數(shù)值計(jì)算方法(參考版)
2025-07-22 03:20本頁面
【正文】 h=(ba)/n稱為步長 ,且x0=a, xn=b. 令 x=x0+th,則當(dāng) x0≤x≤xn時(shí) ,0≤t≤n. 基函數(shù) 此時(shí)差商也可進(jìn)一步化簡 ,為此引進(jìn) 差分的概念 . 定義 稱 △ f(xi)=f(xi+h)f(xi) 和 ▽ f(xi)= f(xi)f(xih)分別 為函數(shù) f(x)在點(diǎn) xi處的 一階向前差分 和 一階向后差分 . 一般地 ,稱 k階差分的差分為 k+1階差分 ,如二階向前和向后差分分別為 計(jì)算各階差分可按如下差分表進(jìn)行 . 向前差分表 差分具有如下性質(zhì) : . 性質(zhì) 1(差分與函數(shù)值的關(guān)系 ) 各階差分均可表示為函值fj=f(xj)的線性組合 : 性質(zhì) 2(前差與后差的關(guān)系 ): 性質(zhì) 3(多項(xiàng)式的差分 )若 f(x)∈P n(n次多項(xiàng)式類 ), 則其中 性質(zhì) 4(差分與差商的關(guān)系 ): 性質(zhì) 5(差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 利用這些性質(zhì) ,可將 Newton公式 Nn(x)= f(x0)+(xx0) f[x0,x1]+(xx0)(xx1) f[x0,x1,x2] +…+( xx0)…( xxn1) f[x0,…, xn]進(jìn)一步簡化(11)稱公式 (11)為 Newton向前差分插值公式 ,其余項(xiàng)為(12)如果將式 (6)改為按節(jié)點(diǎn) xn,xn1,…, x0的次序排列的 Newton插值公式 ,即 令 x=xnth, 則當(dāng) x0≤x≤xn時(shí) ,0≤t≤差分的關(guān)系 , 式 (13)可簡化為(13)(14)稱式 (14)為 Newton向后差分插值公式 ,其余項(xiàng)為 若要計(jì)算的插值點(diǎn) x較靠近點(diǎn) x0,則用向前插值公式 (),這時(shí) t=(xx0)/n的值較小 ,數(shù)值穩(wěn)定性較好 .反之 ,若 x靠近 xn,則用向后插值公式 (14). 利用向前與向后差分的關(guān)系 (差分性質(zhì) 2):式 (14)可表示成(15)這樣 ,計(jì)算靠近 x0或 xn的點(diǎn)的值時(shí) ,都只需構(gòu)造向前差分表例 給定 f(x)在等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表如下 :
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