高等數(shù)學(xué)定積分試題(參考版)
2025-01-11 13:49本頁(yè)面
【正文】 定積分 習(xí)題課 一、主要內(nèi)容 問(wèn)題 1: 曲邊梯形的面積 問(wèn)題 2: 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 定積分 存在定理 廣義積分 定積分 的性質(zhì) 牛頓 萊布尼茨公式 )()()( aFbFdxxfba ???定積分的 計(jì)算法 二、內(nèi)容提要 1 定積分的定義 定義的實(shí)質(zhì) 幾何意義 物理意義 2 可積和 可積的兩個(gè) 充分 條件 3 定積分的性質(zhì) 線性性 ? ?ba dxxgxf )]()([ ?? ba dxxf )( ?? ba dxxg )(可加性 ? ba dxxf )( ?? ??bcca dxxfdxxf )()(若 0)( ?xf ， 則 0)( ?? dxxfba )( ba ?非負(fù)性 比較定理 若 )()( xgxf ? ， 則 dxxfba? )( dxxgba?? )( )( ba ?估值定理 )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的最大值及最小值， )()()( abMdxxfabm ba ???? ? . 積分中值定理 如果函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，則在積分區(qū)間 ],[ ba 上至少存在一個(gè)點(diǎn) ? ， 使 dxxfba? )( ))(( abf ?? ? )( ba ?? ?積分中值公式 若 M 和 m 是 變上限定積分及其導(dǎo)數(shù) 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)dttfxxa??? )()( 在 ],[ ba 上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是 )()()( xfdttfdxdxxa??? ? ? )( bxa ?? 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)dttfxxa??? )()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一個(gè)原函數(shù) . .)]([)( babaxFdxxf ??牛頓 — 萊布尼茨公式 定積分的計(jì)算法 （ 1）換元法 dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)( 換元積分公式 （ 2）分部積分法 ?? ?? bababa v d uuvu d v ][ 分部積分公式 微積分基本公式 如果 )( xF 是連續(xù)函數(shù))( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的一個(gè)原函數(shù)，則 )()()( aFbFdxxfba??? 利用對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算 廣義積分 (1)無(wú)窮限的廣義積分 ? ??a dxxf )( ????? bab dxxf )(l i m? ??b dxxf )( ????? baa dxxf )(lim(2)無(wú)界函數(shù)的廣義積分 ?ba dxxf )( ? ???? ba dxxf?? )(l i m 0? ba dxxf )( ? ???? ?? ba dxxf )(lim 0? ba dxxf )( ?? ca dxxf )( ?? bc dxxf )(? ???? ?? ca dxxf )(lim 0 ? ?????? bc dxxf?? )(lim 0三、典型例題 例 1 .c o ss i ns i n20??? dxxxx求解 ,c o ss i n s i n20???? dxxxxI由 ,c o ss i nc o s20???? dxxxxJ設(shè),220 ???? ??dxJI則?????? 20 c o ss i nc o ss i n dxxxxxJI ? ????? 20 c o ss i n)s i n( c o sxxxxd.0?,22 ??I故得 .4??I即例 2 廣義積分中值定理 設(shè) f(x) 在 [a ,b]上連續(xù)， g(x) 在 [a ,b]上可積，且不變號(hào)，則 ? ????babadxxgfdxxgxfba )()()()(],[ ?? 使證 因 f(x) 在 [a ,b]上連續(xù)，故 f(x) 在 [a ,b]上必取得 最大值 M
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