高等數(shù)學定積分試題-預覽頁
【正文】 dxxmdxxxm mm21????mm JmmJ? ?? ? ?020 2xdxJ ? ??? ?01 s i n x d xxJ?????????????????????????????奇數(shù)偶數(shù)mmmmmmJ m??????531)1(6422642)1(5312解二 由定積分換元法知 ? ??? ??0 0 )( s i n2)( s i n dxxfdxxxfmm IJ 2???21???mm ImmI210 ?? II ?????????????????????????????奇數(shù)偶數(shù)mmmmmmJ m??????531)1(6422642)1(5312例 15 為滿足設 naaa ?10 ,的實常數(shù)012 10 ????? n aaa n?證明 方程 010 ???? nn xaxaa ?在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少有一根 證 ? ???? x nn dttataaxF0 10 )()( ?記則 F(x) 在 [0,1] 上連續(xù)，在 (0,1) 內(nèi)可導 0)0( ?F? ???? 10 10 )()1( dttataaF nn?012 10 ?????? n aaa n?由 Rolle 定理 0)()1,0( ???? ?? F使nn xaxaaxF ????? ?10)(而010 ???? nn xaxaa ?故方程在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少有一根 例 16 已知周期為 L的函數(shù)在 ]2,2[ LL?上是連續(xù)的奇函數(shù)，證明 ? xa dttf )( 也是以 L為周期的函數(shù) 證一 ?? xa dttfxF )()(記 )()()( xGdttfLxF Lxa ??? ? ?)()( xfxF ?? )()()( xfLxfxG ????CxFxG ??? )()(CxFLxF ???? )()(得令 2Lx ??? ? ?????? 2 2 )()()2()2(LaLadttfdttfLFLFC?? ?? 220)(LL dttf)()( xFLxF ???對稱區(qū)間上奇函數(shù)的積分 證二 dttfxFLxF Lxx????? )()()(?????????LxLLLLx2222?? ?? ?? x LLxL duufLutdttf22)()()( 令?? ????? 220)()()(LL dttfxFLxF)()( xFLxF ??即例 18 設 f ( x ) , g ( x ) 在 [ a , b ] 上連續(xù)，證明 ? ???? b a dxxfgdxxgfba ? ???? )()()()(),( 使證 關鍵在于作出輔助函數(shù) F(x) x換成將 ?? ??bx xa dttfxgdttgxf )()()()(? ??? bx xa dttfxgdttgxfxF )()()()()(如令則 F(a) F(b) 的符號不易判別，得不出結論 ? ???? bx xa dttfxgdttgxfxF )()()()()(令故兩邊積分得 ? ?? ? ?? xa uaxa bu dudttfugdudttgufxF ])()[(])()[()(? ??? xa bx dttgdttf )()(? ??? xa bx dttgdttfxF )()()(令故則 F ( x ) 在 [ a , b ] 上連續(xù)，在 ( a , b ) 內(nèi)可導 且 F ( a ) = F ( b ) = 0 由 Rolle 定理知 0)(),( ???? ?? Fba 使? ???? bx xa dttfxgdttgxfxF )()()()()(而dxxfgdxxgf ab ?? ?? ?? ?? )()()()(注： 輔助函數(shù)法 證明定積分等式 —— 主要 適用于證明在積分限中至少存在一點 使等式成立的命題 cx 或或 0?① xcx 換成或或將 0? 移項使一端為 0 另一端即為 )()( xFxF ?或② 驗證 F ( x ) 滿足介值定理或 Rolle 定理
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