【正文】 (5分 ) （ 2）設(shè) 2 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )p x a x a x a x? ? ?? ? ?，則 35 0000 0 0 01111 1 1 12222 2 2 2( ( ) , ) 16( ( ) , ( ) ) 5( ( ) , ) 4( ( ) , ( ) ) 5( ( ) , ) 1( ( ) , ( ) ) 7TTTTTTx y Yaxxx y Yaxxx y Yaxx??????????? ? ????? ? ????? ? ??? 22 1 6 4 1( ) ( 2 )5 5 7p x x x? ? ? ? ? (5 分 ) 2 2 2 2 20 0 0 1 1 1 2。 (2分 ) 四、 解： （ 1） 首先構(gòu)造 構(gòu)造關(guān)于點(diǎn)集 和權(quán) 的首一正交多項(xiàng)式 .2,1,0),( ?ixi? 顯然 1)(0 ?x? ，設(shè) axx ??)(1? ， 2122 )( bxbxx ???? 則121220 1 212124212111,11114212bbabbababbabba???? ??? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?? 由 0 1 1 0( ( ) , ( ) ) 0Txx?? ? ? ? ? 得 a=0，故有 xx ?)(1? 。39。 數(shù)值分析 試卷 A 答案 三、 填空題 (每空 2分，共 20分 ) （ 1） 5 （ 2） （ 3） 4 （ 4） 1/4 （ 5） 2 （ 6） 2()Oh （ 7） ( 1)nx? （ 8） 20 ( ) ( 0 .4 2 2 6 ) ( 1 .5 7 7 4 )f x d x f f??? （ 9） 2 （ 10） 解上三角形方程組 二、 (15分 ) (1)建立如下差商表 ()031 6 32 10 4 1 2iix f x 一 差 商 二 差 商 三 差 商 ()162 1 0 43 1 2 2 1iix f x 一 差商 二 差商 （ 4 分 ） 22( ) 3 3 1 2 ( 1 )( 1 . 2 ) 3 3 . 6 0 . 1 2 6 . 7 2 ( 4N x x x xN ? ? ? ?? ? ? ? 分 ) 22( ) 6 4 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )( 1 . 2 ) 6 0 . 8 + 0 .1 6 6 . 9 6 ( 3N x x x xN? ? ? ? ?? ? ? 分） 22222( 1 .2 ) ( 1 .2 ) 1 .2 0 1 .2 1 1 .2 21 .2 1 1 .2 2 1 .2 3( 1 .2 ) ( 1 .2 )1 .2( 1 .2 ) ( 1 .2 ) ( ( 1 .2 ) ( 1 .2 ) ) 0 .0 9 63fNfNR f N N N? ??????? ? ? ? ?（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ） (4分 ) 34 三、解：令公式對(duì) 23( ) 1, , ,f x x x x? 都準(zhǔn)確成立，則有 010 0 11111112122134aaa b babab????? ? ? ????????? ???? (4分 ) 解之可得0 1 0 111。 七、 (15分 )已知矛盾方程組 Ax=b， 其中 1 1 12 0 , 12 1 1Ab?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， （ 1）用 Householder 方法求矩陣 A 的正交分解，即 A=QR。 六、 (10分 ) （ 1） 證明對(duì)任何初值 0xR? ，由迭代公式 1 c o s , 0 , 1 , 2 , .. .kkx x k? ?? 所產(chǎn)生的序列 ? ?0k kx ??都收斂于方程 cosxx? 的根。0 1 0 10 ( ) [ ( 0 ) ( ) ] [ ( 0 ) ( ) ]h f x d x h a f a f h h b f b f h? ? ? ?? 四 、 （ 15 分） 已知數(shù)據(jù)表如下 ， 2 1 0 1 22 2 3 4 51 1 1 1 1iiixyw?? （ 1）構(gòu)造關(guān)于點(diǎn)集和權(quán)的正交函數(shù)組 0 1 2{ ( ), ( ), ( )}? ? ?x x x （ 2）利用 0 1 2{ ( ), ( ), ( )}? ? ?x x x擬合已知數(shù)據(jù)點(diǎn)， 并求最小二乘擬合誤差 2? 。 2 39。 end 二 、 (15分 ) 已知函數(shù)值表 0 1 2 3( ) 3 6 1 0 1 2i ixfx??? （ 1） 用 0 1 2,x x x 構(gòu)造二次 Newton 插值多項(xiàng)式 2()Nx，計(jì)算當(dāng) ? 時(shí) ()fx的近似值； （ 2） 用事后誤差估計(jì)方法估計(jì) 2()N 的誤差。 X(n)=b(n)/A(n,n)。 (10) 下面 Matlab程序所求解的數(shù)學(xué)問題是 。 (8) 利用兩點(diǎn) Gauss 求積公式 11 ( ) ( 0 . 5 7 7 4 ) ( 0 . 5 7 7 4 )f x d x f f? ? ? ??， 則20 ()f x dx ?? 。( ) iii f x h f x hfx h? ? ??的截?cái)嗾`差為 。 (5) 設(shè) 1032A ????????,則 ()A? = 。 (3) 設(shè) 8 4 2( ) 4 3 2 1f x x x x? ? ? ?則差商 0 1 8[ 2 , 2 , , 2 ] ___ ___ ___f ?。 ( ) ( ) 1( ( ) ) ( )( ) ( )1 ( ( ) ) ( ) 02520 10nr nrx e xe f x f x e x nxe f x e xf x f x n xxe f x e xnx? ? ? ?? ? ?? 七、 (10分 ) 30 ( 1 , 1 , 2 ) , ( 2, 0, 0 ) , ( 3, 1 , 2 )2112 2 29 3 3 212 2512 1 3 1 22 6 6121 3 2 2 222 22 6 32112 1 2 2 2 22 2 251033 2 6 61 2200 23 2 6 3T T TTTx y u x yuuHIuuHA R Q H? ? ? ? ? ???? ? ???????????? ? ? ? ? ? ????????????????????????? ? ??????????? ?? ? ? ? ? ? ?????? ????????????? 31 中國石油大學(xué)（北京） 20222022 學(xué)年第一學(xué)期 研究生期末考試試題 A (閉卷考試 ) 課程名稱：數(shù)值分析 注：計(jì)算題取小數(shù)點(diǎn)后四位 題號(hào) 一 二 三 四 五 六 七 總分 得分 一、 填空題 (每空 2分，共 20分 ) (1) 設(shè) ? 為真值 ? 的近似，則 x 有 位有效數(shù)字。 Jacobi迭代格式( 1 ) ( ) ( )1 2 3( 1 ) ( ) ( )2 1 3( 1 ) ( ) ( )3 1 2( 6 2 ) / 9( 8 ) / 8( 8 ) / 8k k kk k kk k kx x xx x xx x x???? ? ? ??? ? ???? ? ? ??迭代矩陣210 991108811 088JB??????????? 7. ( ) 1B? ? 8．解上三角形方程組 Ax=b 二、 (15分 )(1) 4411 4 41 0 1 .0 0 0 1 1 01 0 1 0( ) 2 .0 0 0 1 ( 2 .0 0 0 1 1 0 ) 4 1 0Ac o nd A A A??? ? ?????? ?????? ? ? ? ? ? (2) ? ?11Txx?? ? (3) ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 , 0 .0 0 0 1 0( ) 1 1 2 0 1 1TTT T Tbbx x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? %bb ??? ? 和 50%xx ??? ? 雖然方程組右端項(xiàng)擾動(dòng)的相對(duì)誤差僅為 %，然而此小擾動(dòng)引起解的相對(duì)誤差卻高達(dá)50%，這是由于 ” 系數(shù)矩陣的條件數(shù)比較大 ,方程組是病態(tài)的 ”, 從而導(dǎo)致上述結(jié)果 . 三、 (15分 ) 212( ) 1 , ( )x x x???? 28 222122210( 2 )11( 1 ), , ,120111102Y???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 22221585 10 4 35,10 34 2 3758 3( ) 2 635 7( , ) ( , ) ( , )58 36 4 2 635 7aabbs x x xY Y a Y b Y???? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 四、 (15分 )(1)建立如下差商表 ()1 2 3 54 iix f x???一階差商 二階差商 22( ) 1 . 1 1 . 5 ( 1 ) 0 . 6 5 ( 1 ) ( 2 )( 0 . 2 6 ) 1 . 1 1 . 5 0 . 7 4 0 . 6 5 0 . 7 4 1 . 7 4 0 . 8 4 6 9 4N x x x xN ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?22( ) 2 . 6 0 . 2 ( 2 ) 0 . 7 ( 2 ) ( 3 )( 0 . 2 6 ) 2 . 6 0 . 2 1 . 7 4 0 . 7 1 . 7 4 2 . 7 4 1 . 0 8 5 2 3N x x x xN? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? (2) 22 2 20 .2 6 1( 0 .2 6 ) ( 0 .2 6 ) ( ( 0 .2 6 ) ( 0 .2 6 ) )140 .2 6 1 ( 0 .8 4 6 9 4 1 .0 8 5 3 2 ) 0 .0 5 8 814R f N N N?? ? ? ???? ? ? ?? 2 2 220 .2 6 4( 0 .2 6 ) ( 0 .2 6 ) ( ( 0 .2 6 ) ( 0 .2 6 ) )140 .2 6 4 ( 0 .8 4 6 9 4 1 .0 8 5 3 2 ) 0 .2 9 7 214R f N N N?? ? ? ???? ? ? ?? 29 五、 (15分 ) (1)由首 1 正交多項(xiàng)式的構(gòu)造公式，可得 0( ) 1x? ? ， 01000( , ( ) )( ) ( )( ( ) , ( ) )xxx x xxx??????? 1 1 1 20 0 01001100011l n 1 , l n , l n49ln( , ( ) ) 1 / 4 1 1, ( )( ( ) , ( ) ) 1 4 4lnxdx x