【正文】 y ???0?b???υσ qσbaυ 3,1 ??? 0~1?ba)3( qqσ υ ?? υσ )1 . 1 0~( qq?baqσ υ ??第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 思考題 試從下列觀點(diǎn)解釋孔口應(yīng)力集中現(xiàn)象 ： (1) 開(kāi)孔后使主應(yīng)力線發(fā)生間斷 (類似于流體的繞流現(xiàn)象 )，因而產(chǎn)生孔口應(yīng)力集中現(xiàn)象。 矩形類孔口 從 ， 越小，則壓應(yīng)力集中系數(shù)越接近 1。 qσ y ???qσυ ? qσ υ )(? ? (c) 標(biāo)準(zhǔn)廊道孔口 r ? ? 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 （ 2） 在 （壓應(yīng)力場(chǎng)）下，孔口的 最大壓應(yīng)力 發(fā)生在孔側(cè)。 qy ????橢圓類孔口)( a4 3/2 b a 1 1 ??1 2/3 ?1 1 0 1 3 1 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 ???5?ba 1 51矩形類孔口)( b? ? ??1????y1????y???? 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 （ 1） 在 (壓應(yīng)力場(chǎng) )下，孔口的 最大 拉應(yīng)力 發(fā)生于孔頂和孔底。復(fù)變 函數(shù)解法是一種求解彈性力學(xué)解答的解析方法， 它將復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部 (均為實(shí)函數(shù) )分別 表示彈性力學(xué)的物理量，將彈性力學(xué)的相容方 程 (重調(diào)和方程 )也化為復(fù)變函數(shù)方程，并結(jié)合 邊界條件進(jìn)行求解。 x?y? xy?（ 2）求出孔心處主應(yīng)力 .21 ,α,σσ（ 3）在遠(yuǎn)處的均勻應(yīng)力場(chǎng) 作用下，求 出孔口附近的應(yīng)力。 ???qqqσaaaυ ( 正交） 因此，工程上應(yīng)盡量避免接近直交的凹角出現(xiàn)。此區(qū)域外的應(yīng)力擾動(dòng)，一般 5%。 )4( rρ?單向受拉 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 （ 1） 集中性 — 孔口附近應(yīng)力 遠(yuǎn)處的應(yīng)力， 孔口附近應(yīng)力 無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力。 )4( rρ?單向受拉 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 。 單向受拉 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 。 單向受拉 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 )()31)(1(2s i n2),31(2c os2)1(2),31)(1(2c os2)1(222224422222222gρrρrυqτρrυqρrqσρrρrυqρrqσρυυρ????????????????????????。在孔邊 ， ，最大、最小應(yīng)力為 ，應(yīng)力集中系數(shù)為 。????除去 ，為歐拉方程，得解 υ2cos由式 (d)， (e) 得 ，并求出應(yīng)力。2s in,2c o s υτυσ ρυρ ??)(2c o s)( dυρfΦ 。????? ??? ????內(nèi)邊界條件為 )( 0,0, cr 。 ∴ 應(yīng)力集中系數(shù)為 2。0,0, ??? ??? ??? r)( 0),1(),1( 2222arqrq 。 雙向受拉 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 。 當(dāng)彈性體開(kāi)孔時(shí)，在小孔口附近，將發(fā) 生 應(yīng)力集中現(xiàn)象 。 167。 ?? 0ρ?? ,0, yx有限值條件 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 思考題 試考慮有兩套筒或三套筒互相接觸時(shí)，如何求解 ？ 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 工程結(jié)構(gòu)中常開(kāi)設(shè)孔口，最簡(jiǎn)單的為圓孔。 有限值條件 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 在彈性力學(xué)的復(fù)變函數(shù)解法中 ， 首先排除不符合單值條件和有限值條件的復(fù)變函數(shù) ， 從而縮小求解函數(shù)的范圍 ， 然后再根據(jù)其他條件進(jìn)行求解 。 一般地說(shuō) ， 單值條件和有限值條件也是應(yīng)該滿足的 ， 但是這些條件常常是自然滿足的 。 按照有限值條件 ， 當(dāng) 時(shí) ， 必須有 A=B=0。 這時(shí) ， 我們可以考慮 所謂有限值條件 ，即除了應(yīng)力集中點(diǎn)外 ， 彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為有限值 。 接觸問(wèn)題 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 3. 有限值條件 o rq圖（ a） 設(shè)圖 （ a） 中半徑為 r的圓盤受法向均布?jí)毫?q作用 ， 試求其解答 。 一般在接觸邊界的各部分 ， 常常有不同的接觸條件 ，難以用理論解表示 。0???? ?????? nnnn ????接觸問(wèn)題 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 在工程上 ， 有許多接觸問(wèn)題的實(shí)際例子 。??? ? nn uu。 接觸問(wèn)題 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 (4) 局部脫離 ：變形后某一部分邊界上兩彈性體脫開(kāi)，則原接觸面成了自由面。??? ? nn ??s 1t1n???當(dāng)兩個(gè)彈性體 ，變形前在 s上互相接觸，變形后的 接觸條件可分為幾種情況 ： III,接觸問(wèn)題 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 (2) 有摩阻力的滑動(dòng)接觸 ：變形后在 s上法向保持連續(xù)，而切向產(chǎn)生有摩阻力的相對(duì)滑移，則在 s上的接觸條件為 ,??? ? nn ?? 。這時(shí)的接觸條件為：在 s上 ,??? ? nn ??,??? ? nn uu 。 （ 4） 的接觸條件，當(dāng)變形后兩彈性體 保持連續(xù)時(shí)，有 Rρ?壓力隧洞 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 。?????????? ????uuuu ????????,。0,0 ??? BB。39。39。39。39。圓筒和無(wú)限大彈性體的彈性常數(shù)分別為 ., 39。 4－ 7 壓力隧洞 本題是兩個(gè)圓筒的接觸問(wèn)題，兩個(gè)均為軸對(duì)稱問(wèn)題（平面應(yīng)變問(wèn)題）。試考慮下列圓環(huán)或圓弧的問(wèn)題應(yīng)如何求解： (1) 內(nèi)邊界受均勻壓力 ，而外邊界為固定邊； (2) 外邊界受均勻壓力 ，而內(nèi)邊界為固定邊； (3) 外邊界受到強(qiáng)迫均勻位移 ，而內(nèi)邊界為 自由 (如車輛的輪箍作用 )； (4) 內(nèi)邊界受到強(qiáng)迫均勻位移 ，而外邊界為 自由。 按應(yīng)力求解時(shí)，對(duì)于多連體須要校核位移的單值條件。 單值條件 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 按應(yīng)力求解時(shí)：取應(yīng)力為單值，求形變（物理方程）也為單值，求位移（由幾何方程積分），常常會(huì)出現(xiàn)多值項(xiàng)。 （ 2）在連續(xù)體中，應(yīng)力、形變和位移都 應(yīng)為單值。 ?單值條件 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 )(.0,1111,111122222122222222212222dτqRrρrqrRρRσqRrρrqrRρRσρυυρ???????????????????????????????由 B=0 和邊界條件 (b) ， 便可得出 拉梅解答， 單值條件 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 解答 (d) 的應(yīng)用： （ 1）只有內(nèi)壓力 .0, 21 ?qq（ 2）只有內(nèi)壓力 且 ，成為 具有圓孔的無(wú)限大薄板（彈性體）。 ρυτ單值條件 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 是一個(gè)多值函數(shù)：對(duì)于 和 是同一點(diǎn)，但式 (c)卻得出兩個(gè)位移值。 圓環(huán)或圓筒，是有兩個(gè)連續(xù)邊界的多連體。 167。 (6) 對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只須將 換為 μE,。 說(shuō)明 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 (4) 軸對(duì)稱應(yīng)力及對(duì)應(yīng)的位移的通解 (d) 、 (e) 已滿足相容方程，它們還必須滿足邊界 條件及多連體中的位移單值條件，并由 此求出其系數(shù) A、 B及 C。 （ 3）實(shí)現(xiàn)軸對(duì)稱應(yīng)力的條件是，物體形狀、 體力和面力應(yīng)為軸對(duì)稱。，??????????????????其中 代入 ， 得軸對(duì)稱應(yīng)力對(duì)應(yīng)的位移通解， υρ,uuI， K— 為 x、 y向的剛體平移， H — 為繞 o點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度。)( 1 FH ρρf ???,)d(d )(d Fυυfυυf ?? ? ,0)(d)(d 22??? υfυυf。 ρυυρ , γ, εε(4)求對(duì)應(yīng)的位移： 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 ,υυρ ευu(píng)ρ1ρu ???? , ρυυ uρευu(píng)????。)(d? ?? υfρεu ρρ?(3) 應(yīng)變通解： 將應(yīng)力 (d)代入物理方程，得對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量的通解。????相容方程成為常微分方程，積分四次得 的 通解 ， Φ的通解 Φ第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 )( 0,2)ln23(,2)ln21(22dCBACBA?????????????????。 軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題： 167。 試導(dǎo)出式 (48)。)si n( c o ssi nc o s)( 22 ???????? ?? ???? xyxy)(b得 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 ,0?? ?F。 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 ,0?? ?F????? ??????? ? si nsi nc o sc o s dsdsds yx,0c o ssi nsi nc o s ???? ?????? dsds yxxy得 。 4－ 4 應(yīng)力分量的坐標(biāo) 變換式 ，求 。 因此，應(yīng)力分量 的坐標(biāo)變換關(guān)系，應(yīng) 按以下方式得出。 ?? ss(3) 多連體中的位移單值條件。 ρσ比較兩式的 的系數(shù)，便得出 的公式。 相容方程 應(yīng)力公式 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 ?,)()( 0υ220υxρ yΦσσ?? ????(2) 應(yīng)用特殊關(guān)系式，即當(dāng) x軸移動(dòng)到與 軸重合時(shí)，有 : ρ代入式 ( f )， 得出如書(shū)中公式。)11( 2222222222????? ????????????????yx)(g拉普拉斯算子的變換： 由式（ f） 得 二階導(dǎo)數(shù) 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 表示 0,ΦΦ 224 ????? )(h所示。 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 注意：系數(shù)中也包含 和 ，展開(kāi)即得： υρ 二階導(dǎo)數(shù)的變換公式 ，可以從式 (e) 導(dǎo)出。s in ?? ??? y,s in? ?? ???? x。 yx, ρ,υ,xυυΦxρρΦxΦ????????????.yυυΦyρρΦyΦ ???????????? 可看成是 而 又是 的函數(shù)，即 是通過(guò)中間變量 ，為 的復(fù)合函數(shù)。????????c o ss i n,s i nc o suuvuuu或 ????????。xya rc t a n??。 第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 函數(shù)的變換 ： 將式 或 代入， 坐標(biāo)變量的變換 ： ,c o s ???x 。 4－