【正文】 式 (g)表示 總勢(shì)能的整體極值條件 。 第六章 用有限單元法解平面問題 比較物理意義： 凡是與微分方程對(duì)應(yīng)的變分原理存在的任何問題，均可應(yīng)用變分法導(dǎo)出 FEM。δδδ,001,)(???????????????????????????????????????????????????ieeLmLjLimjieeLeePEδδFFFFFFFk δδ 其中 第六章 用有限單元法解平面問題 代入式 (o) ， 得出與結(jié)構(gòu)力學(xué)方法導(dǎo)出的相同方程， )( ),2,1( pnieLiei ??? ?? 。???eeLTeV Fδ )(）（ l? ????eeLTeTeP VUE ])()(21[ Fδk δδ）（ m外力勢(shì)能 為 總勢(shì)能 為 第六章 用有限單元法解平面問題 故 總勢(shì)能極小值條件 變換為 （ 3）對(duì)于離散化結(jié)構(gòu)，泛函數(shù) 的宗量變 換為 PE)(i)( ),2,1(0 nniEiP ????? 。??eeTeU k δδ )(21）（ k內(nèi)力勢(shì)能 為 第六章 用有限單元法解平面問題 其中 為三角形單元的受面力邊界。??eeVV ）（ jvu,總勢(shì)能、形變勢(shì)能和外力勢(shì)能 ，可以用單元的勢(shì)能之和來表示 第六章 用有限單元法解平面問題 其中 為三角形單元的面積。 按變分法導(dǎo)出 FEM公式 對(duì)于 平面問題， 第六章 用有限單元法解平面問題 對(duì)于連續(xù)體 ,變分的宗量是位移函數(shù) 變分方程 可表示為總勢(shì)能 對(duì) 的導(dǎo)數(shù)等于 0，即 PE vu,., vu）（ g,0??? uE P 。 611 應(yīng)用變分原理導(dǎo)出有限單元法基本方程 (2)建立單元位移模式 ,求出單元中的位移分布， ? ? be?ε B δ? ?. ce?ζ Sδiδ? ? ae?dNδ FEM公式 (1)取結(jié)點(diǎn)位移 為基本未知數(shù)； (3)由幾何方程求出單元的應(yīng)變 ， (4)由物理方程求出單元的應(yīng)力 ， ? ? ee sAt d s t d x d y t? ? ?? ??e T TLPF N f N f N f? ? fL?K δ F .? ? dee?Fk δeLF(5)由虛功方程求出單元的結(jié)點(diǎn)力 ， (6)由虛功方程求出單元的結(jié)點(diǎn)荷載 ， (7)建立結(jié)點(diǎn)平衡方程組 ， 按結(jié)構(gòu)力學(xué)方法導(dǎo)出 FEM公式 ■ 第六章 用有限單元法解平面問題 （ 1） 變分原理中的極小勢(shì)能原理 是 。 第六章 用有限單元法解平面問題 在 FEM中，將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)之后，有 兩種導(dǎo)出FEM公式的主要方法 ，即靜力法與變分原理法。 在整理應(yīng)力成果時(shí) , 讀者應(yīng)注意 ,應(yīng)用三角形單元時(shí)， (1)采用 兩單元平均法和繞結(jié)點(diǎn)平均法 的應(yīng)力成果比較接近，但前者的精度略好于后者。 2. 簡(jiǎn)支梁受均布荷載。 第六章 用有限單元法解平面問題 書中應(yīng)用三結(jié)點(diǎn)三角形單元，計(jì)算了下列例題： 167。 2)繞結(jié)點(diǎn)平均法。這就產(chǎn)生了應(yīng)力的波動(dòng)性。假設(shè) Ⅰ 單元的應(yīng)力成果為 ，其中 為真解， 為誤差。 應(yīng)力的波動(dòng)性在三結(jié)點(diǎn)三角形單元中較為顯著 。 為了提高應(yīng)力精度，可采用 兩種 方法： 一是 加密網(wǎng)格，減少單元的尺寸，以提高應(yīng)力的精度。 第六章 用有限單元法解平面問題 在面力邊界線附近，求得的應(yīng)力誤差較大。 2)繞結(jié)點(diǎn)平均法。這就產(chǎn)生了應(yīng)力的波動(dòng)性。假設(shè) Ⅰ 單元的應(yīng)力成果為 ，其中 為真解， 為誤差。 應(yīng)力的波動(dòng)性在三結(jié)點(diǎn)三角形單元中較為顯著 。 69 計(jì)算成果的整理 )( 2xo ?()ox? 三結(jié)點(diǎn)三角形單元的應(yīng)力的成果，不但應(yīng)力的精度較低，而且還產(chǎn)生了所謂 應(yīng)力的波動(dòng)性 。應(yīng)力的誤差量級(jí)是 ，即與單元的大小成正比。 第六章 用有限單元法解平面問題 單元?jiǎng)澐肿⒁馐马?xiàng) （ 8） 結(jié)構(gòu)具有凹槽或孔洞等應(yīng)力集中處等。 對(duì) 第 1步 和 第 4步 的工作，也 盡可能由計(jì)算機(jī)完成 ，以減少人工的工作量。事先須將有限單元法的公式，計(jì)算方法和步驟都編入程序。否則會(huì)使三角形的面積出現(xiàn)負(fù)號(hào)等問題。 選定直角坐標(biāo)系，按程序要求填寫和輸入有關(guān)信息。 （見書中 ） ,() in n Lie n i j m e??? ? ?k δ F■ 第六章 用有限單元法解平面問題 有限單元法的具體計(jì)算步驟 167。 12( ) , ( ) ,TT1 2 n L L L L n??δ δ δ δ F F F F K 考慮結(jié)構(gòu)的約束條件后 , 從式 (c)求出 ,就可以求出各單元的位移和應(yīng)力。 對(duì)某一個(gè)單元 ijm， 其中 是對(duì)圍繞 i 結(jié)點(diǎn)的單元求和。 代入式 (a)，可表示為 ? ?,( ) ( 1 , 2 , , ) bin n Lie n i j m ein???? ? ?k δ F 。 結(jié)點(diǎn) i 的平衡條件 為 ? ?, ( 1 , 2 , , ) ai L ieein????FF?e,i in nn i j m?? ?Fk δ結(jié)點(diǎn)平衡條件 第六章 用有限單元法解平面問題 其中 , ijm是單元結(jié)點(diǎn)的 局部編號(hào) 。 下面考慮 整體分析 。 167。 第六章 用有限單元法解平面問題 思考題 1. 試導(dǎo)出書中例題 (P119)的荷載移置公式 。 移置荷載 作用于結(jié)點(diǎn) ijm。 (1)剛體靜力等效原則 : 使原荷載與移置荷載的主矢量以及對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同。 變形體的靜力等效原則考慮了變形效應(yīng) , 在一定的位移模式下 , 其結(jié)果是唯一的 , 且滿足了前者條件。 66 荷載向結(jié)點(diǎn)移置 ,單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣 在 FEM中 ,須將作用于單元上的外荷載向結(jié)點(diǎn)移置， 化為 等效結(jié)點(diǎn)荷載 ， (2)變形體靜力等效原則 : 即在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。 ■ 第六章 用有限單元法解平面問題 思考題 試求出書中例題 (P117)的位移模式。根據(jù)單元的平衡條件 ,還可得出斜面上的應(yīng)力 ,如圖所示。由上面的 單元?jiǎng)偠染仃?得相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力為： ? ?? ?? ?21 0 0 12( 1 )1 0 0 1 ,Tix iy jx jy m x m yTiTF F F F F FEtuμF????? ? ??? ? ?其中， 。 可得 200 .2i j mi j mb a b b aac c a c a A? ? ? ?? ? ? ? ? 應(yīng)用公式 可得該單元的 應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣 為 ()i j m?S S S S2( , , )2 ( 1 )1122iiiiiiiib μ cEμ b c i j mμ Aμ μcb?????? ?????????S D B.2( 1 )1 0 0 1 0 0 1 1