[工學(xué)]數(shù)值計(jì)算pptcxj-在線瀏覽
2025-03-08 07:25本頁(yè)面
【正文】 ， n)．當(dāng) xk 為等距節(jié)點(diǎn)時(shí)得到的插值求積公式的代數(shù)精度至少為 n次，如果適當(dāng)選取 xk (k＝ 0， 1， … ， n)，有可能使求積公式具有 2n+1 次代數(shù)精度，這類求積公式稱為 高斯 (Gauss)求積公式 . 為使問題更具一般性，我們研究帶權(quán)積分 ，這里 r (x)為權(quán)函數(shù)，類似機(jī)械求積公式，它的求積公式為 Ak(k＝ 0， 1， … ， n)為不依賴于 f (x)的求積系數(shù)， xk (k＝ 0， 1， … ， n)為求積節(jié)點(diǎn)，可適當(dāng)選取 xk 及 Ak (k＝ 0， 1， … ， n)使積分 (1)具有 2n+1次代數(shù)精度． ? ???ba nk kkxfAxxf0)(d)(?? ba xxxfI d)()( r)()(d)()(0????nkkkba xfAxxxf r167。 第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分（二） 第四節(jié) 龍貝格求積公式 第五節(jié) 高斯求積公式 第六節(jié) 數(shù)值微分 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 一、梯形法的遞推化 上一節(jié)介紹的復(fù)化求積方法對(duì)提高精度是行之有效的，但在使用求積公式之前必須給出合適的步長(zhǎng)，步長(zhǎng)取得太大精度難以保證，步長(zhǎng)太小則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的增加，而事先給出一個(gè)恰當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)又往往是困難的． 實(shí)際計(jì)算中常常采用變步長(zhǎng)的計(jì)算方案，即在步長(zhǎng)逐次分半 (即步長(zhǎng)二分 )的過程中，反復(fù)利用復(fù)化求積公式進(jìn)行計(jì)算，直至所求得的積分值滿足精度要求為止． 設(shè)將求積區(qū)間 [a， b]分成 n等分，則一共有 n+1個(gè)分點(diǎn)，按梯形公式計(jì)算積分值 Tn，需要提供 n+1個(gè)函數(shù)值．如果將求積區(qū)間再二分一次，則分點(diǎn)增至 2n+1個(gè)，我們將二分前后兩個(gè)積分值聯(lián)系起來加以考察． 167。 4 龍貝格求積公式 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 注意到每個(gè)子區(qū)間 [xk， xk+1]經(jīng)過二分只增加了一個(gè)分點(diǎn)xk+1/2＝ ( xk+xk+1)/2，用復(fù)化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為 ? ???????????????????????????????101021102110122)12(221)(221)(2)()(4nknnkknnkknkkknhkafhTxfhTxfhxfxfhT上頁(yè) 下頁(yè) 返回 二、龍貝格算法 ).,()(212)。 5 高斯求積公式 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 一、高斯點(diǎn) 定義 4 如果求積公式 ()具有 2n+1次代數(shù)精度，則稱其節(jié)點(diǎn) xk (k＝ 0， 1， … ， n)為高斯點(diǎn)，相應(yīng)公式 ()稱為高斯求積公式 . 根據(jù)定義要使 (5． 1)具有 2n+1次代數(shù)精度，只要取 f(x)＝ xm， 對(duì) m＝ 0， 1， … ， 2n+1， ()精確成立，則得 當(dāng)給定權(quán)函數(shù) r (x)，求出右端積分，則可由 ()解得 Ak 及 xk (k ＝ 0， 1， ? ， n)． ?? ????bamnkmkk nmxxxxA )(.12,1,0d)(0?r 從教材例 5看到求解非線性方程組 ()較復(fù)雜，通常 n≥ 2就很 難求解．故一般不通過解方程 ()求 xk 及 Ak (k＝ 0， 1， … ， n)， 而從分析高斯點(diǎn)的特性來構(gòu)造高斯求積公式． 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 定理 5 插值型求積公式 ()的節(jié)點(diǎn) a≤ x0＜ xl＜ … ＜ xn≤ b是高斯點(diǎn)的充分必要條件是以這些節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式 與任何次數(shù)不超過 n的多項(xiàng)式 P(x)帶權(quán) r (x) 正交，即 )())(()( 101 nn xxxxxxx ????? ??)(0)(d)()()( 1 ?? ?ba n xxxxxP r? 定理表明在 [a， b]上帶權(quán) r (x)的 n+1次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式 ()的高斯點(diǎn)，有了求積節(jié)點(diǎn) xk (k＝ 0， l， ? ， n)，再利用 ()對(duì) m＝ 0， l， … ， n 成立，則得到一組關(guān)于求積系數(shù) A0，A1， … ， An 的線性方程．解此方程則得 Ak(k＝ 0， 1， … ， n) . 也 可直接由 x0， x1， ? ， xn 的插值多項(xiàng)式求出求積系數(shù) Ak(k = 0, 1, ?, n) . 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 二、高斯求積公式的余項(xiàng) 利用 f (x)在節(jié)點(diǎn) xk(k = 0， 1， … ， n)的 埃爾米特插值 H2n+1 (x)，即 于是 ，兩端乘
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