[工學(xué)]數(shù)值分析_考博必考課程_研一考試復(fù)習(xí)專用(參考版)
2024-10-22 00:00本頁面
【正文】 bA 22 ?第一次消元后得增廣矩陣 第二步 ， 依次進(jìn)行下去，經(jīng)過 n1 步選主元與消元，就得到一個(gè)與原方程等價(jià)的三角形方程組，再進(jìn)行回代求解。 行主元素消去法： 列主元素消去法： 在方程組的系數(shù)矩陣的 所有元素 中，選擇絕對(duì)值最大的元素作為主元素的消去法。 按選取主元素的方法不同，主元素消去法可分為以下幾種： 在每次消元前，應(yīng)選取絕對(duì)值盡可能大的元素作為約化 主元素， 26 完全主元素消去法： 在方程組的系數(shù)矩陣的某一 行 中，選擇絕對(duì)值最大的元素作為主元素的消去法。 但若其絕對(duì)值相對(duì)較小 (此時(shí)稱 為 小主元 ), ? ?kkka24 例 2 解方程組 ???????232120210102121xxxx.用順序消元法解 (用具有舍入的 4位浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行計(jì)算 )， ????????00 0200 0300 0200 0100 0200 00 10 000......第一次消元 1212 rlr ????????????? 55 1000 021000 04000 0100 0200 00 10 000.....消元過程： ?????? ? 回代求解：得 0 0 005 0 0 0012 .x,.x ??顯然答案是錯(cuò)誤的， 0 0 0 0 1 0 0 0011 .a ?作除數(shù)，從而帶入了大的誤差。,2,1( 0 ,0 , ,0 ,0 , )()1()1(2)1(1)1(2)1(22)1(21)1(1)1(12)1(11)1(22)1(21)1(12)1(112)1(111)1(反之為真則即子式均不為零階順序主的第一階至第階矩陣若定理nkkiaaaaaaaaaaaaaaakAAniiikkkkkkk???????????????????????16 .0,0 ,0,0,0,0 , ,0 ,0 , , 1 . ,0 , 1 . )(,)1(1,1)2(22)1(11121)1(111???????????????????????kkkkkkkkaaaakakk只需證即成立假設(shè)命題對(duì)顯然成立命題因?yàn)闀r(shí)當(dāng)采用歸納法對(duì)證明????????????????????????????)()()()()2(2)2(2)2(22)1(1)1(1)1(12)1(11)()()()(, 1 G a u s s , )1,2,1( 0 knnknkkknkkknknkkkkiiiaaaaaaaaaaaAbXAkkia????????????其中將原方程組化為步至少可進(jìn)行消元法則由歸納假設(shè)17 .0,0),1,2,1( 0 . .,)()()()2(22)1(11??????????kkkkiiikkkkakiaaaa ???故的值此變換不改變行列式初等變換由于消元時(shí)用的是行的. G a u s s , ., G a u s s , , 消元法求出方程組的解可直接用對(duì)稱正定時(shí)的系數(shù)矩陣若惟一解最后解出方程組的消元法能進(jìn)行到底則為零階順序主子式均不的各如果矩陣?yán)么硕ɡ砜芍狝bAxA?18 注 由上面公式可得，整個(gè)高斯消元法的消元過程中， 乘法運(yùn)算次數(shù)為： 除法運(yùn)算次數(shù)為： 回代過程中，乘法運(yùn)算次數(shù)為： ? ? ? ? ? ?nnknkns nknk?????? ??????3112111 31? ? ? ?121112 ???? ???nnknsnk? ? ? ?121113 ???? ???nnknsnk除法運(yùn)算次數(shù)為： ns ?4故用高斯消去法求解一個(gè) n 階線性代數(shù)方程組共需做的乘、除 法總數(shù)為： ? ? ? ? 33131 233 nnnnnnnns ????????19 消去法 J o r d a nG a u s s 2 . 1 . 2 )( . )1(1,)1(1,2)1(1,121)1()1(2)
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