id數(shù)值計算方法與算法(參考版)
2025-05-15 22:17本頁面
【正文】 yaybxayxfxy ，? ???? 1 ))(,()()( 1 nnxxnn dttytfxyxy? 向前 Euler公式 ? 向后 Euler公式 ? Picard迭代 ? 中心 Euler公式 ? 梯形公式 ? 改進的 Euler公式 ? Adams公式 ? ???? ?? 1 )(1 n pnxx qpnn dttyy ?),(1 nnnn yxfhyy ????),( 111 ??? ??? nnnn yxfhyy),(211 nnnn yxfhyy ??? ??? ?),(),( 1121 ??? ??? nnnnhnn yxfyxfyy),( )1( 11)( 1 ???? ??? knnnkn yxfhyy? ???????????????),(),(),(112111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxfhyy結(jié) 束 。稱 {實數(shù) h : |E(h)|1}為絕對穩(wěn)定區(qū)間。 當(dāng) |E(h)|1時，稱 (*)絕對穩(wěn)定的。 ? ???? ?? 1 )()(1 n pnxxpnn dttxyy ?一階常微分方程組的初值問題： 解法：同一階常微分方程的初值問題。 ? 當(dāng) xn,…,xnq 為插值節(jié)點時， (*) 稱為顯式Adams公式。 ? Jacobi 方法具有 2 階收斂速度。 kkkkkkkkk QRQAQARQA ???? ?? 1111 RRA kkk ???n??? ??? ?21Jacobi 方法 ? 通過 Givens 旋轉(zhuǎn)，逐漸減小非對角元。 ? QR 迭代的本質(zhì)是冪法 ? 當(dāng) 時， QR 迭代收斂。 XRAXXRAXXXXRkkkkHkkHkk???????111 )()(反冪法 ? 當(dāng) A 只有一個模最小的特征值 λmin ，并且 x0 與 λmin 的特征向量 amin 不正交時 ? 計算 A s I 的模最小的特征值 等價于 計算 A 的最接近 s 的特征值。 m a x1m a x ?? ???? ?kkkkkkHkkHkk rAxrAxxxxAxxr ，? 當(dāng) A 的模最大的特征值各不相同時，可以選取數(shù) s 使 A s I 的模最大的特征值只有一個。 方法： QR 迭代 問題 3：求 Hermite方陣的所有特征值。 = w1D + L 定理：松弛迭代收斂 ? 0w2 定理： A正定且 0w2 ? 松弛迭代收斂 ? Newton迭代求 A1： Xk+1 = 2 Xk – Xk A Xk 第 7章 計算矩陣的特征值 和特征向量 問題 1：求復(fù)方陣的模最大 (最小 )特征值。 = D + L 定理： A行對角優(yōu)、或 A列對角優(yōu)、或 A正定 ? GaussSeidel迭代收斂。 = D 定理： A行對角優(yōu)、或 A列對角優(yōu) ? Jacobi迭代收斂?！諥，于是 Xk+1 = Xk – 195。 ????????????????????????????????nnnnnnnn uuuuuullllllULA????????2221121121222111??????????????????????????????nnnnnn uuuuuulllA????????222112112121111??????????????????????????????111211221222111????????nnnnnnuuullllllADolittle分解 Courant分解 1,1 ,1111112112212121???????????????????????????????????????????????ijijnnnnnulQPuuudddlllP A Q是置換陣，?????????全 /列 /行主元分解 LDLT分解、 Cholesky分解 ?????????????????????????????????????????????1111112112212121?????????nnnnnllldddlllAQR分解 jjijnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnrrQPrrrrrrqqqqqqqqqAPQrrrrrrqqqqqqqqqA?????????????????????????????????????????????????????????????是正交陣是置換陣是正交陣??????????????????????2221121121222211121122211211212222111211SVD分解 Givens旋轉(zhuǎn) Householder反射 ????????????1c o ss ins inc o s1?????Q TIQ ??? 22??是正交陣VUVnUA ,1??????????????????第 6章 解線性方程組的迭代法 ? Jacobi迭代 ? GaussSeidel迭代 ?????????????????????????????????????????nj jnjnnnnj jjj jjnnnnnnnnnnxabxaxabxaxabxabxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????2 222221 1111122112222212111212111? ?? ??? ij jijiiii xabax1~? ??? ?? ??? ij jijij jijiiii xaxabax~1~? 迭代法解線性方程組 A X = B A Xk+1 – B = C (A Xk – B) C 稱為 Conditioner，滿足 ρ (C)1 或 ||C||1 通常取 C = I – A 195。 ???????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnndadadadabdadbadacbdadbadacbdacdba?~?~?~~~~~~~022111221111221111222111??????????????線性方程組解的精度 矩陣條件數(shù) ? ?? ????????????
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