[工學(xué)]數(shù)值計(jì)算pptcxj(參考版)
2025-01-22 07:25本頁(yè)面
【正文】 )(3)()(4)(321)(22102220122100???fhxfxfxfhxffhxfxfhxffhxfxfxfhxf?????????????????????????上頁(yè) 下頁(yè) 返回 公式 ()是我們所熟悉的中點(diǎn)公式．在三點(diǎn)公式中，它由于少用了一個(gè)函數(shù)值 f(x1) 而引人注目． 用插值多項(xiàng)式 Pn(x)作為 f (x)的近似函數(shù)，還可以建立高階 數(shù)值微分公式： ?,2,1,)()( )()( ?? kxPxf kmk例如，將式 ()再對(duì) t求導(dǎo)一次，有 ? ?)()(2)(1)( 210202 xfxfxfhthxP ??????于是有 ? ?)()(2)(1)( 111212 hxfxfhxfhxP ???????而帶余項(xiàng)的二階三點(diǎn)公式如下： ? ? )()(12)()(2)(1)( )4(211121 ?fhhxfxfhxfhxf ????????上頁(yè) 下頁(yè) 返回 三、利用數(shù)值積分求導(dǎo) 微分是積分的逆運(yùn)算，因此可利用數(shù)值積分的方法來(lái)計(jì)算數(shù) 值微分．設(shè) f (x)是一個(gè)充分光滑的函數(shù)，設(shè) habhnkkhaxxfxk??????? ,1,0,)()( ?? 則有： )()1,1(d)()()( 1111 ??????? ?? kkxxkk nkxxxfxf ??對(duì)上式右邊積分采用不同的求積公式就可得到不同的數(shù)值微分公式．例如，對(duì) ? ?? 11 d)(kkxx xx?用中矩形公式 ，?????? ??? 2)( bafabR則得 ),(,)()2(241)(2d)( 11311 ???????? ?? kkkkkxx xxhxhxxkk?????從而得到中點(diǎn)微分公式 )(612 )()()( 211 kkkk fhh xfxfxf ???????? ??上頁(yè) 下頁(yè) 返回 ? ? ),(,)(90)()(4)(3d)( 11)4(51111 ?????????? ?? kkkkkkkxx xxhxxxhxxkk???????若對(duì) ()右端積分用辛普森求積公式，則有 )()( kk xfx ???? ? )1,1()()(34 1111 ?????? ???? nkxfxfhmmm kkkkk ?上式略去余項(xiàng)，并記 普森數(shù)值微分公式 的近似值為 mk，則得到辛 這是關(guān)于 m0， m1， ? ， mn這 n+1 個(gè)未知量的 n1 個(gè)方程組， 可用解方程的方法求解 . 。)()(4)(321)(21022202221002xfxfxfhxPxfxfhxPxfxfxfhxP?????????????而帶余項(xiàng)的三點(diǎn)求導(dǎo)公式如下： ? ?? ?? ? .)(3)(3)(4)(21)()()。 6 數(shù)值微分 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 一、中點(diǎn)方法與誤差分析 數(shù)值微分就是用函數(shù)值的線(xiàn)性組合近似函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) 值．按導(dǎo)數(shù)定義可以簡(jiǎn)單地用差商近似導(dǎo)數(shù)，這樣立即得到幾種數(shù)值微分公式 hhafhafafhhafafafhafhafaf2)()()()()()()()()(????????????? 其中 h為一增量．稱(chēng)為步長(zhǎng)．后一種數(shù)值微分方法稱(chēng)為中點(diǎn)方法、它是前兩種方法的算術(shù)平均．但它的誤差階卻由 O(h)提高到 O(h2) ．上面所給出的三個(gè)公式是很實(shí)用的．尤其是中點(diǎn)公式更為常用． 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 為要利用中點(diǎn)公式 hhafhafhG2)()()( ???? )(af?計(jì)算導(dǎo)數(shù) 的近似值，首先須選取合適的步長(zhǎng)．為此需要進(jìn)行誤差分析． 分別將 在 x=a 處做泰勒展開(kāi)有 )( haf ????????????????)(!5)(!4)(!3)(!2)()()()5(5)4(432afhafhafhafhafhafhaf代入 G(h)得 ????????? )(!5)(!3)()()5(42afhafhafhG 由此得知，從截?cái)嗾`差的角度看，步長(zhǎng)越小，計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確 .且 MhhGaf 6)()(2???其中 .)(m ax xfMhax ???? ??上頁(yè) 下頁(yè) 返回 再考察舍入誤差．按中點(diǎn)公式計(jì)算，當(dāng) h很小時(shí)，因 f (a+h) 與 f (ah)很接近，直接相減會(huì)造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失 (參看第 1章第 4節(jié) )．因此，從舍入誤差的角度來(lái)看，步長(zhǎng)不宜太小． 則計(jì)算 當(dāng) f (a+h)及 f (ah)分別有舍入誤差 ?1及 ?2時(shí)，若令 ? ?21 ,m a x ??? ? )(af? 的舍入誤差上界為
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