采用極坐標(biāo)求解彈性力學(xué)平面問(wèn)題基本問(wèn)題(參考版)
2025-06-10 23:17本頁(yè)面
【正文】 但是，按照圣維南原理，不論這個(gè)面力是如何分布的，在離開(kāi)楔形體頂端稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力分布都是相同的，也就是和以上所得應(yīng)力分量表達(dá)式相同。因此應(yīng)該這樣來(lái)理解：楔形體受有一定的面力，這個(gè)面力的最大集度是不超過(guò)比例極限的，而面力的合力是集中力F或集中力偶M。實(shí)際上，集中在一點(diǎn)的力或力偶是不存在的，因此也就不會(huì)發(fā)生無(wú)限大的應(yīng)力。其正應(yīng)力應(yīng)為j 的奇函數(shù)，而切應(yīng)力分量應(yīng)為j 的偶函數(shù)。求解前，首先作結(jié)構(gòu)分析。根據(jù)和楔形體受集中力相同的量綱分析，可見(jiàn)在各應(yīng)力分量的表達(dá)式中，只能是以 r 負(fù)二次冪出現(xiàn)，因此應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式應(yīng)該與 r 無(wú)關(guān)。楔形體受集中力偶作用以下討論楔形體的頂端受有集中力偶作用問(wèn)題，如圖所示。主應(yīng)力軌跡為一組以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的放射線。此圓為等徑向應(yīng)力的軌跡線，稱為壓力泡。在直徑為d，圓心在x 軸并且與y 軸相切于原點(diǎn)O的圓上，由于該圓上任意一點(diǎn)滿足r = dcos j ，所以，圓上任意一點(diǎn)應(yīng)力為 sr=2F/pd。半無(wú)限平面作用集中力在上述楔形體問(wèn)題中，如果令a＝p，b＝0，則轉(zhuǎn)化為彈性半無(wú)限平面作用集中力問(wèn)題。但是如果外力不是作用于一點(diǎn)，而是按照上述應(yīng)力分布作用于一個(gè)小圓弧區(qū)域，上述解答則為精確解。于是得出由應(yīng)力邊界條件轉(zhuǎn)換而來(lái)的平衡條件楔形體應(yīng)力將應(yīng)力分量表達(dá)式代入上式，則積分可得即將常數(shù)C和D代入應(yīng)力分量表達(dá)式則本問(wèn)題的解答為上述楔形體應(yīng)力在r 等于0時(shí)，將趨于無(wú)限大。此外還有一個(gè)應(yīng)力邊界條件：在楔形體頂端附近的一小部分邊界上有一組面力，它的分布沒(méi)有給出，但已知它在單位寬度上的合力為F。因此應(yīng)力函數(shù)為楔形體邊界條件由應(yīng)力分量表達(dá)式，可得楔形體的應(yīng)力分量 現(xiàn)在的問(wèn)題是利用面力邊界條件確定待定常數(shù)。有將上述應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式代入變形協(xié)調(diào)方程可得 f ( j ) 所要滿足的方程。而根據(jù)應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式其r 的冪次應(yīng)比各應(yīng)力分量r 的冪次高兩次。由于楔形體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量將與F 成正比，并與a， b，r 和j 有關(guān)。首先討論楔形體在其頂端受集中力作用，集中力與楔形體的中心線成b 角。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：楔形體作用集中力問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)；楔形體邊界條件；楔形體應(yīng)力；半無(wú)限平面作用集中力；楔形體受集中力偶作用；楔形體受集中力偶作用的應(yīng)力。由于楔形體幾何形狀的特殊性，本身沒(méi)有任何描述長(zhǎng)度的幾何參數(shù)，借助于幾何特性，可以找到應(yīng)力函數(shù)的基本形式，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)方程得到應(yīng)力函數(shù)。 楔形體頂端受集中力或集中力偶學(xué)習(xí)思路:本節(jié)將推導(dǎo)有關(guān)楔形體的幾個(gè)有實(shí)用價(jià)值的解答。對(duì)于平板受均勻拉伸問(wèn)題，K=3。通常把最大應(yīng)力與平均應(yīng)力的比值用于描述應(yīng)力集中的程度。由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系可以看出，由此產(chǎn)生的應(yīng)力可以由以下形式的應(yīng)力函數(shù)求解，即將上述應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式代入變形協(xié)調(diào)方程可得 f（r）所要滿足的方程即上述方程是歐拉(Euler)方程，通過(guò)變換可成為常系數(shù)常微分方程，其通解為 因此，將其代入公式 ，可得應(yīng)力函數(shù)為應(yīng)力與邊界條件因此，應(yīng)力分量為應(yīng)力分量表達(dá)式中的待定常數(shù)A，B，C，D可用邊界條件確定，本問(wèn)題的面力邊界條件為將應(yīng)力分量代入上述邊界條件，則聯(lián)立求解上述方程，并且注意到對(duì)于本問(wèn)題，a/b≈0, 可得孔口應(yīng)力將計(jì)算所得到系數(shù)代入應(yīng)力分量公式則將隨j 變化的法向力 cos2j 和切向力 sin2j 的計(jì)算所得結(jié)果與沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力 結(jié)果相疊加，則上述應(yīng)力分量表達(dá)式表明，如果r 相當(dāng)大時(shí)，上述應(yīng)力分量與均勻拉伸的應(yīng)力狀態(tài)相同。使得問(wèn)題成為一個(gè)典型的軸對(duì)稱應(yīng)力。 由此產(chǎn)生的應(yīng)力可用軸對(duì)稱應(yīng)力計(jì)算公式計(jì)算。因此上述公式表明在與小圓孔同心的，半徑為b的圓周上，應(yīng)力可以分為兩部分：一部分是沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力，其數(shù)值為 ；另一部分是隨j 變化的法向力 cos2j 和切向力 sin2j 。隨著距離增加，在離孔口較遠(yuǎn)處，這種影響也就顯著的減小。這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。圓孔的存在，必然對(duì)應(yīng)力分布產(chǎn)生影響，如圖所示。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：帶圓孔平板拉伸問(wèn)題；厚壁圓筒應(yīng)力函數(shù)；應(yīng)力與邊界條件；孔口應(yīng)力。對(duì)于前者是軸對(duì)稱問(wèn)題；或者根據(jù)問(wèn)題性質(zhì)可以確定應(yīng)力函數(shù)后求解。孔口的應(yīng)力集中，根據(jù)局部性原理，影響主要限于孔口附近區(qū)域?？卓诟浇膽?yīng)力將遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔口稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力。 帶圓孔平板的均勻拉伸學(xué)習(xí)思路:平板受均勻拉力q作用，平板內(nèi)有半徑為a的小圓
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