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平面問題的極坐標解答-文庫吧資料

2025-05-11 22:47本頁面
  

【正文】 y ???0?b???υσ qσbaυ 3,1 ??? 0~1?ba)3( qqσ υ ?? υσ )1 . 1 0~( qq?baqσ υ ??第四章 平面問題的極坐標解答 思考題 試從下列觀點解釋孔口應力集中現(xiàn)象 : (1) 開孔后使主應力線發(fā)生間斷 (類似于流體的繞流現(xiàn)象 ),因而產生孔口應力集中現(xiàn)象。 矩形類孔口 從 , 越小,則壓應力集中系數(shù)越接近 1。 qσ y ???qσυ ? qσ υ )(? ? (c) 標準廊道孔口 r ? ? 第四章 平面問題的極坐標解答 ( 2) 在 (壓應力場)下,孔口的 最大壓應力 發(fā)生在孔側。 qy ????橢圓類孔口)( a4 3/2 b a 1 1 ??1 2/3 ?1 1 0 1 3 1 第四章 平面問題的極坐標解答 ???5?ba 1 51矩形類孔口)( b? ? ??1????y1????y???? 第四章 平面問題的極坐標解答 ( 1) 在 (壓應力場 )下,孔口的 最大 拉應力 發(fā)生于孔頂和孔底。復變 函數(shù)解法是一種求解彈性力學解答的解析方法, 它將復變函數(shù)的實部和虛部 (均為實函數(shù) )分別 表示彈性力學的物理量,將彈性力學的相容方 程 (重調和方程 )也化為復變函數(shù)方程,并結合 邊界條件進行求解。 x?y? xy?( 2)求出孔心處主應力 .21 ,α,σσ( 3)在遠處的均勻應力場 作用下,求 出孔口附近的應力。 ???qqqσaaaυ ( 正交) 因此,工程上應盡量避免接近直交的凹角出現(xiàn)。此區(qū)域外的應力擾動,一般 5%。 )4( rρ?單向受拉 第四章 平面問題的極坐標解答 ( 1) 集中性 — 孔口附近應力 遠處的應力, 孔口附近應力 無孔時的應力。 )4( rρ?單向受拉 第四章 平面問題的極坐標解答 。 單向受拉 第四章 平面問題的極坐標解答 。 單向受拉 第四章 平面問題的極坐標解答 )()31)(1(2s i n2),31(2c os2)1(2),31)(1(2c os2)1(222224422222222gρrρrυqτρrυqρrqσρrρrυqρrqσρυυρ????????????????????????。在孔邊 , ,最大、最小應力為 ,應力集中系數(shù)為 。????除去 ,為歐拉方程,得解 υ2cos由式 (d), (e) 得 ,并求出應力。2s in,2c o s υτυσ ρυρ ??)(2c o s)( dυρfΦ 。????? ??? ????內邊界條件為 )( 0,0, cr 。 ∴ 應力集中系數(shù)為 2。0,0, ??? ??? ??? r)( 0),1(),1( 2222arqrq 。 雙向受拉 第四章 平面問題的極坐標解答 。 當彈性體開孔時,在小孔口附近,將發(fā) 生 應力集中現(xiàn)象 。 167。 ?? 0ρ?? ,0, yx有限值條件 第四章 平面問題的極坐標解答 思考題 試考慮有兩套筒或三套筒互相接觸時,如何求解 ? 第四章 平面問題的極坐標解答 工程結構中常開設孔口,最簡單的為圓孔。 有限值條件 第四章 平面問題的極坐標解答 在彈性力學的復變函數(shù)解法中 , 首先排除不符合單值條件和有限值條件的復變函數(shù) , 從而縮小求解函數(shù)的范圍 , 然后再根據(jù)其他條件進行求解 。 一般地說 , 單值條件和有限值條件也是應該滿足的 , 但是這些條件常常是自然滿足的 。 按照有限值條件 , 當 時 , 必須有 A=B=0。 這時 , 我們可以考慮 所謂有限值條件 ,即除了應力集中點外 , 彈性體上的應力應為有限值 。 接觸問題 第四章 平面問題的極坐標解答 3. 有限值條件 o rq圖( a) 設圖 ( a) 中半徑為 r的圓盤受法向均布壓力 q作用 , 試求其解答 。 一般在接觸邊界的各部分 , 常常有不同的接觸條件 ,難以用理論解表示 。0???? ?????? nnnn ????接觸問題 第四章 平面問題的極坐標解答 在工程上 , 有許多接觸問題的實際例子 。??? ? nn uu。 接觸問題 第四章 平面問題的極坐標解答 (4) 局部脫離 :變形后某一部分邊界上兩彈性體脫開,則原接觸面成了自由面。??? ? nn ??s 1t1n???當兩個彈性體 ,變形前在 s上互相接觸,變形后的 接觸條件可分為幾種情況 : III,接觸問題 第四章 平面問題的極坐標解答 (2) 有摩阻力的滑動接觸 :變形后在 s上法向保持連續(xù),而切向產生有摩阻力的相對滑移,則在 s上的接觸條件為 ,??? ? nn ?? 。這時的接觸條件為:在 s上 ,??? ? nn ??,??? ? nn uu 。 ( 4) 的接觸條件,當變形后兩彈性體 保持連續(xù)時,有 Rρ?壓力隧洞 第四章 平面問題的極坐標解答 。?????????? ????uuuu ????????,。0,0 ??? BB。39。39。39。39。圓筒和無限大彈性體的彈性常數(shù)分別為 ., 39。 4- 7 壓力隧洞 本題是兩個圓筒的接觸問題,兩個均為軸對稱問題(平面應變問題)。試考慮下列圓環(huán)或圓弧的問題應如何求解: (1) 內邊界受均勻壓力 ,而外邊界為固定邊; (2) 外邊界受均勻壓力 ,而內邊界為固定邊; (3) 外邊界受到強迫均勻位移 ,而內邊界為 自由 (如車輛的輪箍作用 ); (4) 內邊界受到強迫均勻位移 ,而外邊界為 自由。 按應力求解時,對于多連體須要校核位移的單值條件。 單值條件 第四章 平面問題的極坐標解答 按應力求解時:取應力為單值,求形變(物理方程)也為單值,求位移(由幾何方程積分),常常會出現(xiàn)多值項。 ( 2)在連續(xù)體中,應力、形變和位移都 應為單值。 ?單值條件 第四章 平面問題的極坐標解答 )(.0,1111,111122222122222222212222dτqRrρrqrRρRσqRrρrqrRρRσρυυρ???????????????????????????????由 B=0 和邊界條件 (b) , 便可得出 拉梅解答, 單值條件 第四章 平面問題的極坐標解答 解答 (d) 的應用: ( 1)只有內壓力 .0, 21 ?qq( 2)只有內壓力 且 ,成為 具有圓孔的無限大薄板(彈性體)。 ρυτ單值條件 第四章 平面問題的極坐標解答 是一個多值函數(shù):對于 和 是同一點,但式 (c)卻得出兩個位移值。 圓環(huán)或圓筒,是有兩個連續(xù)邊界的多連體。 167。 (6) 對于平面應變問題,只須將 換為 μE,。 說明 第四章 平面問題的極坐標解答 (4) 軸對稱應力及對應的位移的通解 (d) 、 (e) 已滿足相容方程,它們還必須滿足邊界 條件及多連體中的位移單值條件,并由 此求出其系數(shù) A、 B及 C。 ( 3)實現(xiàn)軸對稱應力的條件是,物體形狀、 體力和面力應為軸對稱。,??????????????????其中 代入 , 得軸對稱應力對應的位移通解, υρ,uuI, K— 為 x、 y向的剛體平移, H — 為繞 o點的剛體轉動角度。)( 1 FH ρρf ???,)d(d )(d Fυυfυυf ?? ? ,0)(d)(d 22??? υfυυf。 ρυυρ , γ, εε(4)求對應的位移: 第四章 平面問題的極坐標解答 ,υυρ ευuρ1ρu ???? , ρυυ uρευu????。)(d? ?? υfρεu ρρ?(3) 應變通解: 將應力 (d)代入物理方程,得對應的應變分量的通解。????相容方程成為常微分方程,積分四次得 的 通解 , Φ的通解 Φ第四章 平面問題的極坐標解答 )( 0,2)ln23(,2)ln21(22dCBACBA?????????????????。 軸對稱應力問題: 167。 試導出式 (48)。)si n( c o ssi nc o s)( 22 ???????? ?? ???? xyxy)(b得 第四章 平面問題的極坐標解答 ,0?? ?F。 第四章 平面問題的極坐標解答 ,0?? ?F????? ??????? ? si nsi nc o sc o s dsdsds yx,0c o ssi nsi nc o s ???? ?????? dsds yxxy得 。 4- 4 應力分量的坐標 變換式 ,求 。 因此,應力分量 的坐標變換關系,應 按以下方式得出。 ?? ss(3) 多連體中的位移單值條件。 ρσ比較兩式的 的系數(shù),便得出 的公式。 相容方程 應力公式 第四章 平面問題的極坐標解答 ?,)()( 0υ220υxρ yΦσσ?? ????(2) 應用特殊關系式,即當 x軸移動到與 軸重合時,有 : ρ代入式 ( f ), 得出如書中公式。)11( 2222222222????? ????????????????yx)(g拉普拉斯算子的變換: 由式( f) 得 二階導數(shù) 第四章 平面問題的極坐標解答 表示 0,ΦΦ 224 ????? )(h所示。 第四章 平面問題的極坐標解答 注意:系數(shù)中也包含 和 ,展開即得: υρ 二階導數(shù)的變換公式 ,可以從式 (e) 導出。s in ?? ??? y,s in? ?? ???? x。 yx, ρ,υ,xυυΦxρρΦxΦ????????????.yυυΦyρρΦyΦ ???????????? 可看成是 而 又是 的函數(shù),即 是通過中間變量 ,為 的復合函數(shù)。????????c o ss i n,s i nc o suuvuuu或 ????????。xya rc t a n??。 第四章 平面問題的極坐標解答 函數(shù)的變換 : 將式 或 代入, 坐標變量的變換 : ,c o s ???x 。 4-
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