【正文】 υKυIH ρυπEμFυυπEμFρυπEFuυKυIυυπEμFρυπEFuυρc oss i nc os)1(s i n)1(。)(2 dGHρf ?? ?,s i n)1(2dd1212υπEμFfυf ????第四章例題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 將 和 代入 的表達(dá)式；并由式（ c） 得 )(2 ?f ?u,d)(dc o s)1(2d)( 11 GυυfυπEμFυυf ?????)(1 ?f第四章例題 得解 為 1f)(s i nc o sc o s)1()(1 eυKυIυυπEμFυf 。?????? ??第四章例題 υ第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 于是得兩個(gè)常微分方程。)(lns i n2s i n2 1 υfρυπE FυπEμFυu(píng) υ?????第四章例題 ?第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 再將式（ a） 和（ b） 代入幾何方程的第三式， 分開變量后，兩邊分別為 的函數(shù)，各應(yīng)等于同一常數(shù) G， 即 兩邊對(duì) 積分，得 )()()d(lnc o s2c o s2 21 bfυυfρυπE FυπEμFu υ 。0,s i n2,s i n2 ???? ???? ??????????EFEF第四章例題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 兩邊對(duì) 積分，得 得 由幾何方程第一式， ,s i n2????? ??EFu ?????)()(lns i n2 1 aυfρυπE Fu ρ 。22222223222222)(2c oss i n,)(2s i n,)(2c osyxxyFυυσyxyFυσσyxyxFυσσxyyx???????第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 以下來求位移解答。 ? ?oFxy第四章例題 例題 5 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 解 ： 由書中式（ 421），當(dāng) 時(shí)， 用直角坐標(biāo)系的應(yīng)力分量表示， 。FA ??41 ?? 將式（ a）、（ f） 代入應(yīng)力公式，得無限大薄板在小孔口受集中力 F的解答： )(f????????????????。?????????s i nc o ss i n]2)1[(1c o sln]2)1[(1KIABEBAEu????????顯然，式（ d） 中第二項(xiàng)是多值項(xiàng)。GH ρρf ??)(1第四章例題 (b) 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 將式（ c） 對(duì) 求導(dǎo)一次，再求出 υ。 這樣，得到兩個(gè)常微分方程， ??,由式（ b） 解出 。????????????????????????s i n)1(21],2)1[(c o s1],2)1[(c o sAEuuuBAEuuBAEu???????????????????第四章例題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 將 代入第三式，并分開變量，得 ),(c o sln]2)1[(1 ????? fBAEu ????).()(s i n]2)1[(1s i nln]2)1[(1 1 ??????????fdfBAEBAEu???????????? uu ,?? )()( 11 ???? fddf????? 。 第四章例題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 由物理方程求出應(yīng)變分量， 。注意到本題是 多連體 ， 應(yīng)考慮位移的單值條件 。0d)( ,0,0]dc o s)(ds i n)[( ,0,0]ds i n)(dc o s)[( ,02022020????????????????????????υρτMυυρτυυρσFFυυρτυυρσFρρρoρρρυρρρyρρρυρρρx。A? ?? ?? s in?Φ（ 2）代入應(yīng)力公式，得 第四章例題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 （ 3）考察邊界條件。υB ρυρA ρΦ s i nc o sln ???第四章例題 例題 4（習(xí)題 419） ρ?x y 0 F υ第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 （ 1）經(jīng)校核，上述 滿足相容方程。2 12c o s???? ?? ??? M第四章例題 (b) 。MdMddFddFoyx第四章例題 (a) 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 上式中前兩式自然滿足，而第三式成為 。0)( ???? 2π0, υρρυτ第四章例題 （ 4）由 求得應(yīng)力分量， Φ第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 為了考慮原點(diǎn) o附近有集中力偶的作用，取出以 o為中心， 為半徑的一小部分脫離體，并列出其平衡條件， 前一式自然滿足，而第二式成為 。 在 的邊界上，有 ,2s in41 2 υBρσ ρ ?? ,0??σ。?? CB ??? 2si n第四章例題 ?x第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 （ 5）考察邊界條件。0,0,2,2 ii ???dcbe i ,2 ???,2 ?iae。令其解為 ，代入上式，可得到一個(gè)關(guān)于 的特征方程， 41? )(υΦλυeΦ ??,0)4( 22 ????第四章例題 Φ （ 3）將 代入相容方程，得 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 其解為 于是得 的四個(gè)解 ；前兩項(xiàng)又可以組合為正弦、余弦函數(shù)。 Φ)(υΦΦ ?。 ?? ,M21 ?? MLL2?M解 ：應(yīng)用半逆解法求解。 第四章例題 例題 3（習(xí)題 418） 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 （ 1）按量綱分析方法，單位寬度上的力偶矩與力的量綱相同。得 2qB ??,2si n ?? ? q? ,2si n ?? ? q??。因此，有 代入公式，得應(yīng)力解答， ?2?? ?? ??,0)( 2 ??? ???? 。注意本題有兩個(gè) 面 ,即 ，分別為 面。由 求應(yīng)力，代入應(yīng)力公式得 Φ 04 ?? Φ,22si n2 ??? ? CB ???,22si n2 ??? ? CB ??。030qqaaq??????????第四章例題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 半平面體表面受有均布水平力 q， 試用應(yīng)力函數(shù) 求解應(yīng)力分量。 。 然后，代入應(yīng)力公式（ 45），求出應(yīng)力分量： 04 ?? Φ,3c os υaq ρσ ρ ??,3c o s υaq ρσ υ ?。如點(diǎn) K在均布力之外，則沉陷為 .ln22222drrsEcdηcxcxcxcx kiki ???????? ??若基點(diǎn) B取得很遠(yuǎn) ，有 )( rs ??),14l n ()1212l n (222??????cxcxcxcxFki).(1 CFEη kiki ?? ?).2ln1( ln2 ??? csC 其中： 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 1 例題 2 例題 3 例題 4 例題 5 例題 6 例題 7 例題 9 例題 10 例題 8 例題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 例題 1 （習(xí)題 48）試考察應(yīng)力函數(shù) 能解決圖中所示彈性體的何種受力問題？ ,3c o s6 3 υρa(bǔ)qΦ ?y x a a o30 o300 第四章例題 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 解 ：本題應(yīng)按逆解法求解。到 ab ??? ?? 相對(duì)沉陷解答 的推廣： ρsπEFη ln2?F （ 原集中力） 代之為 ? 。( ?? ?s（ 原 B點(diǎn)到 F作用點(diǎn)的水平距離） 代之為 )。( ??y 應(yīng)力 （式（ 424））的推廣： ?然后對(duì) 積分，從 。)( ?? dqdF ?x（ 原表示 F作用點(diǎn)到 M 的鉛直距離） 仍為 x。 4－ 10 半平面體在邊界 上受分布力 當(dāng)半平面體表面有分布荷載 作用 時(shí)，其應(yīng)力和位移解答可從集中力的解答得出。)(, 2 υfρΦqσ ??第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 試導(dǎo)出圖 49中， F為水平力 ( )時(shí)的應(yīng)力解答 。πDF2?y x o F υ D A B 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 試考慮在下圖中，當(dāng) 的邊界上有均布?jí)毫?q作用時(shí)，如何用量綱分析方法假設(shè)應(yīng)力的函數(shù)形式？ 試考慮在下圖中， o點(diǎn)有外力偶 M作用時(shí)，如何用量綱分析方法假設(shè)應(yīng)力的函數(shù)形式 ？ （答案： ） 。μ)(1μμμEE???? ,)1( 2（ 4）半平面體表面的沉陷 ,M點(diǎn) 為 )( ρ,π/2 為基點(diǎn) ,s 。??????? ?因剛體位移 不能確定，用 相對(duì)沉陷 表示： I 此解答用于基礎(chǔ)梁 問題。 x 向無約束條件， I 不能確定。???? ??? ,（ 2）代入幾何方程， 位移 相應(yīng)的直角坐標(biāo)系中的應(yīng)力 ， 如書中式 (424)所示。)(0,c o sbτσρυπ2Fσρυυρ?????????。即取出 oabc部分的彈性體，考慮 。 (2) 取出包含小邊界的一部分脫離體，并考慮此脫離體的平衡條件，即 , 同樣也得出三個(gè)條件。 ,2,0 ???? υρ ,0)( ?υρυ ,τσ第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 然后我們可以將小邊界上的應(yīng)力邊界條件應(yīng)用圣維南原理來進(jìn)行處理 。在此小邊界附近，有面力的作 用 ,而面力可以向原點(diǎn) o簡化為作用于 o 點(diǎn)的主矢量 F， 和主矩為 0的情形 。 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 ?????????。 4－ 9 半平面體在邊界上 受集中力 半逆解法 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 ,0]dd2dd[122443 ??? fυfυfρ。 （ 1）假設(shè)應(yīng)力 — F為單位寬度上的力，按量綱分析，應(yīng)力 應(yīng)為 : 。 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 (3) 黃河上小浪底工程中的泄洪、輸沙、發(fā)電、導(dǎo)流底孔等共有十八個(gè)孔口組成的洞群，在設(shè)計(jì)中孔口之間的凈間距取為約大于 1～ ， 為什么 ？ 第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答 半平面體在邊界上受集中力。 qσ