【正文】 B C B D?? ??? ? ? . 又 C BD C B D OC B C BD?? ??? ? ? ? ? ? ?，有 CB BA??∥ . R t R tC OB BOA??? △ ∽ △. 有 OB OCOA OB?? ? ，得 2OC OB??? . 在 Rt B OC??△ 中， 設(shè) ? ?0 0OB x x?? ??，則 02OC x? . 由（ 2）的結(jié)論，得 2001228xx? ? ?， 解得 0 0 08 4 5 0 8 4 5x x x? ? ? ? ? ? ? ?． ，. 26 ?點 C 的坐標為 ? ?0 8 5 16?， . 3． （ 2022 年 三門峽實驗中學 3 月模擬 ）已知線段 OA⊥ OB， C 為 OB 上中點， D 為 AO上一點，連 AC、 BD 交于 P 點． （ 1）如圖 1，當 OA=OB 且 D 為 AO 中點時，求 PCAP 的值； （ 2）如圖 2，當 OA=OB， AOAD =41 時，求 tan∠ BPC； 答案： （ 1）過 C 作 CE∥ OA 交 BD 于 E，則 △ BCE∽△ BOD 得 CE=21 OD=21 AD； 再由 △ ECP∽△ DAP 得 2?? CEADPCAP ； （ 2）過 C 作 CE∥ OA 交 BD 于 E，設(shè) AD=x， AO=OB=4x，則 OD=3x， 由 △ BCE∽△ BOD 得 CE=21 OD=23 x， 再由 △ ECP∽△ DAP 得 32?? CEADPEPD ； 由勾股定理可知 BD=5x， DE=25 x， 則 32?? PDDEPD ， 可得 PD=AD=x， 則 ∠ BPC=∠ DPA=∠ A， tan∠ BPC=tan∠ A= 21?AOCO 。 4． （ 2022 年 三門峽實驗中學 3 月模擬 ）如圖，將正方形 ABCD 中的 △ ABD 繞對稱中心 O 旋轉(zhuǎn)至 △ GEF 的位 置， EF 交 AB 于 M， GF 交 BD 于 N．請猜想 BM 與 FN 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論． 答案： BM=FN 證明：在正方形 ABCD 中， BD 為對角線， O 為對稱中心 , ∴ BO=DO ,∠ BDA=∠ DBA=45176。． ∵△ GEF 為 △ ABD 繞 O 點旋轉(zhuǎn)所得， ∴ FO=DO, ∠ F=∠ BDA DCPOAB圖 1 DCPOAB圖 2 FGED CBA 27 ∴ OB=OF ∠ OBM=∠ OFN 在 △ OMB 和 △ ONF 中 O B M O FNO B O FB O M FO N? ? ??????? ? ?? ∴△ OBM≌△ OFN ∴ BM=FN 5．（ 2022年安徽省巢湖市七中模擬） ．如圖 1，已知拋物線的頂點為 A(O， 1)，矩形 CDEF的頂點 C、 F在拋物線上， D、 E在 x 軸上， CF交 y軸于點 B(0， 2)，且其面積為 8． (1)求此拋物線的解析式； (2)如圖 2，若 P點為拋物線上不同于 A的一點，連結(jié) PB并延長交拋物線于點 Q，過點 P、 Q分別作 x 軸的垂線，垂足分別為 S、 R． ① 求證： PB＝ PS； ② 判斷 △ SBR的形狀； ③ 試探索在線段 SR上是否存在點 M， 使得以點 P、 S、 M為頂點的三角形和以點 Q、 R、M為頂點的三角形相似，若存在，請找出 M點的位置；若不存在，請說明理由． 圖 1 圖 2 答案： ． ⑴ 解： ∵ B點坐標為 (0． 2)， ∴ OB＝ 2， ∵ 矩形 CDEF面積為 8， ∴ CF=4. ∴ C點坐標為 (一 2， 2)． F點坐標為 (2， 2)。 28 設(shè)拋物線的解析式為 2y ax bx c? ? ? ． 其過三點 A(0， 1)， C(2． 2)， F(2， 2)。 得 12 4 22 4 2xa b ca b c???? ? ???? ? ?? 解這個方程 組，得 1 , 0, 14a b c? ? ? ∴ 此拋物線的解析式為 21 14yx?? ………… (3 分 ) (2)解： ① 過點 B作 BN BS? ，垂足為 N． ∵ P點在拋物線 y= 214x 十 l上．可設(shè) P點坐標為 21( , 1)4aa? ． ∴ PS＝ 21 14a? ， OB＝ NS＝ 2， BN＝ a 。 ∴ PN=PS—NS= 21 14a? ………………………… (5 分 ) 在 Rt△ PNB中 ． PB2＝ 2 2 2 2 2 2 211( 1 ) ( 1 )44P N B N a a a? ? ? ? ? ? ∴ PB＝ PS＝ 21 14a? ………………………… (6 分 ) ② 根據(jù) ① 同理可知 BQ＝ QR。 ∴ 12??? ， 又 ∵ 13??? ， ∴ 23??? ， c 29 同理 ? SBP＝ 5? ………………………… (7分 ) ∴ 2 5 2 3 18 0? ? ? ? ? ∴ 5 3 90? ?? ? ? ∴ 90SBR? ? ? . ∴ △ SBR為直角三角形． ………………………… (8 分 ) ③ 若以 P、 S、 M為頂點的三角形與 以 Q、 M、 R為頂點的三角形相似， ∵ 90PS M MRQ? ? ? ? ?， ∴ 有 ? PSM∽ ? MRQ和 ? PSM∽△ QRM兩種情況。 當 ? PSM∽ ? MRQ時． ? SPM＝ ? RMQ， ? SMP＝ ? RQM． 由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)．知 ? PMS+? QMR＝ 90? 。 ∴ 90PMQ? ? ? 。 ………………………… (9 分 ) 取 PQ中點為 N．連結(jié) MN．則 MN＝ 12 PQ= 1()2 QR PS? ． …………………… (10 分 ) ∴ MN為直角梯形 SRQP的中位線 , ∴ 點 M為 SR的中點 …………………… (11 分 ) 當 △ PSM∽△ QRM時， RM QR QBMS PS BP?? 又 RM ROMS OS? ，即 M點與 O點重合。 ∴ 點 M為原點 O。 綜上所述，當點 M為 SR的中點時， ? PSM∽△ MRQ； M 30 當點 M為原點時， ? PSM∽△ QRM …………(12 分 ) 6．（ 2022 安徽中考模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點 A、 B 分別在 x 軸、 y 軸上，線段 OA、 OB 的長 (0AOB) 是方程 x218x+72=0 的兩個根，點 C 是線段 AB 的中點，點 D 在線段 OC 上， OD=2CD． (1)求點 C 的坐標； (2)求直線 AD 的解析式； (3)P 是直線 AD 上的點，在平面內(nèi)是否存在點 Q，使以 O、 A、 P、 Q 為頂點的四邊形是菱形 ?若存在，請直接寫出點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由． 【解】 答案： （ [解 ] (1)OA=6， OB=12 點 C 是線段 AB 的中點， OC=AC 作 CE⊥ x 軸于點 E． ∴ OE=12OA=3， CE=12OB=6． ∴ 點 C 的坐標為 (3， 6) (2)作 DF⊥ x 軸于點 F △ OFD∽△ OEC， ODOC=23，于是可求得 OF=2， DF=4． ∴ 點 D 的坐標為 (2， 4) 設(shè)直線 AD 的解析式為 y=kx+b． 把 A(6， 0)， D(2， 4)代人得 6024kbkb???? ??? 31 解得 16kb???? ?? ∴ 直線 AD 的解析式為 y=x+6 (3)存在． Q1(3 2， 3 2) Q2(3 2， 3 2) Q3(3， 3) Q4(6， 6) 7．（ 2022 北京四中一模）（本題 9 分） 如圖，在 △ ABC 中，以 AB 為直徑的 ⊙ O 交 BC 于點 D，連結(jié) AD，請你添加一個條件 ， 使 △ ABD≌△ ACD，并說明全等的理由． 你添加的條件是 證明： 答案： 本題答案不唯一，添加的條件可以是 ① AB＝ AC， ②∠ B＝ ∠ C， ③ BD＝ DC（或 D 是 BC 中點）， ④∠ BAD＝ ∠ CAD（或 AD 平分 ∠ BAC）等． 8．（ 2022 北京四中一模） 如圖，在 ΔABC 中， AC＝ 15， BC＝ 18， sinC=45 ， D 是 AC 上一個動點（不運動至點 A， C),過 D 作 DE∥ BC，交 AB 于 E，過 D 作 DF⊥ BC，垂足為 F，連結(jié) BD，設(shè) CD＝ x． （ 1）用含 x 的代數(shù)式分別表示 DF 和 BF； （ 2）如果梯形 EBFD 的面積為 S，求 S 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式； (3）如果 △ BDF 的面積為 S1， △ BDE 的面積為 S2，那么 x 為何值時， S1＝ 2S2 答案： 32 9．（ 2022 北京四中一模）（本題 14 分） 如圖，已知直線 y＝－ 2x＋ 12 分別與 y 軸， x 軸交于 A， B 兩點，點 M 在 y 軸上，以點M 為圓心的 ⊙ M 與直線 AB 相切于點 D，連結(jié) MD． （ 1）求證： △ ADM∽△ AOB； （ 2） 如果 ⊙ M 的半徑為 2 5 ，請求出點 M 的坐標，并寫出以 5 29( , )22? 為頂點．且過點 M 的拋物線的解析式； （ 3）在（ 2）的條件下，試問在此拋物線上是否存在點 P，使得以 P， A， M 三點為頂點的三角形與 △ AOB 相似？如果存在，請求出所有符合條件的點 P 的坐標；如果不存在，請說明理由． 第 24 題圖 第 25 題圖 33 10.（ 2022 北京四中二模）（本題滿分 6 分）如圖 ,有一塊三角形土地，它的底邊 BC=100米，高 AH=80 米，某單位要沿著地邊 BC 修一 座底面是矩形 DEFG 的大樓， D、 G 分別在邊 AB、 AC 上 .若大樓的寬是 40 米，求這個矩形的面積 . 答案： 2022 米 2 D A B C H E G F 第 10 題圖 34 11.（ 2022 北京四中二模）（本題滿分 8 分）如圖，在 ⊙ O 中， AB 是直徑，半徑為 R，弧 AC=3? R. 求：（ 1） ∠ AOC 的度數(shù) .（ 2）若 D 為劣弧 BC 上的一動點，且弦 AD 與半徑 OC 交于 E點 .試探求 △ AEC≌△ DEO 時， D 點的位置 . 答案： .(1)∠ AOC=60176。 (2)D 的位置，只要滿足 ∠ DOB=60176。，或 AC∥ OD 或劣弧 BC 的中點其中一條 . 12.（ 2022 北京四中二模）（本題滿分 11 分） 閱讀材料： 如圖 ,在四邊形 ABCD 中，對角線 AC⊥ BD，垂足為 P. 求證： S 四邊形 ABCD= 1AC ? 證明： AC⊥ BD→1 ,21 .2A CDABCS AC PDS AC BP??? ?????? ???? ∴ S 四邊形 ABCD=S△ ACD+S△ ACB= 11A C PD A C B P22? ? ? = 11A C ( PD PB ) A C B D .22? ? ? 解答問題： （ 1）上述證明得到的性質(zhì)可敘述為 _______________________________________. （ 2）已知：如圖，等腰梯形 ABCD 中， AD∥ BC，對角線 AC⊥ BD 且相交于點P， AD=3cm,BC=7cm，利用上述的性質(zhì)求梯形的面積 . O A C B 第 11 題圖 第 12 題圖 P A C B D 35 答案：（ 1）敘述： 對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半 . （ 2） S 梯形 =25(cm2). 13．（ 2022 灌南縣新集中學一模 ）（ 12 分） 在等腰三角形 ABC 中， AB