? 2 ． 依題可知：當 1?x 時， ?y ；當 3?x 時， 0?y ． ∴??? ???? 039 ba， ∴??? ??? ， ∴ xxy 2 ??? ． （ 2）不能．理由： ∵ ?y ， ∴ xx 2 ??? ， ∴ 0432 ??? xx ． ∵ 044)3( 2 ???? ， ∴ 方程 xx 2 ??? 無解． ∴ 足球的飛行高度不能達到 ． （ 3） ∵ ?y ， ∴ xx 2 ??? ， ∴ 0232 ??? xx ， ∴ 11?x （不合題意，舍去）， 22?x ∴ 平均速度至少為 6212? （ m/s）． 15.（ 2022 浙江杭州義蓬一模 ）圖 1,在 △ A BC 中， ∠ ACB=90176。， ∠ CAB=30176。, △ ABD是等邊三角形， E 是 AB的中點，連結 CE 并延長交 AD 于 F. （ 1）求證： ① △ AEF≌△ BEC； ② 四邊形 BCFD 是平行四邊形； 37 （ 2）如圖 2，將四邊形 ACBD 折疊 ,使 D 與 C 重合， HK 為折痕，求 sin∠ ACH 的值 . 答案：（ 1）求證： ① △ AEF≌△ BEC； ∠ ABC=90176。， E 是 AB 的中點， AE=BE,∠ FAB=∠ EBC=60176。， ∠ FEB=∠ BEC 所以 △ AEF≌△ BEC； ② 四邊形 BCFD 是平行四邊形； 可得 DF∥ BC,FC∥ DB,或 DF∥ BC，且 DF=BC 均可 （ 2）設 BC=1，則 AC= 3 ,AD=AB=2 設 DH=x,由折疊得 DH=CH=x,(2x)2 +3=x2 X=47 所以 Sin∠ ACH=71 16. （ 2022 浙江杭州育才初中模擬 ）（本小題滿分 12 分）在 △ ABC 中， ∠ AOB=90176。，OA=OB=10，分別以邊 OA、 OB 所在的直線為坐標軸建立平面直角坐標系，點 P 自點 A 出發(fā)沿線段 AB 勻速運動至點 B 停止。同時點 D 自原點 O 出發(fā)沿 x 軸正方向勻速運動。在 點P、 D 運動的過程中，始終滿足 PO=PD，過點 O、 D 向 AB 做垂線，垂足分別為點 C、 E,設OD=x (1)AP=(用含 x 的代數式表示 ) （ 2）在點 P、 D 運動的過程中，線段 PC 與 BE 是否相等？若相等，請給予證明，若不相等，說明理由。 （ 3）設以點 P、 O、 D、 E 為頂點的四邊形面積為 y，請直接寫出 y 與 x 的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍。 （原創(chuàng)） 圖 1 A B C D E F 30176。 圖 2 A B C D K H 30176。 AB xyO DPEC 38 答案： 解 ：（ 1） AP= 22x （ 2 分） （ 2） PC=BE （ 1 分） 0≤x＜ 10 時 PC=ACAP= 252 2 x? BE= 22 BD= 22 (10x)= 52 （ 4 分） （ 3）當 0＜ x＜ 10 時， 215 2542y x x? ? ? ? （ 3 分） 當 10＜ x＜ 20 時， 52yx? （ 2 分） 于是 A B C D E F G? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B C E F AQ G? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 540B C E F BQ F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?176。 17. （ 2022 深圳市中考模擬五）如圖，拋物線ｙ＝ｘ 2 － 4ｘ－ 1 頂點為 D，與ｘ軸相交于 A、 B 兩點，與ｙ軸相交于點 C． （１）求這條拋物線的頂點 D 的坐標； （２）經過點（ 0， 4）且與ｘ軸平行的直線與拋物線ｙ＝ｘ 2 － 4ｘ－ 1 相交于 M、 N 兩點（Ｍ在 N 的左側），以 MN 為直徑作 ⊙ P，過點 D 作 ⊙ P 的切線，切點為 E，求點 DE 的長； （３）上下平移（２）中的直線 MN，以 MN 為直徑的 ⊙ Ｐ能否與ｘ軸 相切？如果能夠，求出 ⊙ Ｐ的半徑；如果不能，請說明理由． 答案：（１）ｙ＝ｘ 2 － 4ｘ－ 1 ＝ｘ 2 － 4ｘ＋ 4－ 5 39 ＝（ｘ－ 2） 2 － 5 ∴ 點 D 的坐標為（ 2，－ 5） …………………3 分 （２）當ｙ＝ 4 時，ｘ 2 － 4ｘ－ 1＝ 5 解得ｘ＝－ 1 或ｘ＝ 5 ∴ M 坐標為（－ 1， 4），點 N 坐標為（ 5， 4） ∴ MN＝ 6．Ｐ的半徑為 3，點 P 的 坐標為（ 2， 4） 連接 PE，則 PE⊥ DE ∵ PD＝ 9， PE＝ 3 根據勾股定理得 DE＝ 6 2 …………………8 分 （３）能夠相切，設 ⊙ P 的半徑為ｒ，根據拋物線的對稱性，拋物線過點（ 2＋ｒ，ｒ）或（ 2＋ｒ，－ｒ） 代入拋物線解析式，求得ｒ＝ 2 121? 或ｒ＝ 2 121? …………………14 分 18. （ 2022 深圳市全真中考模擬一） 如圖 1，已知拋物線的頂點為 A(O， 1)，矩形 CDEF的頂點 C、 F 在 拋物線上， D、 E 在 x 軸上， CF 交 y 軸于點 B(0， 2)，且其面積為 8． (1)求此拋物線的解析式； (2)如圖 2，若 P 點為拋物線上不同于 A 的一點，連結 PB 并延長交拋物線于點 Q，過點P、 Q 分別作 x 軸的垂線，垂足分別為 S、 R． ① 求證： PB＝ PS； ② 判斷 △ SBR 的形狀； ③ 試探索在線段 SR 上是否存在點 M，使得以點 P、 S、 M 為頂點的三角形和以點 Q、 R、M 為頂點的三角形相似，若存在，請找出 M 點的位置；若不存在，請說明 理由． 40 答案： ⑴ 解：方法一： ∵ B 點坐標為 (0． 2)， ∴ OB＝ 2， ∵ 矩形 CDEF 面積為 8， ∴ CF=4. ∴ C 點坐標為 (一 2， 2)． F 點坐標為 (2， 2)。 設拋物線的解析式為 2y ax bx c? ? ? ． 其過三點 A(0， 1)， C(2． 2)， F(2， 2)。 得 12 4 22 4 2xa b ca b c???? ? ???? ? ?? 解這個方程組，得 1 , 0, 14a b c? ? ? ∴ 此拋物線的解析式為 21 14yx?? ………… (3 分 ) 方法二： ∵ B 點坐標為 (0． 2)， ∴ OB＝ 2， ∵ 矩形 CDEF 面積為 8， ∴ CF=4. ∴ C 點坐標為 (一 2， 2)。 ……… (1 分 ) 41 根據題意可設拋物線解析式為 2y ax c??。 其過點 A(0， 1)和 C(2． 2) 124c ac??? ???……… 解這個方程組，得 1,14ac?? 此拋物線解析式為 21 14yx?? (2)解： ① 過點 B 作 BN BS? ，垂足為 N． ∵ P 點在拋物線 y= 214x 十 l 上．可設 P 點坐標為 21( , 1)4aa? ． ∴ PS＝ 21 14a? ， OB＝ NS＝ 2， BN＝ a 。 ∴ PN=PS—NS= 21 14a? ………………………… (5 分 ) 在 Rt PNB 中 ． PB＝ 2 2 2 2 2 2 211( 1 ) ( 1 )44P N B N a a a? ? ? ? ? ? ∴ PB＝ PS＝ 21 14a? ………………………… (6 分 ) ② 根據 ① 同理可知 BQ＝ QR。 ∴ 12??? ， 又 ∵ 13??? ， ∴ 23??? ， 同理 ? SBP＝ 5? ………………………… (7 分 ) 42 ∴ 2 5 2 3 18 0? ? ? ? ? ∴ 5 3 90? ?? ? ? ∴ 90SBR? ? ? . ∴ △ SBR 為直角三角形． ………………………… (8 分 ) ③ 方法一： 設 ,PS b QR c??， ∵ 由 ① 知 PS＝ PB＝ b． QR QB c??， PQ b c?? 。 ∴ 2 2 2( ) ( )S R b c b c? ? ? ? ∴ 2SR bc? 。 ………………………… (9 分 ) 假設存在點 M．且 MS＝ x ，別 MR＝ 2 bc x? 。 若使 △ PSM∽△ MRQ， 則有 2b bc xxc?? 。 即 2 20x bc x bc? ? ? ∴ 12x x bc?? 。 ∴ SR＝ 2 bc ∴ M 為 SR 的中點 .………………………… (11 分 ) 若使 △ PSM∽△ QRM， 則有2bcx bc x? ?。 43 ∴ 2b bcx bc? ? 。 ∴ 22 12M R bc x bc c Q B R OM S x b B P O Sb bcbc?? ? ? ? ? ??。 ∴ M 點即為原點 O。 綜上所述，當點 M 為 SR 的中點時． ? PSM∽ ? MRQ；當點 M 為原點時，? PSM∽ ? MRQ． ………………………… (13 分 ) 方法二： 若以 P、 S、 M 為頂點的三角形與以 Q、 M、 R 為頂點的三角形相似， ∵ 90PS M MRQ? ? ? ? ?， ∴ 有 ? PSM∽ ? MRQ 和 ? PSM∽△ QRM 兩種情況。 當 ? PSM∽ ? MRQ 時． ? SPM＝ ? RMQ， ? SMP＝ ? RQM． 由直角三角形兩銳角互余性質．知 ? PMS+? QMR＝ 90? 。 ∴ 90PMQ? ? ? 。 ………………………… (9 分 ) 取 PQ 中點為 N．連結 MN．則 MN＝ 12 PQ= 1()2 QR PS? ． …… ……… (10 分 ) ∴ MN 為直角梯形 SRQP 的中位線 , ∴ 點 M 為 SR 的中點 …………………… (11 分 ) 當 △ PSM∽△ QRM 時， RM QR QBMS PS BP?? 又 RM ROMS OS? ，即 M 點與 O 點重合。 ∴ 點 M 為原點 O。 綜上所述，當點 M 為 SR 的中點時， ? PSM∽△ MRQ；當點 M 為原點時，? PSM∽△ QRM………………