數(shù)值計(jì)算方法(第2章)(參考版)
2025-05-18 00:21本頁(yè)面
【正文】 ,:)1(221102102210101121110010??????????????????。)1||wh i l e)3()。1)。e n d wh i l e,t h e nif)3。在 )2,0(0)(??xf迭代公式得及由N e w t o nxxxf )),((0c o s1 8 x)( ?? ???????,......1,0c os11s i n21 ??????? nxxxxxnnnnnN Xn n xn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 其中 ,x1由 Newton法算出 ,N=7時(shí)小數(shù)點(diǎn)后 14位無(wú)變化 ,x4為近似解 求解方程 f(x)=0的 弦割法 。 解：由零點(diǎn)定理。 解：取 x0=1,x1=2,代入公式 ,如表 。,[(,0)()2。 ],[)( 2 baCxf ?上恒正或恒負(fù)。的斂速收斂到以確定的序列由線性收斂到確定的序列由*011*001215}{, .. .2,1)()()()2(。0)()2。因此，用弦的斜率 近似的替代 。33???????????nnnnnnxxxxxxxfxxx解： f的根。??????????下山 Newton迭代法 稱 為為 下山因子nxfxfxxxxfxfxxnnnnnn10,. .. .. .1,0)()()()()()(1???????????????令,. ..21,21,12?n?稱為下山 Newton法，通常選 。39。 簡(jiǎn)化 Newton迭代法 X2 x1 x0 簡(jiǎn)化 Newton迭代法 ,. .. .. .1,0)()()()(1 ??????? ncxfxxxcxfxxnnnn ??令用常數(shù) c替換 x點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) ,以此產(chǎn)生的序列 {Xn}得到 f(x)=0的近似解，稱為推廣簡(jiǎn) 化 Newton法。39。之間，則與介于其中，證明，一般有類似定理證明0)()(21l i m)()()(21*39。是單調(diào)減有下界的序列故序列*10011*0)(, .. .2,1)()(l i m}{. ... ..xaafnnxfxfxxaxxxxxxxnnnnnnnnn????????????????????Newton迭代法收斂性 ? 推論 在定理 ， Newton迭代法具有平方收斂速度。由根的唯一性知可得時(shí)當(dāng)由。記此根為內(nèi)有唯一根在上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，因此是故保號(hào)，知及由*,),(0)(],[)()(],bC [a ,)(,0)(xbaxfbaxfxfxfxf??????Newton迭代法收斂性 ? 收斂性 ))(()(0)()(0)(,0)(,0)(],[0)()(2 . 3 . 4(0)(,0)(,0)(,0)(010000001000*000xxxfxfxxfxfxxxfxfxfbxxxfxfxfxfbfaf?????????????????????????即有，所以知，由），其他情形見圖不妨設(shè)Newton迭代法收斂性 繼續(xù)上述推理有代替。0)()()1baxfbaxxfbfaf??????],[0 bax ? 0)()( 00 ??? xfxf0)( ?xfNewton迭代法收斂性 證明： 根的存在性 ? 根的唯一性 內(nèi)至少有一個(gè)根。在 ],[)()3])。,)1(xe n d w h i l exxffxxfxffxffx?????????Newton迭代法收斂性 定理 設(shè)函數(shù) ，且滿足 若初值 滿足 時(shí)，由 Newton法產(chǎn)生的序列收斂到 在 [a,b]上的唯一根。()。)2。在 )2,0(0)(??xf迭代公式得及由N e w t o nxxxf )),((0c o s1 8 x)( ?? ???????,......1,0c os11s i n21 ??????? nxxxxxnnnnnN Xn n xn 0 1 2 3 4 5 N=4時(shí)小數(shù)點(diǎn)后 14位無(wú)變化 ,x4為近似解 Newton迭代法算法框圖 Newton迭代法算法 。 解：由零點(diǎn)定理。有十位有效數(shù)的近似值是已的精確值相比。44*43210???????xxxxxxx故取得取?? 例 用 Newton法計(jì)算 。 0c o s)( ??? xxxf內(nèi)有根。2**1xfxfxffxxxxxnnnnnnn???????????例題 例 用 Newton法求 的近似解。39。39。故收斂階至少為 2|)(2||)(||)(2||)(|l i m||||l i m*39。*39。2*39。39。**1knnn xfxfxfxxxx ????? ??由于)(2))(()(])(2)())(()([)(39。39。0)()2。 Newton迭代法幾何解釋 ? 幾何意義 Newton迭代法收斂性 定理 設(shè)函數(shù) ，且滿足 若初值 時(shí)，由 Newton法產(chǎn)生的序列收斂到 在 Δ 上的唯一根 ,并且收斂階至少為 2, 。 ?0n}x{ *x1?pCee pnnn????1lim*xxe nn ??迭代法收斂的階 當(dāng) p=1時(shí)，稱為線性收斂 (0c1)； (達(dá)朗貝爾判別法 ) 當(dāng) p1時(shí)，稱為超線性收斂； 當(dāng) p=2時(shí)，稱為平方收斂或二次收斂。()1|)(|wh i l e)2(。3|2|)2)。)4)。 ?0}{ nx*x例題 ? 例 Steffensen算法求解方程 ? 解法一、取 ，由 013 ??? xx3 1)( ?? xx?nnnnnnnnnnnxyzxyxxyzxy????????2)()()(21?? n = 0， 1， 2， … 例題 ? 取初值 ，計(jì)算結(jié)果如下： 0 ?xN Xn Yn Zn 0 1 2 例題 ? 解法二、取 ，由 ? 對(duì)于該迭代函數(shù)在一般迭代法中是發(fā)散的，而 Steffensen格式卻是收斂的。即 )( ** xx ??1)(11)(l i m)(l i m ** **??????????xxxxxxxxooxx???型又因?yàn)镾t
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