【正文】 和最小 m， Mxfm ?? )(又 g(x) 在 [a ,b]上不變號 故不妨設 0)( ?xg? ??badxxg 0)( )()()()( xMgxgxfxmg ??? ? ????bababadxxgMdxxgxfdxxgm )()()()(若 0)( ??badxxg 則由上式知 ??badxxgxf 0)()(? ???babadxxgfdxxgxf )()()()( ?? 可取 [a ,b]內任一點 若 ? ???babadxxgdxxg 0)(,0)( 則Mdxxgdxxgxfmbaba ?????)()()(由介值定理 ?????babadxxgdxxgxffba)()()()(],[ ?? 使? ???babadxxgfdxxgxf )()()()( ?例 3 證明 01l i m10?????dxxxnn證一 nn xxx ??? 10? ?? ????1010 10 dxxdxxx nn11?? n由夾逼定理得令 ,??n 01lim10?????dxxxnn由廣義積分中值定理 11111111010 ??????? ?? ndxxdxxx nn??011lim,1|1 1| ?????? nn有界?? 01lim10??? ???dxxx nn證二 dxxxInn ? ??10 1記 dxI xxnn?????10111則? ????? ?101 11ndxxIInnn由夾逼定理得令 ,??n 01lim10?????dxxxnn例 4 求極限 ]12111[l i m)1( nnnnn ?????????nnnn!lnlim)2(??nn II ??1112 ?? ?? nnn III nI n 21??證三 解 ① ]11211111[limnnnnIn ??????????nninin111lim1??? ????1010)1l n (1 1 xdxx ???? ? 2ln?② )21l n(1lim nnnnnI n ????? ??nninin1)ln(l i m1?? ????? ???101ln x d x如果能把數(shù)列的通項寫成 )1(1)(111?????nini nifnnifn 或的形式 就可以利用 )(1lim1????nin nifn 或 )1(1lim1?????nin nifn把數(shù)列極限問題轉化為定積分 ?10)( dxxf 的計算問題 與數(shù)列的極限有著密切聯(lián)系 由以上兩例可見，連續(xù)函數(shù) f ( x ) 的定積分 證明 CauchySchwarz不等式 ? ?? ???????? bababadxxgdxxfdxxgxf )()()()( 222證 ,Rt ?? 0)]()([ 2 ?? xgxtf ? ???badxxgxtf 0)]()([ 2? ? ? ???bababadxxgdxxgxftdxxft 0)()()(2)( 222? ?? ??????????bababadxxgdxxfdxxgxf 0)()(4)()(4 222?? ?? ?????????bababadxxgdxxfdxxgxf )()()()( 222例 7 記 ? ?? ?????????xaxaxadttgdttfdttgtfxF )()()()()( 222 則 ? ? ?????x